正方形综合试题选.docx

1、正方形综合试题选 正 方 形 综 合 试 题 选1如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BEMN于点E，过点C作CFMN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明2已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成

2、立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明3（本溪二模）已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点C作CE直线l于点E，连接BE（1）如图1，当直线lBC时，CE+AE= BE；（2）如图2，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请判断线段BE、AE、CE三者数量关系，并证明；（3）如图3，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请补全图形并判断线段BE、AE、CE三者数量关系，不必证明4（天桥区一模）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CFADCF成立（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转

3、一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：ADCF（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD= 时，求线段CF的长5如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DEAG于点E，BFDE，交AG于F（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF；（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，判断线段DE、BF、EF之间的数量关系是； （3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FPGC，交AC于点P，连接DP，若ADE=30，GB= ，求D

4、P的长6（黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BFMN于点F（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明7（盐城）如图所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1l于点D1，过点E作EE1l于点E1（1）如图，当点E恰好在直线l上时（此时E1与

5、E重合），试说明DD1=AB；（2）在图中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需要证明）8（黔南州）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由9（青海）如图（*），四边形

6、ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CF于点F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但ABE和ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证AEMEFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+AEB=90EAM=FEC点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点AM=EC又可知BME是等腰直

7、角三角形AME=135又CF是正方形外角的平分线ECF=135AEMEFC（ASA）AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由10（锦州）已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图

8、1，当点D在线段BC上时，求证：BDCFCF=BC-CD（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC的形状，并说明理由（4）在（3）的条件下，AD与AB满足什么条件时？AOC是等边三角形.11（黑龙江）在ABC中，BAC=90，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：AFC=ACB+DAC；（1）若点D在

9、BC延长线上，其他条件不变，写出AFC、ACB、DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出AFC、ACB、DAC的关系式12（东营）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE=45，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，DE=10，求直角梯形A

10、BCD的面积13（永州）探究问题：（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，1=2，ABG=D=90，ABG+ABF=90+90=180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=452+3=BAD-EAF=90-45=451=2，1+3=45即GAF= 又AG=AE，AF=AFGAF =EF，故DE+BF=EF（2）方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，B

11、C边上的点，且EAF= DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足EAF= DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）14（营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如

12、果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）15（咸宁）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3 ，求

13、AG，MN的长16（阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由17（赤峰）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交

14、BC的延长线于点N，FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值18（天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足分别为E、F，如图（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明19（义乌市）如图1，四边形ABC

15、D是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理

16、由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值20（海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G（1）求证：ADECDE；（2）过点C作CHCE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由21（大连）如图，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且FAE=EAD，那么EFAE”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（

17、如图、图、图），其它条件不变，发现仍然有“EFAE”结论你同意小明的观点吗？同意，请结合图加以证明；若不同意，请说明理由22（大连）如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M探究：线段MD、MF的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；将正方形CGEF绕点

18、C逆时针旋转45（如图），其他条件不变；在的条件下，且CF=2AD附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段MD、MF的关系，并加以证明23（东城区一模）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF=45，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小

19、炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45若B，D都不是直角，则当B与D满足 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，求DE的长24（本溪一模）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（0180），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角发生变化时，EMB的度数是否发生变化？若不变

20、化，求出EMB的度数；若发生变化，请说明理由（3）在（2）的条件下，过点A作ANMB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系： 25.（密云县一模）已知：正方形ABCD中，MAN=45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明（3）若CN=6，BM=2，求正方形ABC

21、D的边长26（怀柔区一模）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF= BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明27（莆田质检）在矩形ABCD

22、中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MNPQ交射线BC于N点（1）若点N在BC边上时，如图1求证：PN=QN；请问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当PBN与NCQ的面积相等时，求AP的值28（高淳区一模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角AOB=，将DOC按逆时针方向旋转得到DOC（0旋转角90）连接AC、BD，AC与BD相交于点M（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1求证：AOCBOD（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2猜想此时AOC与BO

23、D有何关系，证明你的猜想；探究AC与BD的数量关系以及AMB与的大小关系，并给予证明29（宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC（1）如图1中，PG与PC的位置关系是 ，数量关系是 ；（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且ABC=BEF=60，求 PG:PC的

24、值30在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若EGF是等腰直角三角形，EGF=90，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若EGF是等边三角形，则AB= 31如图，四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF探究线段MD、MF的关系，并加以说明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列（1）、 （2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明注

25、意：选取（1）完成证明得10分；选取（2）完成证明得7分如图2，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上；如图3，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，CF=2AD32如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H求证：AGCE；如果，AD=25 ，DG=10 ，求CE的长33【观察发现】如图1，四边形

26、ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系（只要求写出结论，不必说出理由）【深入探究】如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明【拓展应用】如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为 、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明

27、理由(线段OD长的最大值为8)34（济宁三模）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；（3）在（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD= 时，求线段CM的长35.(德州)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（

28、2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 36.（黑河/东营）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG（1）将BEF绕点B逆时针旋转90，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF绕点B逆时针旋转180，如图（3），

29、则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明37.(农垦牡丹江管理局)已知ACD=90，MN是过点A的直线，AC=DC，DBMN于点B，如图(1)易证BD+AB=CB，过程如下： 过点C作CECB于点C，与MN交于点E ACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE 四边形ACDB内角和为360，BDC+CAB=180 EAC+CAB=180，EAC=BDC 又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB 又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB (1)当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(2)给予证明 (2)MN在绕点A旋转过程中，当BCD=30，BD=时，则CD=_，CB=_