鸡兔同笼问题.docx

1、鸡兔同笼问题鸡兔同笼一，基本问题 鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路. 例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头,244只脚，鸡和兔各有多少只? 解：我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在,地面上出现脚的总数的一半，也就是 2442=122(只). 在122这个数里,鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数 122-88=34(只）， 有34只兔子.当然鸡就有54只。

2、 答:有兔子34只,鸡54只。 上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数 上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数，多简单！能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法. 还说例1. 如果设想88只都是兔子,那么就有488只脚，比244只脚多了 884-244=108(只). 每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡 (884-244)(4-2)= 54(只). 说明我们设想的88只兔子中，

3、有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式 鸡数=(兔脚数总头数-总脚数)(兔脚数-鸡脚数). 当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176(只),比244只脚少了 244-176=68(只). 每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚， 682=34(只). 说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式 兔数=(总脚数-鸡脚数总头数)(兔脚数-鸡脚数). 上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减,就知道另一个数。 假设全是鸡，或者全是兔,通常用这样的思路求解，有人称为假设法. 现在,拿一个具体问题来试试上面的公式。 例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11

4、元,两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红,蓝铅笔各买几支？ 解:以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚,一种兔子有19只脚，它们共有16个头,280只脚。 现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式,就有 蓝笔数=(1916-280)(19-11) =248 =3(支). 红笔数=16-3=13(支). 答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。 对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想，脚数是 8(11+19)=240（支）。 比280少40. 40(19-11)=5

5、（支）。 就知道设想中的8只鸡应少5只,也就是鸡(蓝铅笔)数是3. 308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算. 实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中,兔数为10,鸡数为6,就有脚数 1910+116=256. 比280少24. 24(19-11)=3, 就知道设想6只鸡,要少3只。 要使设想的数，能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领. 下面再举四个稍有难度的例子。 例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完,共用了7小时。甲打字用了多少小时？ 解:我们把这份稿件平均

6、分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时打3010=3(份). 现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数,总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了。 根据前面的公式 兔数=(30-37)(5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。 答：甲打字用了4小时30分. 例4 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元

7、哪一年？ 解:4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是 (254-86)(4-3)=14(岁). 1998年，兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 (40-10)(3-1)=15(岁). 这是2003年。 答：公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍. 例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20

8、对翅膀.每种小虫各几只？ 解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成8条腿与6条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=(118-618)(8-6) =5(只). 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13(只). 也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。再利用一次公式 蝉数=(132-20)(2-1)=6(只). 因此蜻蜓数是13-6=7(只). 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓,6只蝉。 例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加,共做对181道题，已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人，5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？ 解

9、:对2道,3道，4道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-17-56=144(道). 由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人(2+3)2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对4道题的有 (144-2.539)(4-2.5)=31(人). 答：做对4道题的有31人。 习题一 1龟鹤共有100个头，350只脚.龟,鹤各多少只 ？ 2学校有象棋，跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？ 3一些2分和5分的硬币,共值2.99元，其中2分硬币个数

10、是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个 ？ 4某人领得工资240元，有2元,5元，10元三种人民币,共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元,5元，10元各有多少张？ 5一件工程,甲单独做12天完成，乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天 ？ 6摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段,每一阶段中，有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路

11、.全程中包含这两种阶段各几段？ 7用1元钱买4分,8分，1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张？ 二，两数之差的问题 鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张？ 解一:如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. (680-840)(8+4)=30(张), 这就知道，余下的邮票中,8分和4分的各有30张。 因此8分邮票有 40+30=70(张). 答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。 也可以用任意假设一个数的办法. 解二:

12、譬如,假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是 420+860=560. 比680少,因此还要增加邮票。为了保持差是40,每增加1张4分，就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-420-860)(4+8)=10(张). 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张). 例8 一项工程，如果全是晴天,15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天， 工程要多少天才能完成? 解：类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有 (150-83)(10+8)=

13、 7(天). 雨天是7+3=10天,总共 7+10=17(天). 答:这项工程17天完成。 请注意，如果把雨天比晴天多3天去掉,而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系. 总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢 例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？ 解一：假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡282=14(只),鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚42=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是 (100+282)(2+1)=38(只). 鸡

14、是 100-38=62(只). 答:鸡62只，兔38只。 当然也可以去掉兔284=7(只).兔的只数是 (100-284)(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法。 解二：假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是 450-250=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚,多了2只鸡脚，相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只). 另外，还存在下面这样的问题:总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.

