新人教版八年级数学上册全等三角形的判定开放型问题 学案.docx

1、新人教版八年级数学上册全等三角形的判定开放型问题 学案新人教版八年级数学上册全等三角形的判定（开放型问题） 学案 一、学习目标1判断能证明三角形全等的条件；2判断三角形全等能推出的结论；3探索全等三角形判定的综合问题二、知识回顾1三角形全等的证明思路：要证什么？已知什么？还缺什么？已知条件证明思路两边一边一角两角2四种判定方法的图例说明：三、新知讲解1. 什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想.2. 开放题问题类型及解题策

2、略（1）条件开放与探索型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.（2）结论开放与探索型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.（3）条件、结论开放与探索型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性.四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1全等三角形补充条件型问题【例1】（202X漳州）如图，点C，F在线段BE上，

3、BF=EC，1=2，请你添加一个条件，使ABCDEF，并加以证明（不再添加辅助线和字母）总结：因为全等三角形的判定定理有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据已知条件并结合图形及判定方法来添加一个条件练1（202X滕州市校级模拟）如图，已知1=2，则不一定能使ABDACD的条件是（ ）ABD=CD BAB=AC CB=C DBAD=CAD练2（202X秋宜兴市校级月考）如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使ADBCEB2全等三角形结论探索型问题【例2】（202X邵阳）如

4、图，已知点A、F、E、C在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练3（202X陆川县校级模拟）如图，ABC中，ADBC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（ ）A5对 B6对 C7对 D8对3全等三角形条件和结论全开放型问题【例3】（202X金溪县模拟）有下列四个判断：AD=BF；AE=BC；

5、EFA=CDB；AEBC请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明已知：求证：证明：总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS、SAS、ASA、AAS、HL的考查要熟练掌握全等三角形的证明思路：已知条件证明思路两边一边一角两角练4如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：OA=OC，OB=OD，ABDC(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果、，那么)(2)选择(1)中你写出的个命题，说明它正确的理由五、课后小测一、选择题1（202X秋德州期末）在ABC和DEF中，AB=DE，A=D，

6、若证ABCDEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是（ ）AB=E BC=F CBC=EF DAC=DF2（2013秋赵县期末）如图所示，已知AB=CD，AD=CB，AC、BD相交于O，则图中全等三角形有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对3（202X宁德）如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DEBC于E，FGBC于G，DF交BC于点P，则下列结论：BE=CG；EDPGFP；EDP=60；EP=1中，一定正确的是（ ）A B C D4（202X雁塔区校级模拟）如图，EAAB，BCAB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：（1）DE=AC（2

7、）DEAC（3）CAB=30（4）EAF=ADE，其中结论正确的是（ ）A（1），（3） B（2），（3） C（3），（4） D（1），（2），（4）5（202X如东县模拟）如图1，已知ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1ABC全等的图形是（ ）A甲乙 B丙 C乙丙 D乙6（202X秋嘉荫县期末）如图，在ABC中，AB=AC，AE=AF，ADBC于点D，且点E、F在BC上，则图中全等的直角三角形共有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对二、填空题7（202X秋肥东县期末）在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下

8、面三个结论：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正确的是_8（2013春沧浪区校级期末）如图，在RtABC中，C=90，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=_时，ABC和PQA全等9（202X秋岑溪市期中）如图所示，B=D=90，要使ABCADC，还需添加一个条件，这个条件可以是_（只需填一个即可）三、解答题10（2012秋广州校级期中）如图，已知ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论11（202X金溪县模拟）请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明等式

9、：AB=CD，A=C，AEB=CFD，已知：ABCD，BE=DF，_求证：ABECDF证明：12.（202X徐州模拟）已知：如图，ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD（1）请你写出两个正确结论：_；_；（2）当B=60时，还可以得出哪些正确结论？（只需写出一个）（3）请在图中过点D作于DMAB于M，DNAC于N求证：DBMDCN典例探究答案：【例1】【解析】由已知先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS”可推出两三角形全等解：AC=DF证明：BF=EC，BFCF=ECCF，即BC=EF.在ABC和DEF中ABCDEF（SAS）练1【解析】利用全等三角形判定定理ASA，SA

10、S，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案解：A、1=2，AD为公共边，若BD=CD，则ABDACD（SAS）；B、1=2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定ABDACD；C、1=2，AD为公共边，若B=C，则ABDACD（AAS）；D、1=2，AD为公共边，若BAD=CAD，则ABDACD（ASA）；故选：B点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练2【解析】要使ADBCEB，已知

11、B为公共角，BEC=BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定ADBCEB解：AB=BC，ADBC，CEAB，B=BADBCEB（AAS）答案：AB=BC点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL点评：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难【例2】【解析】（1）根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；（2）根据ABCD可得1=2，根据

