1、浙教版八年级上第浙教版八年级上第 2 章章 特殊三角形期末复习含答案特殊三角形期末复习含答案 期末复习(二)特殊三角形 01 知识结构 02 重难点突破 重难点 1 等腰三角形的性质及判定【例 1】(萧山区期中)如图,在ABC 中,AD平分BAC.(1)若 ACBC,BC21,试写出图中的所有等腰三角形,并给予证明;(2)若 ABBDAC,求BC 的比值【思路点拨】(1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形;(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线,将 ACAB或 ABBD转化成一条线段,通过全等得到线段相等,从而得到角相等 解:(1)等腰三角形有 3 个:ABC,ABD,AD
2、C,证明:ACBC,ABC 是等腰三角形 BBAC.BC21,BBACC180,BBAC72,C36.BADDAC BAC36,BADB72,DACC36.ABAD,DADC.ABD和ADC 是等腰三角形(2)在 AC 上截取 AEAB,连结 DE,又BADDAE,ADAD,ABDAED.AEDB,BDDE.ABBDAC,ACAEEC,BDEC.DEEC.EDCC.BAEDEDCC2C.BC21.1(上城区期中)如图,ABC、ADE中,C、D两点分别在 AE、AB上,BC 与DE相交于点 F.若 BDCDCE,ADCACD104,则DFC 的度数为(C)A104 B118 C128 D136
3、2如图,在ABC 中,ABAC,点 D、E、F分别在 AB、BC、AC 边上,且BECF,BDCE.(1)求证:DEF是等腰三角形;(2)当A40 时,求DEF的度数 解:(1)证明:ABAC,BC.在BDE和CEF中,BDECEF(SAS)DEEF,即DEF 是等腰三角形(2)A40,ABAC,BC70.由(1)知,BDECEF,BDECEF.DEF180 BEDCEF 180 BEDBDE B70.重难点 2 直角三角形的性质及判定【例 2】在 RtABC 中,BAC90,BF 平分ABC,AEFAFE.(1)求证:ADBC(请用一对互逆命题进行证明);(2)写出你所用到的这对互逆命题【思
4、路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到ABFAFB90,又因为ABFCBF,AEFBED,从而转化为CBFBED90,从而ADBC 得证 解:(1)证明:在 RtABC 中,BAC90,ABFAFB90.BF平分ABC,ABFCBF.AEFAFE,BEDAEF,BEDAFE.CBFBED90.BDE90.ADBC.(2)互逆命题:直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形 3(庆元县岭头中学月考)已知,如图,B、C、D三点共线,ABBD,EDCD,C 是 BD上的一点,且 ABCD,12,请判断ACE的形状并说明理由 解:ACE是等腰直角三角形,理由:12,ACCE.ABB
5、D,EDCD,BD90.在 RtABC 和 RtCDE中,RtABCRtCDE.ACBCED.CEDECD90,ACBECD90.ACE90.ACE是等腰直角三角形 重难点 3 勾股定理及其逆定理【例 3】如图,在 RtABC 中,ABC90,点 D是 AC 的中点,作ADB的平分线 DE交 AB于点 E.(1)求证:DEBC;(2)若 AE3,AD5,点 P 为线段 BC 上的一动点,当 BP 为何值时,DEP 为等腰三角形?请求出所有 BP 的值【思路点拨】(1)要证 DEBC,可转化为证AEDABC90,即证DEAB,由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出;(2)DEP 为等腰三角形,
6、存在三种情况:DEEP,DPEP,DEDP,结合勾股定理可求得 BP 的值 解:(1)证明:ABC90,点 D是 AC 的中点,BDAD AC.DE是ADB的平分线,DEAB.又ABC90,DEBC.(2)AE3,AD5,DEAB,DE 4.DEAB,ADBD,BEAE3.DEEP 时,BP ;DPEP 时,BP DE 42;DEDP 时,过点 D 作 DFBC 于点 F,则 DFBE3,由勾股定理,得 FP ,点 P 在 F下边时,BP4,点 P 在 F上边时,BP4,综上所述,BP 的值为,2,4 或 4.4如图,在 RtABC 中,C90,AB5 cm,AC3 cm,动点 P 从点 B出
7、发沿射线 BC 以 1 cm/s 的速度运动,设运动时间为 t(s)(1)当ABP 为直角三角形时,求 t 的值;(2)当ABP 为等腰三角形时,求 t 的值 解:(1)C90,AB5 cm,AC3 cm,BC4 cm.当APB为直角时,点 P 与点 C 重合,BPBC4 cm,t4.当BAP 为直角时,BPt cm,CP(t4)cm,AC3 cm,在 RtACP 中,AP232(t4)2,在 RtBAP 中,AB2AP2BP2,5232(t4)2t2,解得 t.综上,当ABP 为直角三角形时,t4或.(2)当 BPBA5 cm 时,t5.当 ABAP 时,BP2BC8 cm,t8.当 PBP
