第三章 MATLAB常用函数.docx

1、第三章 MATLAB常用函数第二章 MATLAB常用数学函数三角函数和双曲函数名称含义名称含义名称含义sin正弦csc余割atanh反双曲正切cos余弦asec反正割acoth反双曲余切tan正切acsc反余割sech双曲正割cot余切sinh双曲正弦csch双曲余割asin反正弦cosh双曲余弦asech反双曲正割acos反余弦tanh双曲正切acsch反双曲余割atan反正切coth双曲余切atan2四象限反正切acot反余切asinh反双曲正弦sec正割acosh反双曲余弦 指数函数名称含义名称含义名称含义expE为底的指数log1010为底的对数pow22的幂log自然对数log22为

2、底的对数sqrt平方根 复数函数名称含义名称含义名称含义abs绝对值conj复数共轭real复数实部angle相角imag复数虚部 圆整函数和求余函数名称含义名称含义ceil向+圆整rem求余数fix向0圆整round向靠近整数圆整floor向-圆整sign符号函数mod模除求余 矩阵变换函数名称含义名称含义fiplr矩阵左右翻转diag产生或提取对角阵fipud矩阵上下翻转tril产生下三角fipdim矩阵特定维翻转triu产生上三角Rot90矩阵反时针90翻转 其他函数名称含义名称含义min最小值max最大值mean平均值median中位数std标准差diff相邻元素的差sort排序len

3、gth个数norm欧氏（Euclidean）长度sum总和prod总乘积dot内积cumsum累计元素总和cumprod累计元素总乘积cross外积MATLAB数据分析与多项式计算数据统计处理最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值 求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X

4、的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。例求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置2求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。(3) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列

5、向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。例分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。3两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。例求两个23矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构

6、成的新矩阵p。求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的

7、各元素乘积。例求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X的算术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为

8、2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。例 分别求向量x与y的平均值和中值。累加和与累乘积在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumpro

9、d(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。例 求s的值。标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时

10、，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。例 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000

11、,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。例 对二维矩阵做各种排序。多项式计算多项式的四则运算1多项式的加减运算2多项式乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。例 求多项式x4+8x3-1

12、0与多项式2x2-x+3的乘积。3多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求PQ的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,

13、q也是多项式的向量表示。例 求有理分式的导数。命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)Matlab符号计算MATLAB自产生之日起就在数值计算应用方面独占鳌头。但仍有缺少符号运算的缺陷，1993年MathWorks公司从加拿大滑铁卢大学购入了Maple函数库的使用权，在此基础上开发了MATLAB自己的符号计算工具箱（Symbolic Toolbox），且保留了与Maple的接口。从此，MATLAB便集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体，成为在数值计算领域中功能强大、操作简单、最受用户喜爱的语言。在MATLAB中实现符号计算功能主要有以下3种途径：（1）通

14、过调用MATLAB自己开发的各种功能函数进行常用符号运算。这些功能主要包括符号矩阵的基本操作、符号矩阵的运算、符号微积分运算、符号线性方程求解、符号微分方程求解、特殊数学符号函数、符号函数图形等，这些内容将在本章中作详细的介绍。对于众多喜爱和熟悉MATLAB的用户来说，这些操作十分简单，很容易学习和掌握。（2）MATLAB语言中的符号计算功能已径很强大了，但为了一些特殊专业人员提供方便，MATLAB中还保留着与Maple的接口，以实现更多功能。在应用过程中需了解一些Maple的操作语法。本章中将对此作简单介绍。（3）对那些习惯了计算器的人来说，MATLAB同样是最佳的选择，因为MATLAB还提

15、供了符号运算计算器（Function calculator）功能。符号表达式的生成 MATLAB将数值计算中的变量认为是被赋值的数值变量，将符号运算中数字也视为符号。 符号表达式包括符号函数和符号方程，两者的区别是：前者不包括等号，而后者必须带有符号。但这两者的创建方式是相同的，并且和MATLAB中的字符串变量的生成方法相同。(1) 创建符号函数 f=log(x)f =log(x)（2）创建符号方程 eqation=a*x2+b*x+c=0eqation =a*x2+b*x+c=0（3）创建符号微分方程 diffeq=Dy-y=xdiffeq =Dy-y=x由此种方法创建的符号表达式对空格是很