12、AF=CE可得AE=FC，然后再证明ABECDF即可解：（1）ABECDF，AFDCEB；（2）ABCD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即AE=FC.在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）练3【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证解：ABC中，ADBC，AB=AC，BD=CD，ABDACD，BAD=CAD，又AE=AF，AO=AO，AOEAOF，EO=FO，进一步证明可得BODCOD，BOECOF，AOBAOC，ABFACE，BCECBF，共7对故选：C点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两

13、个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理【例3】【解析】由已知AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AEBC得出A=B，证明AEFBCD，即可得出EFA=CDB解：已知：AD=BF，AE=BC，AEBC；求证：EFA=CDB；证明：AD=BF，AD+DF=BF+DF，即AF=BD.AEBC，A=B，在AEF和BCD中，AEFBCD（SAS），EFA=CDB点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键练4【解析】（1）如果、，那么，或如果、，那么，如果、，那么；（2）下面选择“如果、，那么”加以证明证明：

14、在AOB和COD中，AOBCOD，AC，ABDC课后小测答案：一、选择题1【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案解：A、正确，符合判定ASA；B、正确，符合判定AAS；C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D、正确，符合判定SAS故选：C点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等2【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分解答解：AB=CD，AD=CB，四边形ABCD是平行四边形，AO=CO，BO=DO，ABOCDO，ADOCBO，又ABCCDA，

15、ABDCDB，图中全等三角形有四对故选：C点评：本题主要考查全等三角形的判定，先证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键做题时从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻3【解析】由等边三角形的性质可以得出DEBFGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论解：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=ACB=60ACB=GCF，DEBC，FGBC，DEB=FGC=DEP=90在DEB和FGC中，DEBFGC（AAS），BE=CG，DE=FG，故正确；在DEP和FGP中，DEPFGP

16、（AAS），故正确；PE=PGEDP=GFP60，故错误；PG=PC+CG，PE=PC+BEPE+PC+BE=2，PE=1故正确正确的有，故选：D点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键4【解析】本题条件较为充分，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证解：EAAB，BCAB，EAB=ABC=90RtEAD与RtABCD为AB中点，AB=2AD又EA=AB=2BCAD=BCRtEADRtABCDE=AC，C=ADE，E=FA

17、D又EAF+DAF=90EAF+E=90EFA=18090=90，即DEAC，EAF+DAF=90，C+DAF=90C=EAF，C=ADEEAF=ADE故选：D点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题5【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可解：已知图1的ABC中，B=50，BC=a，AB=c，AC=b，C=58，A=72，图2中，甲：只有一个角和B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和ABC不全等；乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS定理

18、，能推出两三角形全等；故选：C点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS6【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD，DE=DF；证明ABDACD，AEDAFD，即可解决问题解：如图，AB=AC，AE=AF，ADBC，BD=CD，DE=DF；在ABD与ACD中，ABDACD（SAS），同理可证AEDAFD；故选：B点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键二、填空题、7【解析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证RtASPRtARP，得A

19、S=AR；PAR=PAQ，可证PQAR解：连接AP,在RtASP和RtARP中PR=PS，PA=PA所以RtASPRtARP所以AS=AR正确因为AQ=PQ所以QAP=QPA又因为RtASPRtARP所以PAR=PAQ于是RAP=QPA所以PQAR正确BRPCSP，根据现有条件无法确定其全等故填点评：此题考查了到角平分线的性质及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键8【解析】当AP=5或10时，ABC和PQA全等，根据HL定理推出即可解：当AP=5或10时，ABC和PQA全等，理由是：C=90，AOAC，C=QAP=90，当AP=5=BC时，在RtACB和RtQAP

20、中RtACBRtQAP（HL），当AP=10=AC时，在RtACB和RtPAQ中RtACBRtPAQ（HL），故答案为：5或10点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL9【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据判定定理写出一个即可解：AB=AD，理由是：B=D=90，在RtABC和RtADC中,RtABCRtADC（HL），故答案为：AB=AD点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一三、

21、解答题10【解析】先利用HL判定CAEEBD，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可以得到线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直解：CE=DE，CEDE，理由如下：ACAB，DBAB，AC=BE，AE=BD，CAEEBDCEA=DD+DEB=90，CEA+DEB=90即线段CE与DE的大小与位置关系为相等且垂直点评：此题主要考查学生对全等三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意做题格式11【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：ABCD，B=D，在ABE和CDF中，,ABECDF点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单12.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得ABC是等边三角形；（3）先证明ABDACD，再证明DBMDCN解：（1）BD=CD；ABDACD；（2）AB=AC，B=60，ABC是等边三角形（3）在RtABD和RtACD中，ABDACD，ABD=ACD，在RtDBM和RtDCN中，,DBMDCN点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL