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1、最值问题解题思路奥数最值问题解题思路奥数 马到成功奥数专题:离散最值 引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理确定最值；3.枚举比较确定最值；4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。一、从极端情形入手 从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目 1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各 10 个，这些小球的

2、大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出 8个球，它们的数字和是 39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的 8 个球全是红球，则数字之和为（4 8=）32，与实际的和 39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（64=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在72=31，因此可用 3 个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样 8 个球的数字之和正好等于 39。所以要使 8个球的数字之和为 39，其中最多可能有（8

3、-3-1=）4个是红球。题目 2.有 13个不同正整数，它们的和是 100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有 5 个奇数，但和是奇数，100 是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有 7个偶数。1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要 5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有 5个偶数。题目 3.一种小型天平称备有 1克、3克、5克、7克、9克 5 种砝码。为了能称出 1 克到 91 克的任意一种整数克重量，如果只允

4、许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出 1克到 91 克的任意一种整数克重量，要有 9个 9克、1个 5 克、1个3 克、2 个 1 克，它们的和是 91，这样即可。需要 9+1+1+2=13 个。题目 4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入 77，707 这样只含数字 7和 0 的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？222222-70000*3=12222 按下了 3个 7 12222-7000*1=5222 按下了 1 个 7 5222-700*7=322 按下了 7个 7 322-70

5、*4=42 按下了 4 个 7 42-7*6=0 按下了 6个 7。3+1+7+4+6=21 次 二、枚举法与逐步调整 当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 5.将 6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得 5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于 10，旁边添 6 和 7，这样积小一些。于是有两种添法：-题目 6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有 13 个停

6、车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有 56人，这就是说至少应有 56个座位。说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法 2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（

7、每站 1 人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此 车开出时人数=（以前的站数+1）以后站数 =站号（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：1 14，2 13，3 12，4 11，5 10，6 9，7 8，8 7，9 6，10 5，11 4，12 3，13 2，14 1。由这些数，得知 7 8和 8 7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是 56人，所以它应有 56个座位。说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 7.在如图

8、18-2 所示得 2*8方格表中，第一行得 8个方格内依次写着 1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把 1、2、3、4、5、6、7、8 按适当得顺序分别填入第二行的 8个方格内，使得每列两数的 8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？解：这 8个差分别是 0，1，2，3，4，5，6，7，和为 28，分成两组，每组 14。8和 7 必然填在 1，2 两个方格内。前两列的差是 7和 5，第 3个如果填 6，那么 7+5+3超过 14，所以只能填 5，此时 3个差为 7、5、2，和为 14，第 4个格子只能填 4，填 6就会有重复。数字 6只能填在第 7 格，再凑一凑即可得出

9、87541362。三、从简单情形入手 解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目 8.从 123456789101199100 中划去 100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解 将此题简化为从 12345678910 中划去 9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为 91，最小数为 10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 12345678910 中划去 10个数字剩下 9；从 111213484950 中划去 76个数字剩下 4个 9；再从5

10、1525354555657585960 中划去 14 个数字剩下尽可能大的数是 785960，从而得到所求的最大数 999997859606199100。求最小值时，从 12345678910 中划去 9个数字剩下10，从 11121314484950 中划去 76个数字剩下 4个 0，再从 51525354555657585960中划去 15个数字剩下尽可能小的数 12340，从而得到所求最小数10000012340616299100。题目 9.将 1，2，3，49，50任意分成 10组，每组 5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这 10个中位数之和的最大值与最小值。解：1

11、，2，3，49，50 4，5，6，47，48 28，29，30，31，32 3+6+30=165（最小值）1，2，48，49，50 3，4，45，46，47 19，20，21，22，23 48+45+21=345（最大值）四、和一定问题 1910 199 2+8=10 28=16 37=10 37=21 4+6=10 46=24 5+510 55=25 例如，和为 10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为 10的自然数共有 5对，每对自然数乘积后又得到 5个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取 5时积有最大值 25。成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题目 10.有

12、 3条线段 a,b,c，线段 a长 2.12 米，线段 b 场 2.71米，线段 c长 3.53 米。如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出 3 个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见 a+b 与 c十分接近，所以的面积最大。题目 11.如果将进货单价为 40元的商品按 50元售出，那么每个的利润是 10元，但只能卖出 500个。当这种商品每个涨价 1元时，其销售量就减少 10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获

13、利 （50 x-40）（500-10 x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50 x）=60为一定值，故当 10+X=50X即 X=20 时，它们的积最大。此时，每个的销售价为 5020=70（元）题目 12.用 3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？【分析与解】十位数字分别是 8、7、6，876,个位数字分别是 5，4，3，543，依据“接近原则”，大小搭配可得 83 74 65，三个数最接近因而它们的乘积最大。综上数例，可以归纳出这样的规律:较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最

