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1、练闯考人教版九年级数学上册全册导学案第二十一章一元二次方程211一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题2掌握一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)及有关概念3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项一、自学指导(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为360

2、0 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为_(1002x)cm_，宽为_(502x)cm_列方程_(1002x)(502x)3600_，化简整理，得_x275x3500_ 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为_4728_设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_(x1)_个队各赛1场，所以全部比赛共_场列方程_28_，化简整理，得_x2x560_探究：(1)方程中未知数的个数各是多少？_1个_(2)它们最高次数分别是

3、几次？_2次_归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_的方程1一元二次方程的定义等号两边都是_整式_ ，只含有_一_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_(二次)的方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数，_bx_是一次项，_b_是一次项系数，_c_是常数项点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数a0是一个重要条件，不能

4、漏掉二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6分钟)1判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x32x250；(2)x21；(3)5x22xx22x； (4)2(x1)23(x1)；(5)x22xx21; (6)ax2bxc0.解：(2)(3)(4)点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程2将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项解：去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得3x28x100.其中二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10.点拨精讲：

5、将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)1求证：关于x的方程(m28m17)x22mx10，无论m取何值，该方程都是一元二次方程证明：m28m17(m4)21，(m4)20，(m4)210，即(m4)210.无论m取何值，该方程都是一元二次方程点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m28m170即可2下面哪些数是方程2x210x120的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有2和3满足等式，所以x2或x3是一元二次方程2x210x120的两根点

6、拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9分钟)1判断下列方程是否为一元二次方程(1)1x20; (2)2(x21)3y；(3)2x23x10; (4)0；(5)(x3)2(x3)2; (6)9x254x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是2若x2是方程ax24x50的一个根，求a的值解：x2是方程ax24x50的一个根，4a850，解得a.3根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求

7、正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x225，4x2250；(2)x(x2)100，x22x1000.学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程2一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，特别强调a0.3要会判断一个数是否是一元二次方程的根学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)212解一元二次方程212.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想难点：通过根据平

8、方根的意义解形如x2n(n0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程一、自学指导(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：_106x21500_，由此可得_x225_，根据平方根的意义，得x_5_，即x1_5_，x2_5_可以验证_5_和5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25及

9、方程x26x94?方程(2x1)25左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_2x1_，即将方程变为_2x1和_2x1_两个一元一次方程，从而得到方程(2x1)25的两个解为x1_，x2_在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了方程x26x94的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x_3_)24，进行降次，得到 _x32_ ，方程的根为x1 _1_，x2_5_.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方程能化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x或mx

10、n.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6分钟)解下列方程：(1)2y28；(2)2(x8)250；(3)(2x1)240; (4)4x24x10.解：(1)2y28，(2)2(x8)250，y24，(x8)225，y2，x85，y12，y22；x85或x85，x113，x23；(3)(2x1)240，(4)4x24x10， (2x1)240，(2x1)20， 原方程无解；2x10，x1x2.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟

11、)1用直接开平方法解下列方程：(1)(3x1)27; (2)y22y124；(3)9n224n1611.解：(1)；(2)12；(3).点拨精讲：运用开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根2已知关于x的方程x2(a21)x30的一个根是1，求a的值解：1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x1)260 ; (2)x24x45；(3)9x26x14; (4)36x210；(5)4x281; (6)(x5)225；(7)x22x14.解：(1)x11，x21；(2)x12，x22；(3)x1

12、1，x2；(4)x1，x2；(5)x1，x2；(6)x10，x210；(7)x11，x23.学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1用直接开平方法解一元二次方程2理解“降次”思想3理解x2p(p0)或(mxn)2p(p0)中，为什么p0?学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)212.1配方法(2)1会用配方法解数字系数的一元二次方程2掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程重点：掌握配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为形如(xa)2b的过程(2分钟)1填空：(1)x28x_16_(x_4_)2；(2)9x212x_4_(3x_2_)2；(3)x2px_()2_(x_)2

