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1、离散数学同步练习册汇总离散数学同步练习册汇总 离散数学 同步练习册 学 号 姓 名 专 业 教学中心 华南理工大学网络教育学院 二 OO八年九月 第一章命题逻辑 一填空题（1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题：“派小王或小李中的一人去开会”可符号化 为：pq。（2）设 A，B都是命题公式，AB，则 AB的真值是 T。（3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：pq。（4）设 A,B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为 A B PQ。（5）设，p：径一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。”可符号化为：pq

2、。（6）设 A,B 代表任意的命题公式，则德 摩根律为（A B）AB 。（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。”可符号化为：(AB(AB。（8）设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。”可符号化为：PQ。（9）对于命题公式 A，B，当且仅当 AB 是重言式时，称“A蕴含 B”，并记为AB。（10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。”可符号化为：(PQ。（11）设 P,Q 是命题公式，德 摩根律为：（P Q）PQ。（12）设 P：你努力。Q：你失败。在命题逻辑中，命题：“除非你努力，

3、否则你将失败。”可符号化为：PQ。（13）设 p：小王是 100米赛跑冠军。q：小王是 400米赛跑冠军。在命题逻辑中，命题：“小王是 100 米或 400 米赛跑冠军。”可符号化为：pq。（4）设 A，C 为两个命题公式，当且仅当 A C 为一重言式时，称 C 可由 A逻辑地推出。二判断题 1.设 A，B是命题公式，则蕴涵等值式为 ABAB。（F）2.命题公式 pqr是析取范式。（T）3.陈述句“x+y 5”是命题。（T）4.110(p=1,q=1,r=0 是命题公式(pqrq 的成真赋值。（T）5.命题公式 p(pq 是重言式。（F）6.设 A，B都是合式公式，则 ABB也是合式公式。（F

4、）7.A(BC(AB(AC。（F）8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。（T）9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。（T）10.“请不要随地吐痰！”是命题。（F）11.P Q P Q。（F）12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。（T）13.命题公式（PQ）（RT）是析取范式。（T）14.命题公式(PQ R(PQ 是析取范式。（T）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1 设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。”可符号化为（1）。（1）PQ（2）Q P（3）Q P（4）Q P 2(1 明

5、年国庆节是晴天。(2 在实数范围内，x+y3。(3 请回答这个问题！(4 明天下午有课吗？在上面句子中，是命题的只有(2。3 命题公式 A与 B是等值的，是指(4。（1）A与 B有相同的命题变元（2）AB是可满足式（3）AB为重言式（4）AB为重言式 4(1 雪是黑色的。(2 这朵花多好看呀！。(3 请回答这个问题！(4 明天下午有会吗？在上面句子中，是命题的是(1。5 设：P：天下大雨。Q：他乘公共汽车上班。则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。”可符号化为（2）。（1）QP（2）P Q（3）Q P（4）Q P 6 设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”在命题逻

6、辑中可符号化为（3）。（1）QP（2）P Q（3）P Q（4）Q P 7(1 现在开会吗？(2 在实数范围内，x+y 5。(3 这朵花多好看呀！(4 离散数学是计算机科学专业的一门必修课。在上面语句中，是命题的只有(2。8 设：P：天气好。Q：他去郊游。则命题“如果天气好，他就去郊游。”可符号化为（1）（1）PQ（2）Q P（3）Q P（4）Q P 9 下列式子是合式公式的是（4）。（1）（P Q）（2）（P（Q R）（3）（P Q）（4）Q R 10（1）1101110（2）中国人民是伟大的。（3）全体起立！（4）计算机机房有空位吗？在上面句子中，是命题的是（1）。11 设：P：他聪明；Q：