14、大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。综上数例，可以归纳出这样的规律:较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。五、积一定的问题 两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。题目 13.长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm 和 ycm，则有

15、xy144。故当 x=y=12 时，x+y有最小值，从而长方形周长 2（xy）也有最小值。题目 14.农场计划挖一个面积为 432 m2 的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有 3m和 4m 的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为 xm 和 ym，则有 xy432。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm2。于是 S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道 6y 8X=48 432 为一定值，故当 6y=8X时，S 最小，此时有6y=8X=144，故 y=24，x=18。六、从整体入手 从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。

16、题目 15.在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目 16.在 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 这 10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于 37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把 10个数都添上加号，它们的和是 55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，

17、使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的 2 倍。因为 55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是 18 2=9。对于大于 2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括 1）。9最多可拆成三数之和 234=9，因此这些减数的最大乘积是2 3 424，添上加、减号的算式是 10 9 8 7 6 5-4-3-2 137。七、抓不等关系 题目 17.某校决定出版“作文集”，费用是 30 册以内为 80元，超过 30 册的每册增加 1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在 1.50元以内？解：显然印刷的册数应该大于 30。设印刷了（30 x）册，于

18、是总用费为（80+1.2x）元。故有 80+1.2x1.5（30+x），答案:117+30=147 以内。题目 18.有 4袋糖块，其中任意 3袋的总和都超过 60块。那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块？解：要使其中任意 3袋的总和都超过 60块，那么至少也是 61，先在每袋中放 20个糖块，但任意 3袋中至少一个 21，否则就无法超过 60。要使任意 3袋中至少一个21，这 4个袋子的糖块分别是 20，20，21，21。和为 20+20+21+21=82 八、抓相等关系 题目 19.10位小学生的平均身高是 1.5米。其中有一些低于 1.5米的，他们的平均身高是 1.2米；另一些高于 1.

19、5 米的平均身高是 1.7米。那么最多有多少位同学的身高恰好是 1.5米？解:要最多有多少位同学的身高恰好是 1.5 米，就要使低于和高于 1.5 米的人越少，设高于和低于的人分别为 a,b。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a 至少是 5人 那么最多有 10-5=5位同学的身高恰好是 1.5 米。-题目 20.4个不同的真分数的分子都是 1，它们的分母只有 2个奇数、2个是偶数，而且 2个分母是奇数的分数之和与 2个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶 偶/奇=（偶+偶)/

20、偶 偶 奇*（偶+偶）=偶*偶*偶。因为偶*偶*偶是 8 的倍数所以偶+偶是 8 的倍数 若是8，只能为 2和 6 则 1/2+1/6=1/3+1/3 不符合题意，因为奇相等;若是 16，有1/6+1/10=1/5+1/15 因此本题答案是 16。九、位值展开式 题目 21.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？解：设两位数位 ab（a 表示十位数字，b 表示个位数字）ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1 a+b最大是 18，此时余数为 9 当 a+b=17，若 a=9 余数为 13 若 b=9 余数为 4 题目 22.当 a+b=16，若 a=9 余数为

21、1 若 b=9 余数为 15 此时余数最大。由 3个非零数字组成的三位数与这 3个数字之和的商记为 K。如果 K是整数，那么 K的最大值是多少？解：设这个数为 abc（a表示百位数字，b 表示十位数字，c表示个位数字）那么 abc/（a+b+c）=K (100a+10b+c)/(a+b+c)=K 要使这个算式最大，就要让 a尽可能大，b,c尽可能的小。试一下：911/（9+1+1）=829，811/（8+1+1）=811，711/（7+1+1）=79，所以 K最大是 79。题目 23.用 1，3，5，7，9这 5个数组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE，再用0，2，4，6，8这 5 个数

22、组成一个三位数 FGH和一个两位数 IJ。求算式 ABC DEFGHIJ 的计算结果的最大值。解：要使 ABC*DE-FGH*IJ 这个算式最大就要使 ABC*DE最大，FGH*IJ 最小。那么前面最大是 751*93。后面最小是 468*20。那么算式的最小值是 751*93-468*20=60483 十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。题目 24.把 1，2，3，12填在左下图的 12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些

23、和都不超过整数 n，n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。解：因为 1+2312=78，78 2 1213，所以 n13。又考虑到与 12相邻的数最小是 1和 2，所以 n 至少是 14。右上图是一种满足要求的填法。十一、转化与对称思想 转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点 A、B，把 A、B用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段 AB的长叫 A、B两点间的距离。我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面 N点放上食品，在长方体侧面 ABCD上 M 点放一只

