届高考数学文总复习讲义 等比数列及其前n项和.docx

1、届高考数学文总复习讲义 等比数列及其前n项和第三节等比数列及其前n项和一、基础知识批注理解深一点1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列与指数型函数的关系当q0且q1时，anqn可以看成函数ycqx，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此

2、数列an各项所对应的点都在函数ycqx的图象上；对于非常数列的等比数列an的前n项和Snqn，若设a，则Snaqna(a0，q0，q1)由此可知，数列Sn的图象是函数yaqxa图象上一系列孤立的点对于常数列的等比数列，即q1时，因为a10，所以Snna1.由此可知，数列Sn的图象是函数ya1x图象上一系列孤立的点二、常用结论汇总规律多一点设数列an是等比数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq，则amanapaq；若2spr，则apara，其中m，n，p，q，s，rN*.(3)ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*)(4)若

3、数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和也是等比数列(5)若数列an的项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.三、基础小题强化功底牢一点(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)(二)选一选1在等比数列an中，a11，a32，则a7()A8 B8C8或8 D16或16解析：选B设等比数列an的公比为q，a11，a32，q2

4、2，a7a3q42228.故选B.2数列an满足a427，an13an(nN*)，则a1()A1 B3C1 D3解析：选C由题意知数列an是以3为公比的等比数列，a4a1(3)327，a11.故选C.3已知等比数列an的前n项和为Sn，a2a52a3,2a44a75，则S5()A29 B31C33 D36解析：选B设等比数列an的公比为q，由题意知解得所以S531，故选B.(三)填一填4已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a416，S37，则q_.解析：a2a4a16，a34(负值舍去)，又S3a1a2a3a37，联立，得3q24q40，解得q或q2，an0，q2.答案：25

5、(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.答案：1 典例(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.

6、由Sm63，得2m64，解得m6.综上，m6.解题技法等比数列基本运算中的2种常用数学思想方程思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn题组训练1已知等比数列an单调递减，若a31，a2a4，则a1()A2 B4C. D2解析：选B由题意，设等比数列an的公比为q，q0，则aa2a41，又a2a4，且an单调递减，所以a22，a4，则q2，q，所以a14.2(2019长春质检)已知等比数列an的各项

7、均为正数，其前n项和为Sn，若a22，S6S46a4，则a5()A4 B10C16 D32解析：选C设公比为q(q0)，S6S4a5a66a4，因为a22，所以2q32q412q2，即q2q60，所以q2，则a522316.3(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.解析：设等比数列an的公比为q，则由S62S3，得q1，则解得则a8a1q72732.答案：32 典例已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列证明因为an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以2.因为S2

8、a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列解题技法1掌握等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列2等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、

9、填空题中用来判断数列是否为等比数列(2)证明一个数列an不是等比数列，只需要说明前三项满足aa1a3，或者是存在一个正整数m，使得aamam2即可题组训练1数列an的前n项和为Sn2an2n，证明：an12an是等比数列证明：因为a1S1,2a1S12，所以a12，由a1a22a24得a26.由于Sn2an2n，故Sn12an12n1，后式减去前式得an12an12an2n，即an12an2n，所以an22an12an12n12(2an2n)2(an12an)，又a22a16222，所以数列an12an是首项为2、公比为2的等比数列2(2019西宁月考)已知在正项数列an中，a12，点An(，

10、)在双曲线y2x21上在数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列解：(1)由已知点An在y2x21上知，an1an1.数列an是一个以2为首项，1为公差的等差数列ana1(n1)d2n1n1.(2)证明：点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1.Tn1bn11(n2)两式相减，得bnbnbn1(n2)bnbn1，bnbn1.由，令n1，得b1b11，b1.数列bn是以为首项，为公比的等比数列 考法(一)等比数列项的性质典例(1)(2019洛阳联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则

11、的值为()A BC. D 或(2)(2018河南四校联考)在等比数列an中，an0，a1a2a84，a1a2a816，则的值为()A2 B4C8 D16解析(1)设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，a4a52，2.故选A.答案(1)B(2)A考法(二)等比数列前n项和的性质典例各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16解析由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14

12、x成等比数列由(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330.答案B解题技法应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用题组训练1(2019郑州第二次质量预测)已知等比数列an中，a2a5a88，S3a23a1，则a1()A. BC D解析：选B设等比数

13、列an的公比为q(q1)，因为S3a1a2a3a23a1，所以q22.因为a2a5a8a8，所以a52，即a1q42，所以4a12，所以a1，故选B.2已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.解析：由题意，得解得所以q2.答案：2A级保大分专练1(2019合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列an满足a1a516，a22，则公比q()A4 B.C2 D.解析：选C由题意，得解得或(舍去)，故选C.2(2019辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7log2a11的值为()A1 B2C3 D4解析

14、：选C由题意得a4a14(2)28，由等比数列的性质，得a4a14a7a118，log2a7log2a11log2(a7a11)log283，故选C.3在等比数列an中，a2a3a48，a78，则a1()A1 B1C2 D2解析：选A因为数列an是等比数列，所以a2a3a4a8，所以a32，所以a7a3q42q48，所以q22，则a11，故选A.4(2018贵阳适应性考试)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1，a2a68(a42)，则S2 019()A22 018 B12 018C22 019 D12 019解析：选A由等比数列的性质及a2a68(a42)，得a8a416，解得a44.又a

15、4q3，故q2，所以S2 01922 018，故选A.5在等比数列an中，a1a3a521，a2a4a642，则S9()A255 B256C511 D512解析：选C设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2a4a6a1qa3qa5qq(a1a3a5)q2142，解得q2.又a1a3a5a1(1q2q4)a12121，解得a11.所以S9511.故选C.6已知递增的等比数列an的公比为q，其前n项和Sn0，则()Aa10,0q1 Ba11Ca10,0q0，q1解析：选ASn0，a1an，且|an|an1|，则anan10，则q(0,1)，a10,0q0)，由a5a1q416，a11，得16

16、q4，解得q2，所以S7127.答案：1278在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所以q4.所以插入的两个数分别为3412,12448.答案：12,489(2018江西师范大学附属中学期中)若等比数列an满足a2a4a5，a48，则数列an的前n项和Sn_.解析：设等比数列an的公比为q，a2a4a5，a48，解得Sn2n1.答案：2n110已知等比数列an为递减数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设公比为q，由aa10，得(a1q4)2a1q9，即a1q.又

17、由2(anan2)5an1，得2q25q20，解得q，所以ana1qn1.答案：11(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解：(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)数列bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以数列bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.12(2019甘肃诊断)设数列a

18、n1是一个各项均为正数的等比数列，已知a37，a7127.(1)求a5的值；(2)求数列an的前n项和解：(1)由题可知a318，a71128，则有(a51)2(a31)(a71)81281 024，可得a5132，即a531.(2)设数列an1的公比为q，由(1)知得所以数列an1是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an122n12n，所以an2n1，利用分组求和可得，数列an的前n项和Snn2n12n.B级创高分自选1在各项都为正数的数列an中，首项a12，且点(a，a)在直线x9y0上，则数列an的前n项和Sn等于()A3n1 B.C. D.解析：选A由点(a，a)在直线x9y0上，得a9a0，即(an3an1)(an3an1)0，又数列an各项均为正数，且a12，an3an10，an3an10，即3，数列an是首项a12，公比q3的等比数列，其前n项和Sn3n1.