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1、算法设计与分析习题答案16章复习课程算法设计与分析习题答案1-6章习题11. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，17071783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点输出：相同的点1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所

2、有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。2在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1m=n2.2n=r2.3r=m-n3输出m 3设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C+描述。/采用分治法/对数组先进行快速排序/在依次比较相邻的差#include using namespace std;int partions(int b,int low,int high)int prvotkey=blow;b0=blow;while (lowhigh) wh

3、ile (low=prvotkey) -high; blow=bhigh; while (lowhigh&blow=prvotkey) +low; bhigh=blow;blow=b0;return low;void qsort(int l,int low,int high)int prvotloc;if(lowhigh) prvotloc=partions(l,low,high); /将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); /递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); /递归调用排序 由 prvot

4、loc+1到 highvoid quicksort(int l,int n)qsort(l,1,n); /第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个int main()int a11=0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39;int value=0;/将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b11;b+)coutab ;coutendl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;+i) if( (ai+1-ai)=(ai+2-ai+1) ) value=ai+1-ai; else value=ai+2-ai+1;coutvalueendl;r

5、eturn 0;4 设数组an中的元素均不相等，设计算法找出an中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C+描述。#includeusing namespace std; int main() int a=1,2,3,6,4,9,0; int mid_value=0;/将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;+i) if(ai+1ai&ai+1ai+2) mid_value=ai+1; coutmid_valueendl; break; else if(ai+1ai+2) mid_value=ai+1; cout

6、mid_valueendl; break; /for return 0;5. 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。#includeusing namespace std;int main() double value=0; for(int n=1;n=10000 ;+n) value=value*10+1; if(value%2013=0) coutn至少为:nendl; break; /for return 0;6. 计算值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的值#include using namespace std;int main () do

7、uble a,b; double arctan(double x);/声明a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239); cout PI= a-b 1e-15)/定义精度范围 f = e/i;/f是每次r需要叠加的方程 r = (i%4=1)?r+f:r-f; e = e*sqr;/e每次乘于x的平方 i+=2;/i每次加2 /while return r;7. 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为

8、完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数#includeusing namespace std;int main() int value, k=1; cinvalue; for (int i = 2;i!=value;+i) while (value % i = 0 ) k+=i;/k为该自然数所有因子之和 value = value/ i; /for if(k=value) cout该自然数是完美数endl; else cout该自然数不是完美数endl; return 0;8. 有4个人打算过桥，这个桥每次最

9、多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来第一趟：甲，丁过桥一共用时19小时9欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必

10、须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。习题21如果T1(n)=O(f (n)，T2(n)=O(g(n)，解答下列问题：（1）证明加法定理：T1(n)T2(n)=

11、maxO(f (n), O(g(n)；（2）证明乘法定理：T1(n)T2(n)=O(f (n)O(g(n)；（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。,（1）（2）（3）比如在 for（f(n)）for(g(n)中应该用乘法定理如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理2考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法的基本语句是什么？基本语句执行了多少次？算法的时间复杂性是多少？（1） 完成的是1-n的平方和基本语句：s+=i*i，执行了n次时间复杂度O（n）（2） （2）完成的是n的平方基本语句：return Q(n-1) + 2 * n 1，执行了n次时间复杂度O（

12、n）3. 分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。 （1） 基本语句2*i1)return 3*T(n-1);(2)int T(int n) if(n=1)return 1;else if(n1)return 2*T(n/3)+n;5. 求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。（1）求数组中的最大元素； （2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集(1) (n) 紧密？(2) (n*n)(3) (logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找）(4) (2n)7画出在三个数a, b, c中求中值

13、问题的判定树。ababc是是是否否否acbcbacbcCbabcaacCabacb否否是是8国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。Shashi要求以这种方式给他一些粮食：棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，以此类推，直到64个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢？#includeusing namespace std;int main() long double result=1; double j=1; for(int i=1;i=64;+i) j=j*2; res

14、ult+=j; j+; coutresultendl; return 0;习题31 假设在文本ababcabccabccacbab中查找模式abccac，写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过/BF算法#includeusing namespace std;int BF(char S, char T) int index = 0; int i = 0, j = 0; while (Si != 0) & (Tj != 0) if (Si = Tj) i+; j+; else +index; i = index; j = 0; if (Tj = 0) return index + 1; els

15、e return 0;int main() char s119=ababcabccabccacbab; char s27=abccac; cout BF( s1, s2) endl; return 0;/KMP算法#includeusing namespace std;void GetNext(char T , int next ) /求模式T的next值int i, j, len;next0 = -1; for (j = 1; Tj!=0; j+) /依次求nextjfor (len = j - 1; len = 1; len-) /相等子串的最大长度为j-1 for (i = 0; i l