8、A时,PBPAt cm,CP(4t)cm,AC3 cm,在 RtACP 中,AP2AC2CP2,t232(4t)2,解得 t.综上,当ABP 为等腰三角形时,t5或 8 或.03 备考集训 一、选择题(每小题 3 分,共 30分)1(上城区期中)下列四个图形中,是轴对称图形的是(C)2下列各命题的逆命题成立的是(C)A全等三角形的对应角相等 B如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 C两直线平行,同位角相等 D如果两个角都是 45,那么这两个角相等 3如图,在ABC 中,ACB90,CD 是 AB边上的高,如果A50,那么DCB(A)A50 B45 C40 D25 4下列条件不可以判定两个直角三
9、角形全等的是(B)A两条直角边对应相等 B两个锐角对应相等 C一条直角边和它所对的锐角对应相等 D一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 5(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30,则顶角的度数为(D)A60 B120 C60 或 150 D60 或 120 6如图,在 RtABC 中,C90,D为 AC 上一点,且 DADB5,如果DAB的面积为 10,那么 DC 的长是(B)A4 B3 C5 D4.5 第 6题图 第 7 题图 7如图,在ABC 中,A36,ABAC,AB的垂直平分线 OD 交 AB于点O,交 AC 于点 D,连结 BD,下列结论错误的是(D)AC2A BB
10、D平分ABC C图中有三个等腰三角形 DSBCDSBOD 8(萧山区期中)ABC 中,ABAC5,BC8,点 P 是 BC 边上的动点,过点P 作 PDAB于点 D,PEAC 于点 E,则 PDPE的长是(A)A4.8 B4.8或 3.8 C3.8 D5 9(庆元县岭头中学月考)如图,三角形纸片 ABC 中,B2C,把三角形纸片沿直线 AD折叠,点 B 落在 AC 边上的 E处,那么下列等式成立的是(B)AACADBD BACABBD CACADCD DACABCD 第 9题图 第 10 题图 10(河北中考)如图,AOB120,OP 平分AOB,且 OP2.若点 M,N分别在 OA,OB上,
11、且PMN 为等边三角形,则满足上述条件的PMN有(D)A1 个 B2 个 C3个 D3个以上 二、填空题(每小题 4 分,共 24分)11等腰三角形的一个角是 110,则它的底角是 35 12(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:cm),计算两个圆孔中的 A和 B的距离为 10cm.第 12题图 第 13 题图 13如图,在ABC 中,ABAC7,BC6,AFBC 于 F,BEAC 于 E,D是 AB的中点,则DEF的周长是 10 14(萧山区期中)如图,已知MON30,点 A1、A2、A3在射线 ON上,点B1、B2、B3在射线 OM 上,A
12、1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形,若 OA11,则A6B6A7 的边长为 32 第 14题图 第 15 题图 15(江山期末)如图,在边长为 2的等边ABC 中,AD是 BC 边上的高,点 E是AC 中点,点 P 是 AD上一动点,则 PCPE的最小值是 16(杭州期中)已知:如图,BD为ABC 的角平分线,且 BDBC,E为 BD延长线上的一点,BEBA,过 E作 EFAB,F为垂足,下列结论:ABDEBC;BCEBCD180;ADEFEC;BABC2BF.其中正确的结论有(填序号)三、解答题(共 46 分)17(10分)如图,请将下面两个三角形分成两个等腰三角形(要求重
13、新画图,且标出每个等腰三角形的内角的度数)解:如图:18(10分)(杭州中考)如图,在ABC 中,已知 ABAC,AD平分BAC,点M,N分别在 AB,AC 边上,AM2MB,AN2NC.求证:DMDN.证明:AM2MB,AN2NC,ABAC,AMAN.AD平分BAC,MADNAD.在AMD和AND 中,AMDAND(SAS)DMDN.19(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形,使得底边长为线段a,底边上的高的长为线段 b,要求保留作图痕迹;(不要求写出作法)(2)在(1)中,若 a6,b4,求等腰三角形的腰长 解:(1)如图,等腰三角形 ABC 即为所求作三角形,其中 A
14、Ba,OCb.(2)由题意知 ACBC,AOBO,COAB,且 CO4,AB6,AO3.AC 5,即等腰三角形的腰长为 5.20(14分)如图 1,OA2,OB4,以 A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC.(1)求 C 点的坐标;(2)如图 2,P 为 y轴负半轴上一个动点,当 P 点沿 y轴负半轴向下运动时,以 P 为顶点,PA为腰作等腰 RtAPD,过 D作 DEx 轴于 E点,求 OPDE 的值 解:(1)过 C 作 CMx轴于 M 点,MACOAB90,OABOBA90,MACOBA.在MAC 和OBA 中,MACOBA(AAS)CMOA2,MAOB4.OMOAAM246.点 C 的坐标为(6,2)(2)过 D作 DQOP 于 Q点,则 DEOQ.OPDEOPOQPQ.APOQPD90,APOOAP90,QPDOAP.在AOP 和PQD中,AOPPQD(AAS)PQOA2,即 OPDE2.
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