15、例10 古诗中，五言绝句是四句诗,每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？ 解一：如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等，此时字数相差 1354+20=280(字). 每首字数相差 74-54=8(字). 因此,七言绝句有 280(28-20)=35(首). 五言绝句有 35+13=48(首). 答:五言绝句48首，七言绝句35首。 解二：假设五言绝句是23首,那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是2023=460(字),2810=280(字),五言绝句的字数，反而多了 460-280

16、=180(字). 与题目中少20字相差 180+20=200(字). 说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 2008=25(首). 五言绝句有 23+25=48(首). 七言绝句有 10+25=35(首). 在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔,或者都是鸡，对于例7,例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下,把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常有趣的事. 例7,假设都是8分邮票，4分邮票张数是 (680-840)(8+4)=30(张). 例9,假设都是兔，鸡的只数是

17、 (1004-28)(4+2)=62(只). 10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (2013+20)(28-20)=35(首). 首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与鸡兔同笼公式比较，这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢 当你进入初中,有了负数的概念，并会列二元一次方程组,就会明白，从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 解:如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1

18、+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)(1+0.2)=17(只). 答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。 请你想一想,这是鸡兔同笼同一类型的问题吗 例12 有两次自然测验，第一次24道题,答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分？ 解一:如果小明第一次测验24题全对，得524=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是 86-2(15-6)=30(分). 两次相差 120-30=90(分). 比题目中条件相

19、差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少 6+10=16(分). (90-10)(6+10)=5(题). 因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11(题). 第一次得分 519-1(24- 19)=90. 第二次得分 811-2(15-11)=80. 答：第一次得90分,第二次得80分。 解二:答对30题，也就是两次共答错 24+15-30=9(题). 第一次答错一题,要从满分中扣去5+1=

20、6(分),第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10(分).答错题互换一下,两次得分要相差6+10=16(分). 如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分。比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此，第二次答错题数是 (69+10)(6+10)=4(题) 第一次答错9-4=5(题). 第一次得分5(24-5)-15=90(分). 第二次得分8(15-4)-24=80(分). 习题二 1买语文书30本,数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ？ 2甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元,共买这两种茶

21、叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？ 3一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次,雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天,也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？ 4某次数学测验共20道题,做对一题得5分，做错一题倒扣1分,不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？ 5甲，乙二人射击,若命中，甲得4分,乙得5分；若不中，甲失2分,乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时,甲比乙多10分。问甲，乙各中几发 ？ 6甲,乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后,又从乙地返回甲地，小王从

22、乙地到甲地,在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲,乙两地出发，经过4小时后,他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。 ？ 三,从三到二 鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法,也可以看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题,告诉大家两类转化的方法。 例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支 解：从

23、条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔，每支价格算作 (0.604+2.7)5=1.02(元). 现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 答:其中钢笔12支，圆珠笔44支,铅笔176支。 例14 商店出售大，中,小气球，大球每个3元,中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好

24、一样多.问每种球各买几个 解：因为总钱数是整数，大,小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球。因此，可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.52+13)(2+3)=1.2(元). 从公式可算出，大球个数是 (120-1.255)(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-303)2=15(元). 可买10个中球，15个小球。 答:买大球30个,中球10个，小球15个. 例13是从两种东西的个数之间倍数关系,例14是从两种东西的总钱数之间相等关系(倍数关系也可用类似方法),把两种东西合井成一种考

25、虑，实质上都是求两种东西的平均价,就把三转化成二了。 例15是为例16作准备. 例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米,求他的平均速度是多少 解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提. 平均速度=所行距离所用时间 去时走1千米，要用20分钟;回来时走1千米,要用10分钟。来回共走2千米，用了30分钟,即半小时，平均速度是每小时走4千米. 千万注意,平均速度不是两个速度的平均值:每小时走(6+3)2=4.5千米。 例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路,平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲

26、地到乙地,李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米 解：把来回路程452=90(千米)算作全程。去时上坡，回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是62=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是： 45-53=30(千米). 又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是： (67

27、-30)(6-3)=4(小时). 行走路程是34=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是63=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡12千米，平路15千米,下坡18千米。 做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题.例16是非常典型的例题。 例17 某种考试已举行了24次,共出了426题.每次出的题数，有25题,或者16题，或者20题。那么,其中考25题的有多少次 解：如果每次都考16题，1624=384,比426少42道题. 每次考25道题，就要多25-16=9(道). 每次考20道题,就要多20-16=4(道). 就有 9考25题的次数+4考20题的次数=42.

28、 请注意，4和42都是偶数,9考25题次数也必须是偶数，因此,考25题的次数是偶数，由96=54比42大,考25题的次数，只能是0,2,4这三个数。由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次(考20题有6次). 答:其中考25题有2次。 例18 有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位 解：由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍. 如果有30人乘电车, 110-1.230=74(元). 还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了. 如果有40人乘电车 110-1.240=62(元). 还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往，钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了。30至40之间,只有35是5的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了: 总头数50-35=15, 总脚数110-1.235=68. 因此，乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 答：乘小巴前往的同学有11位。 在三转化为二时,例13,例14,例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西