7、他用功。则命题“他虽聪明但不用功。”在命题逻辑中可符号化为（4）。（1）P Q（2）P Q（3）P Q（4）P Q 12(1 如果天气好，那么我去散步。(2 天气多好呀！(3 x=3。(4 明天下午有会吗？在上面句子中(1 是命题。13 设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为（4）。（1）P Q（2）P Q（3）P Q（4）P Q 四、解答题 1设命题公式为（pq）（qp）。（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。（1）P q p q pq qp（pq）（qp）T T F F T F F T F F

8、T T T T F T T F T T T F F T T F T T （2）（p q）p q（3）可满足式 2设命题公式为（p q）（p r）。（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。（1）p q r pq p r（p q）（p r）T T T T T T T T F T T T T F T F T F T F F F T F F T T T T T F T F T T T F F T T T T F F F T F F (2(pq(p r(pr(3 可满足式 3设命题公式为 Q（P Q）P。（1）求此命题公式的真值表；（2）求此命题公式的析取范式；（3）

9、判断该命题公式的类型。（1）P Q P Q P Q（P Q）P Q（P Q）P T T F F T T F T F F T F T T F T T F T T F F F T T T F F (2 P（P Q）(3 可满足式 4完成下列问题 （1）求此命题公式 Q（P Q）P 的真值表；（2）求命题公式（P（QR）S 的析取范式。（1）同上表（2）P(Q R S 5设命题公式为（P（P Q）Q。（1）求此命题公式的真值表；（2）判断该公式的类型。（1）P Q P Q P（P Q）（P（P Q）Q T T T T T T F F F T F T T F F F F T F F (2 可满足式 6

10、设命题公式为（P Q）P）Q。（1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。(1 P Q P P Q（P Q）P（P Q）P）Q T T F T F T T F F T F T F T T T T T F F T F F T (2 P Q(P Q(3重言式 7用直接证法证明 前提：P Q，P R，Q S 结论：S R 证明：8用直接证法证明 前提：P(Q R，S Q，P，S。结论：R 证明：S Q，S 推出 Q（假言推论）P(Q R，P 推出 Q R（假言推论）Q，Q R 推出 R（析取三段论）第二章谓词逻辑 一填空题（1）若个体域是含三个元素的有限域a，b，c，

11、则 A(x A(aA(bA(c （2）取全总个体域，令 F(x：x 为人,G(x：x爱看电影。则命题“没有不爱看电影的人。”可符号化为_(x_(F(x_ G(x_。（3）若个体域是含三个元素的有限域a，b，c，则 xA(x A(a A(b A(c。（4）取全总个体域，令 M(x：x 是人,G(y：y是花,H(x,y：x 喜欢 y。则命题“有些人喜欢所有的花。”可符号化为_xy(_M(x H(x,y G(y_。（5）取个体域为全体人的集合。令 F(x：x 在广州工作,G(x：x 是广州人。在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。”可符号化为_x(F(x G(x_。（6）P(x：x 是学

12、生，Q(x：x 要参加考试。在谓词逻辑中，命题：“每个学生都要参加考试”可符号化为：x(P(x Q(x。（7）M(x：x 是人，B(x：x 勇敢。则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为 _x(M(x B(x(x(M(x B(x_。（8）P(x：x 是人，M(x：x 聪明。则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为 _x(P(x M(x(x(P(x M(x_。（9）I(x：x 是实数，R(x：x 是正数，N(x：x是负数。在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的”可符号化为：x(I(x R(x R(x。（10）P(x：x 是学生，Q(x：x 要参加考试。在谓词逻辑

13、中，命题：“每个学生都要参加考试”可符号化为：x(P(x Q(x。（11）令 M(x：x 是大学生,P(y：y是运动员,H(x,y：x 钦佩 y。则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。”可符号化为 _xy(M(x P(y H(x,y _ _。二判断题 1.设 A，B都是谓词公式，则 x AB也是谓词公式。（T）2.设 c是个体域中某个元素，A是谓词公式，则 A(c xA(x。（F）3.xyA(x,y yxA(x,y。（T）4.xyA(x,y yxA(x,y。（F）5.取个体域为整数集，则谓词公式 xy(x y=y 是假命题。（T）6.(x（P(xQ(x）(x（P(x Q(x）。（T）7.命题公式