16、en; i+) /依次比较T0Tlen-1与Tj-lenTj-1 if (Ti != Tj-len+i) break; if (i = len) nextj = len; break; /for if (len 1) nextj = 0; /其他情况，无相等子串/forint KMP(char S , char T ) /求T在S中的序号int i = 0, j = 0;int next80; /假定模式最长为80个字符 GetNext(T, next); while (Si != 0 & Tj != 0) if (Si = Tj) i+; j+; else j = nextj; if (j

17、= -1) i+; j+; if (Tj = 0) return (i - strlen(T) +1); /返回本趟匹配的开始位置else return 0;int main() char s1=ababcabccabccacbab; char s2=abccac;coutKMP(s1,s2)endl; return 0; 2.分式化简。设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。例如，将6/8化简为3/4。#includeusing namespace std;int main() int n;/分子 int m;/分母 int factor;/最大公因子 int factor1; co

18、ut输入一个真分数的分子与分母： nm; int r = m % n;/因为是真分数 所以分母一定大于分子 factor1=m; factor=n;while (r != 0) factor1 =factor; factor = r; r = factor1% factor;cout输出该真分数的最简分数： (n/factor)/(m/factor)endl;return 0;3. 设计算法，判断一个大整数能否被11整除。可以通过以下方法：将该数的十进制表示从右端开始，每两位一组构成一个整数，然后将这些数相加，判断其和能否被11整除。例如，将562843748分割成5,62,84,37,48，

19、然后判断(5+62+84+37+48)能否被11整除/将一个大整数看成一个数组/数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身/验证结果能否被11整除 #includeusing namespace std;int main() int a9=5,6,2,8,4,3,7,4,8; int result=0; /result为题目要求的各位之和 for(int i=0;i!=9;+i) if(i%2=0) result+=ai; /i 为偶数位时，结果加上其对应数组数的本身 else result+=ai*10; /i 为奇数位时，结果加上对应数组数的10倍 if(result%11=0)

20、cout该整数能被11整除endl; else cout该整数不能被11整除endl; return 0;4. 数字游戏。把数字 1,2,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。 = 05. 设计算法求解an mod m，其中a、n和m均为大于1的整数。（提示：为了避免an超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）#includeusing namespace std;int square(int x) return x*x;/用递归思想int

21、 resultmod(int a, int n) if(n= 0) return 1; if(n%2 = 0) return square(resultmod(a, n/2);/n为偶数的时，取n的一半防止溢出 else return a*resultmod(a, n-1);/n为奇数时，取n-1；int main() int a, n, m; cout请输入a，n, m: anm; coutendl; int result = resultmod(a, n); coutan mod m的结果为： result % mendl; return 0; 6. 设计算法，在数组rn中删除所有元素值为

22、x的元素，要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。7. 设计算法，在数组rn中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。#include using namespace std;void deletere(int a,int N) int b100=0; int i,k; k=0; static int j=0; for(i=0;iN;i+) bai+; for(i=0;i100;i+) if(bi!=0) if(bi=2) k+; aj=i; j+; for(i=0;iN-k;i+) coutaiendl;int main() int a=1,2,1,3

23、,2,4; deletere(a,6); return 0;/在数组查找相同的元素/把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数值”/输出所求函数#includeusing namespace std;int main() int a=1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5; int i,j; for( i=0;i12;i+) for(j=0;ji;j+) if(aj=ai) ai=64787250;/设一个数组不存在的数值 /for for(i=0;i12;i+) if(ai!=64787250) coutai ; coutendl; return 0;8. 设表A=a1, a2,

24、 , an，将A拆成B和C两个表，使A中值大于等于0的元素存入表B，值小于0的元素存入表C，要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。 /先对A进行快排/将大于0的元素给B，小于0的元素给C#include using namespace std;int partions(int l,int low,int high)int prvotkey=llow;l0=llow;while (lowhigh) while (low=prvotkey) -high; llow=lhigh; while (lowhigh&llow=prvotkey) +low; lhigh=llow;llow=l0;

25、return low;void qsort(int l,int low,int high)int prvotloc;if(lowhigh) prvotloc=partions(l,low,high); /将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); /递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); /递归调用排序 由 prvotloc+1到 highvoid quicksort(int l,int n)qsort(l,1,n); /第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个int main() int a11=-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39;quicksort(a,11);for(int i=1;i