16、敏感的。因此不要在字符间乱加空格符，否则在其他地方调用此表达式的时候会出错。由于符号表达式在MATLAB中被看成是非1阶的符号矩阵，因此它也可用sym命令来创建。如： f=sym(sin(x)f =sin(x) f=sym(sin(x)2=0)f =sin(x)2=0 另外一种创建符号函数的方法是用syms命令来创建。如： syms x % 此法不能用来创建符号方程 f=sin(x)+cos(x)f =sin(x)+cos(x) 符号矩阵的生成 在MATLAB中创建符号矩阵的方法和创建数值矩阵的形式很相似，只不过要用到符号定义函数sym, 下面介绍使用此函数创建符号函数的几种形式。使用sym函

17、数直接创建符号矩阵 a=sym(1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x); 9, exp(x2+y2), log(tanh(y) % 注意的使用及位置a = 1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x) 9, exp(x2+y2), log(tanh(y)用创建子阵的方法创建符号矩阵 这种创建方式需用逗号将同行各元素分隔，列元素对不齐时要用空格调整。 a=1/s+x sin(x) cos(x)2/(b+x);9 exp(x2+y2) log(tanh(y)a =1/s+x sin(x) cos(x)2/(b+x)9 exp(x2+y2) log(tanh(y) a=

18、1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x);9, exp(x2+y2), log(tanh(y)a =1/s+x, sin(x), cos(x)2/(b+x)9, exp(x2+y2), log(tanh(y) b=a;exp(-1), 3, x3+y9 % ？报错将数值矩阵转化为符号矩阵 在MATLAB中，数值矩阵不能直接参与符号计算，必须先转化为符号矩阵。注意不论数值矩阵的元素原先是用分数还是用浮点数表示的，转化后的符号矩阵都将以最接近的精确有理数给出。如： a=2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)a = 0.6667 1.4142 0.22

19、20 1.4000 4.3478 1.0986 b=sym(a)b = 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, 4947709893870346*2(-52)符号矩阵的索引和修改 MATLAB的矩阵索引和修改同数值矩阵的索引和修改完全相同，即用矩阵的坐标括号表达式实现。如： b(1,3) % 对上矩阵ans =111/500 b(2,3)=log(9)b = 2/3, sqrt(2), 111/500 7/5, 100/23, log(9)符号矩阵的基本运算 作为MATLAB语言核心的矩阵在符号运算中也发挥着重要作用，对符号矩阵本身的操作也显得十分重要，MATLA

20、B为符号矩阵提供了与数值矩阵相应的操作方式和函数。 四则运算1 矩阵的加（+）、减（-）法 a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3)a = 1/x, 1/(x+1) 1/(x+2), 1/(x+3) b=sym(x,1;x+2,0)b = x, 1 x+2, 0 a+bans = 1/x+x, 1/(x+1)+1 1/(x+2)+x+2, 1/(x+3) b-aans = x-1/x, 1-1/(x+1) x+2-1/(x+2), -1/(x+3)2 矩阵的乘（*）、除（/、 ）法 a*b % 矩阵a与b的线性代数乘法ans = 1+1/(x+1)*(x+2), 1/

21、x 1/(x+2)*x+1/(x+3)*(x+2), 1/(x+2) a/b % 相当于a*inv(b)ans =1/(x+1), -(x2-x-1)/(x2+3*x+2)/x1/(x+3), -(x2+x-3)/(x3+7*x2+16*x+12) ab % 相当于inv(a)*bans = -6*x-2*x3-7*x2, 3/2*x2+x+1/2*x3 6+2*x3+10*x2+14*x, -1/2*x3-2*x2-3/2*x3 矩阵的转置(、 .) a=sym(1/x,1/(x+1);1/(x+2),1/(x+3)a = 1/x, 1/(x+1) 1/(x+2), 1/(x+3) a %