14、(PQ R(PQ 是析取范式。（F）8.谓词公式(x(A(x B(x,y R(x 的自由变元为 x,y。（F）9.（x）A（x）B）（x）（A（x）B）。（F）10.R(x：“x 是大学生。”是命题。（T）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1设 F（x）：x 是火车，G（x）：x 是汽车，H（x，y）：x 比 y快。命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是(2。（1）y（G（y）x（F（x）H（x，y）（2）y（G（y）x（F（x）H（x，y）（3）x y（G（y）（F（x）H（x，y）（4）y（G（y）x（F（x）H（x，y）2设个体域为

15、整数集，下列真值为真的公式是(3。（1）yx(x y=2（2）xy(x y=2（3）xy(x y=2（4）xy(x y=2 3设 F（x）：x 是人，G（x）：x 早晨吃面包。命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是(4。（1）（x）（F（x）G（x）（2）（x）（F（x）G（x）（3）（x）（F（x）G（x）（4）（x）（F（x）G（x）5下列式子中正确的是(4。（1）（x）P（x）（x）P（x）（2）（x）P（x）（x）P（x）（3）（x）P（x）（x）P（x）（4）（x）P（x）（x）P（x）6下面谓词公式是永真式的是 (d 。a P（x）Q（x）b（x）P（x）（x）P（x）

16、c P（a）（x）P（x）d P（a）（x）P（x）5 设 S（x）：x 是运动员，J（y）：y是教练员，L（x，y）：x 钦佩 y。命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是(c。a x（S（x）y（J（y）L（x，y）b x y（S（x）（J（y）L（x，y）c x（S（x）y（J（y）L（x，y）d yx（S（x）（J（y）L（x，y）6 下列式子是合式公式的是(2。（1）（P Q）（2）（P（Q R）（3）（P Q）（4）Q R 7 下列式子中正确的是(4。（1）（x）P（x）（x）P（x）（2）（x）P（x）（x）P（x）（3）（x）P（x）（x）P（x）（4）（x）P（x）（

17、x）P（x）四、解答题 1构造下面推理的证明：前提：x F（x）y（F（y）G（y）R（y），x F（x）。结论：x R（x）。2在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。令 F(x：x 喜欢步行。G(x：x 喜欢坐汽车。H(x：x 喜欢骑自行车。x(F(x G(x,x(G(x H(x,x H(x x F(x 3在命题逻辑中构造下面推理的证明：如果他是理科学生，他必须学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学，所以他是文科学生。4用直接证法证明：前提：（x）（C（x）W（x）

18、R（x），（x）（C（x）Q（x）结论：（x）（Q（x）R（x）。第三章集合与关系 一填空题（1）如果|A|n，那么|A A|n*n 。A上的二元关系有_2_个。（2）集合 A上关系 R 的自反闭包 r（R）=_。（3）设集合 A上的关系 R 和 S，R=（1，2），（1，3），（3，2），S=（1,3），（2，1），（3，2），则 SR=(2,2,(1，2 。（4）如果|A|n，那么|P(A|。（5）设集合 A上的关系 R 和 S，R=，S=，则 RS=,。（6）设集合 E=a,b,c，E的幂集 P(E ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c_。（7）设 R 是定义在集合 X上的二

19、元关系，如果对于每个 x,yX，_ _ _，则称集合 X上的关系 R 是对称的。（8）设关系 R 和 S 为，R=，S=，则 RS=_ _ _ _。（9）设 R 是定义在集合 X上的二元关系，如果对于每个 x,yX，_ _ _，则称集合 X上的关系 R 是自反的。二判断题 1设 A、B、C 为任意的三个集合，则 A(B C=A(B C。（）2设 S，T是任意集合，如果 S T=，则 S=T。（）3集合 A=1,2,3,4上的关系,是一个函数。（）4集合 A=1，2，3，4上的整除关系是等价关系。（）5集合 A 的幂集 P(A上的包含关系是偏序关系。（）6设 A=a,b,c,R A A 且 R=