24、蚂蚁（如图 3），蚂蚁从侧面经过棱 AD 到 N 有无穷多种走法（如图 4），我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结 MN则不经过棱 AD，与条件不符.为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结 MN交 AD 于 P.由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从 M 点沿直线 MP 爬到 P 后，再由 P点沿直线 PN爬到N时走过的路程最短。题目 25.如图 11某次划船比赛规定从 A点出发，先到左岸然后到右岸然后再到 B点，时间少者取胜.请你设计一条航线，使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。如图，找到 A 点

25、关于左岸的轴对称点，B 点关于右岸的轴对称点，连结 AB，与左岸、右岸分别有交点 C、D，沿折线 ACDB航行就是最短航线。十二、学写说理题 题目 26.23个不同的自然数的和是 4845。问：这 23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。.17。解：设这 23个彼此不同的自然数为 a1，a2，a22，a23，并且它们的最大公约数是 d，则 a1=db1，a2=db2，a22=db22，a23=db23。依题意，有 4845=a1+a2+a22+a23 =d（b1+b2+b22+b23）。因为 b1，b2，b22，b23也是彼此不等的自然数，所以 b1+b2+b2

26、31+2+23=276。因为 4845=d（b1+b2+b22+b23）276d，所以 又因为 4845=19 17 15，因此 d的最大值可能是 17。当 a1=17，a2=17 2，a3=17 3，a21=17 21，a22=17 22，a23=17 32时，得 a1+a2+a22+a23 =17（1+2+22）+17 32 =17 253+17 32=17 285=4845。而（a1，a2，a22，a23）=17。所以 d的最大值等于 17。解题在于实践：题目 27.设 a1，a2，a3，a4，a5，a6 是 1到 9 中任意 6 个不同的正整数，并且 a1a2a3a4a5a6。试用这

27、6个数分别组成 2个三位数，使它们的乘积最大。分析与解：由于 a1，a6具体大小不清楚，因此先取特殊数 1，2，3，4，5，6 这 6 个不同的数考虑。要使 2个三位数的乘积最大，必须使这 2个数的百位数最大，应分别是 6，5；而十位数次大，应分别为 4，3，个位数最小，应分别为 2，1。因为当 2个数之和一定时，这 2个数之差越小，它们的乘积越大，所以这 2个数是 631和 542。题目 28.8个互不相同的正整数的总和是 56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是 44。问：剩下的数中，最小的数是多少？解：因为最大数与最小数的和是 5644=12，所以最大数不会超过 11。去掉

28、最大和最小数后剩下的 6个互不相同的自然数在 210之间，且总和为 44，这 6个数只能是 4，6，7，8，9，10。题目 29.采石场采出了 200块花岗石料，其中有 120块各重 7吨，其余的每块各重 9 吨，每节火车车皮至多载重 40 吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？解：每节车皮所装石料不能超出 5块，故车皮数不能少于 200 5=40（节），而 40节车皮可按如下办法分装石料：每节装运 3块 7 吨的和两块 9吨的石料，故知 40节可以满足要求。题目 30.一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开 4个进水管时需要 5 小时才能注满水池；当打

29、开 2个进水管时，需要 15小时才能注满水池；现在需要在 2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管 1小时注水量为 a，排水管 1小时排水量为 b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）5=（2a-b）15，化简，得：4a-b=6a-3b，即 a=b.这就是说，每个进水管 1 小时的注水量等于排水管 1小时的排水量.再设 2小时注满水池需要打开 x 个进水管，根据水池的容量列方程，得 （xa

30、-a）2（2a-a）15，化简，得 2ax-2a=15a，即 2xa=17a.（a0）所以x=8.5 因此至少要打开 9个进水管，才能在 2 小时内将水池注满.注意：x=8.5，这里若开 8个水管达不到 2 小时内将水池注满的要求；开 8.5个水管不切实际.因此至少开 9个进水管才行.题目 31.用 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个减法算式的差最大是多少？解：要想差最大必须考虑被减数取最大，那么先考虑百位为 9，同样考虑减数最小，百位为 1，再通过试算得出 936-152=784，此时差为最大既 784。题目 32

31、.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小正整数。1444。解：平方数末位只能为 0，1，4，5，6，9。因为 111，444，555，666，999 均非平方数，而 1000，1111 也不是平方数，但 1444=382，故满足题设条件的最小正整数是 1444。题目 33.从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这 10个数中，任取 5个数相加的和与其余 5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。13.从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的两组为 27+28所以共有 27-15+1=13 个不同的积。另从 15到 27的任意一数是可以组合的。自我评价：还成（）不错（）得意（）酷（）日积月累：_ 精神快餐：遇到难题题要尽力思考，一时答不上来绝不要灰心、沮丧，也不要急于翻看答案，因为反复思考的过程比得到正确的答案更重要。