22、结果中用到求复数共轭函数conj()ans = 1/conj(x), 1/(2+conj(x) 1/(1+conj(x), 1/(3+conj(x) a.ans = 1/x, 1/(x+2) 1/(x+1), 1/(x+3)2.3.2 符号矩阵的其他基本运算1行列式 det(a)ans =2/x/(x+3)/(x+1)/(x+2)2符号矩阵的逆（运算） inv(b)ans = 0, 1/(x+2) 1, -x/(x+2)3符号矩阵的秩（运算） rank(a)ans = 24符号矩阵的幂运算 a2ans = 1/x2+1/(x+1)/(x+2), 1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3)

23、1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2), 1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)25符号矩阵的指数运算 bb = x, 1 x+2, 0 exp(b)ans = exp(x), exp(1) exp(x+2), 1 c=sym(0,a;b,0)c = 0, a b, 0 c=sym(0,a;b,0)c = 0, a b, 0 expm(c) % V,D = EIG(X) and EXPM(X) = V*diag(exp(diag(D)/Vans = 1/2*exp(a*b)(1/2)+1/2*exp(-(a*b)(1/2), 1/2*a*(-exp(-(a*b)(1/2)+exp(

24、a*b)(1/2)/(a*b)(1/2) 1/2*b*(-exp(-(a*b)(1/2)+exp(a*b)(1/2)/(a*b)(1/2), 1/2*exp(a*b)(1/2)+1/2*exp(-(a*b)(1/2)矩阵分解 这是MATLAB符号矩阵操作的重要组成部分之一，其中包括特征值解、奇异值分解等，以及约当型、三角抽取和矩阵空间等。符号矩阵的特征值分解由eig函数实现 a=a;b=b;c=c; % 清除变量a、b、c同Maple d=sym(a,b,c;b,c,a;c,a,b) v,lambda=eig(d)v = 1, -(a+(b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2)-b

25、)/(a-c), -(a-(b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2)-b)/(a-c) 1, -(b-(b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2)-c)/(a-c), -(b+(b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2)-c)/(a-c) 1, 1, 1lambda = b+a+c, 0, 0 0, (b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2), 0 0, 0, -(b2-b*a-c*b-c*a+a2+c2)(1/2)符号矩阵的奇异值分解由svd函数实现 syms t real A=0,1;-1,0; E=expm(t*A)E = cos(t), si

26、n(t) -sin(t), cos(t) sigma=svd(E)sigma = (cos(t)2+sin(t)2)(1/2) (cos(t)2+sin(t)2)(1/2) simplify(sigma)ans = 1 1符号矩阵的约当标准型由jordan函数计算得到 a=sym(1 1 2;0 1 3; 0 0 2)a = 1, 1, 2 0, 1, 3 0, 0, 2 x,y=jordan(a)x = 5, -5, -5 3, 0, -5 1, 0, 0y = 2, 0, 0 0, 1, 1 0, 0, 1符号矩阵的三角抽取由diag、tril、triu函数实现diag抽主对角线元素tri

27、l、triu分别抽左、右三角形 z=sym(x*y xa sin(y);ta log(y) b; y exp(t) x)z = x*y, xa, sin(y) ta, log(y), b y, exp(t), x diag(z)ans = x*y log(y) x tril(z,-1)ans = 0, 0, 0 ta, 0, 0 y, exp(t), 0 triu(z,1)ans = 0, xa, sin(y) 0, 0, b 0, 0, 0 triu(z,1)ans = 0, xa, sin(y) 0, 0, b 0, 0, 0符号矩阵的列空间求解函数为colspace a=sym(1 1 2; 0 1 3; 0 0 2)a = 1, 1, 2 0, 1, 3 0, 0, 2 b=colspace(a) % 求解出来的列向量构成原矩阵列空间的基b= 1, 0, 0 0, 0, 1 0, 1, 0 size(b