20、,则 R 是传递的。（）6设 A，B是任意集合，如果 B，则 A B A。（）7集合 A=1,2,3上的关系,是传递的。（）8集合 A=1，2，3，4上的小于关系是等价关系。（）9关系 1,x 2 x 1,x 2 N,x 1+x 2 6 能构成一个函数。（）10集合 A 上的恒等关系是偏序关系。（）11集合 A=1,2,3上的关系 S=,是自反的。（）12设 X=1,2,3,Y=a,b,c。函数 F=,是双射。（）13集合 A上的关系 R 的自反闭包 r(R=RIA。（）14集合 A上的偏序关系 R 是自反的、对称的、传递的。（）15.设 A，B是任意集合，则 A B(A-B(B-A。（）三、

21、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1 设 A=a，b，c，B=a，b，则下列命题不正确的是。a AB=a，b b AB=a，b c AB=c d BA 2 设 A=a,b,c,d,A 上的关系 R=,，则它的对称闭包为 。a R=,，b R=,，c R=,，d R=,，3 对于集合1,2,3,4上的关系是偏序关系的是。a R=,b R=,c R=,d R=,4 设 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8，9，10，以下哪个关系是从 A到 B的单射函数。a f=，b f=，c f=，d f=，5设 A=a,b,c，要使关系,R 具有对称性，则。a

22、R=,b R=,c R=,d R=,6设 S=，1，1，2，则 S 的幂集 P（S）有 个元素 （1）3（2）6（3）7（4）8 7设 R 为定义在集合 A上的一个关系，若 R 是，则 R 为等价关系。（1）反自反的，对称的和传递的（2）自反的，对称的和传递的（3）自反的，反对称的和传递的（4）对称的，反对称的和传递的 8设 S，T，M 为任意集合，下列命题正确的是。a 如果 ST=SM，则 T=M b 如果 S-T=，则 S=T c S-T S d S S=S 9 设 A=a,b,c，要使关系,R 具有对 性，则。（1）R=,（2）R=,（3）R=,（4）R=,10设 A=1，2，3，4，5

23、，B=a，b，c，d，e，以下哪个函数是从 A到 B的入射函数。a F=，b F=，c F=，d F=，四、解答题 1已知偏序集（A，），其中 A=a，b，c，d，e，“”为（a，b），（a，c），（a，d），（c，e），（b，e），（d，e），（a，e）IA。（1）画出偏序集（A，）的哈斯图。（2）求集合 A的极大元，极小元，最大元，最小元。2设 R 是集合 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9上的整除关系。（1）给出关系 R；（2）画出关系 R 的哈斯图；（3）指出关系 R 的最大、最小元，极大、极小元。3设 R 是集合 A=1,2,3,4,6,12上的整除关系。（2）给出关系 R；（2

24、）给出 COV A（3）画出关系 R 的哈斯图；（4）给出关系 R 的极大、极小元、最大、最小元。第五章代数结构 一填空题（1）集合 S 的幂集 P(S 关于集合的并运算“”的零元为 _。（2）集合 S 的幂集 P(S 关于集合的并运算“”的零元为 _。（3）集合 S 的幂集 P(S 关于集合的并运算“”的么元为 _。（4）一个代数系统S,*，其中 S 是非空集合。*是 S 上的一个二元运算，如果，则称代数系统S,*为广群。二判断题 1含有零元的半群称为独异点。（）2运算“”是整数集 I上的普通加法，则群的么元是 1。（）三、填空题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列

25、叙述中的 内。1 下列群一定为循环群的是 。e （运算“”是整数集 I上的普通加法）f （R 是实数集，“”是普通乘法）g （运算“”是有理数集 Q上的普通加法）h （P（S）是集合 S 的幂集，“”为对称差）2 运算“”是整数集 I上的普通减法，则代数系统 满足下列 性质。（1）结合律（2）交换律（3）有零元（4）封闭性 3设 I是整数集，N是自然数集，P（S）是 S的幂集，“，”是普通的乘法，加法和集合的交运算。下面代数系统中 是群。（1）（2）（3）（4）4下列代数系统不是群的是 。（5）（运算“”是整数集 I上的普通加法）（6）（P（S）是集合 S 的幂集，“”为交运算）（7）（运算“

26、”是有理数集 Q上的普通加法）（P（S）是集合 S 的幂集，“”为对称差）第七章图论 一填空题（1）一个无向图 G=（V，E）是二部图当且仅当 G中无 长度的回路。（2）任何图(无向的或有向的中，度为奇数的顶点个数为 。（3）设 D是一个有向图，若 D中任意一对顶点都是相互可达的，则称 D是_。（4）既不含平行边，也不含环的图称为。（5）经过图中 一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路，称为欧拉回路。（6）一棵有 n个顶点的树含有_边。（7）设 G=（V，E），G=（V，E）是两个图，若 且，称 G是 G 的生成子图。（8）经过图中 一次且仅一次的回路，称为哈密尔顿回路。二判断题 15个顶点的

27、有向完全图有 20条边。（）2连通无向图的欧拉回路经过图中的每个顶点一次且仅一次。（）3 图中的初级通路都是简单通路。（）4 已知 n(n2阶无向简单图 G有 n 1条边，则 G一定为树。（）5 n阶无向完全图 Kn 的每个顶点的度都是 n。（）6一个无向图是二部图当且仅当它没有奇数度的顶点。（）7任何图都有一棵生成树。（）8连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。（）9图中的初级回路都是简单回路。（）10任一图 G=（V，E）的顶点的最大度数必小于 G的顶点数。（）11欧拉图一定是汉密尔顿图。（）12无向连通图 G 的任意两结点之间都存在一条路。（）13根树中除一个结点外，其余

28、结点的入度为 1。（）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1 下列为欧拉图的是。2 下列各图为简单图的是 。(4(3(2(1 3 设无向图 G有 12 条边，已知 G中 3度顶点有 6个，其余顶点的度数都小于3，则该图至少有 个顶点。（1）6（2）8（3）9（4）12 4下列四个有 6个结点的图 是连通图。(2(1(3(4 5称图 G=为图 G=的生成子图是指_.（1）V V（2）V V 且 E E（3）V=V且 E E（4）V V且 E E 6有向图中结点之间的可达关系是_。（1）自反的，对称的（2）自反的，传递的（3）自反的，反对称的（4）

29、反自反的，对称的 7在下列关于图论的命题中，为真的命题是。a 完全二部图 Kn,m(n 1,m 1 是欧拉图 b 欧拉图一定是哈密尔顿图 c 无向完全图 Kn（n3）都是欧拉图 d 无向完全图 Kn（n3）都是哈密尔顿图 8下列各图为平面图的是 。(4(2(3(1 9 设 G为任意的连通的平面图，且 G有 n个顶点，m 条边，r个面，则平面图的欧拉公式为。（1）n m+r=2（2）m n+r=2（3）n+m r=2（4）r+n+m=2 10 下列四个图中与其余三个图不同构的图是。（1）（2）（3）（4）四、解答题 1给定边集：（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（8）画出相应的无向图 G（设 G无孤立点）；（9）画出顶点子集 V1=2,3,4,5导出的导出子图；（10）画出图 G的一棵生成树。2如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法求一棵最小生成树并计算它的权值。3如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法求一棵最小生成树并计算它的权值。4求带权图 G的最小生成树，并计算它的权值。5给定权为 2，6，3，9，4；构造一颗最优二叉树。6给定权为 1，9，4，7，3；构造一颗最优二叉树。7给定权为 2，6，5，9，4，1；构造一颗最优二叉树。