13、.2若4x2mx9是一个完全平方式，那么m的值是_12_一、自学指导(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为_(x6)_m，根据矩形面积为16 m2，得到方程_x(x6)16_，整理得到_x26x160_探究：怎样解方程x26x160?对比这个方程与前面讨论过的方程x26x94，可以发现方程x26x94的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x26x160不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x26x16，两边都加上_9_即_()

14、2_，使左边配成x2bx()2的形式，得_x2_6_x_916_9_，左边写成平方形式，得_(x3)225_，开平方，得_x35_，(降次)即 _x35_或_x35_，解一次方程，得x1_2_，x2_8_归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程问题2：解下列方程：(1)3x215；(2)4(x1)290；(3)4x216x169.解：(1)x；(2)x1，x2；(3)x1，x2.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2bxc0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两

15、边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(8分钟)1填空：(1)x26x_9_(x_3_)2； (2)x2x_(x_)2；(3)4x24x_1_(2x_1_)2.2解下列方程：(1)x26x50; (2)2x26x20；(3)(1x)22(1x)40.解：(1)移项，得x26x5，配方得x26x32532，(x3)24，由此可得x32，即x11，x25.(2)移项，得2x26x2，二次项系数化为1，得x23x1，配方得

16、x23x()2(x)2，由此可得x，即x1，x2.(3)去括号，整理得x24x10， 移项得x24x1， 配方得(x2)25，x2，即x12，x22.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5分钟)如图，在RtABC中，C90，AC8 m，CB6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半？解：设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半根据题意可列方程：(8x)(6x)86，即x214x240，(x7)225

17、，x75，x112，x22，x112，x22都是原方程的根，但x112不合题意，舍去答：2秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半点拨精讲：设x秒后PCQ的面积为RtABC面积的一半，PCQ也是直角三角形根据已知条件列出等式二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8分钟)1用配方法解下列关于x的方程：(1)2x24x80；(2)x24x20；(3)x2x10 ; (4)2x225.解：(1)x11，x21；(2)x12，x22；(3)x1，x2；(4)x1，x2.2如果x24xy26y130，求(xy)z的值解：由已知方程得x24x4y26y90，即(x2)2(y3)

18、20，x2，y3，z2.(xy)z2(3)2.学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟)1用配方法解一元二次方程的步骤2用配方法解一元二次方程的注意事项学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)212.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念2. 会熟练应用公式法解一元二次方程重点：求根公式的推导和公式法的应用难点：一元二次方程求根公式的推导(2分钟)用配方法解方程：(1)x23x20；(2)2x23x50.解：(1)x12，x21；(2)无解一、自学指导(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：

19、已知ax2bxc0(a0)，试推导它的两个根x1，x2.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去探究：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2bxc0，当b24ac0时，将a，b，c代入式子x就得到方程的根，当b24ac0时，方程没有实数根(2)x叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有_2个实数根，也可能有_1_个实根或者_没有_实根(5)一般地

20、，式子b24ac叫做方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母表示，即b24ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x23x0；(2)3x22x10；(3)4x2x10.解：(1)x10，x2；有两个不相等的实数根；(2)x1x2；有两个相等的实数根；(3)无实数根点拨精讲：0时，有两个不相等的实数根；0时，有两个相等的实数根；0时，没有实数根一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)1方程x24x40的根的情况是(B)A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数

21、根C有一个实数根D没有实数根2当m为何值时，方程(m1)x2(2m3)xm10，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m；(2)m；(3)m .3. 已知x22xm1没有实数根，求证：x2mx12m必有两个不相等的实数根. 证明：x22xm10没有实数根，44(1m)0，m0.对于方程x2mx12m，即x2mx2m10，m28m4，m0，0，x2mx12m必有两个不相等的实数根二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x23x0; (2)16x224x90；(3)x24x

22、90 ; (4)3x210x2x28x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根2用公式法解下列方程：(1)x2x120 ; (2)x2x0；(3)x24x82x11; (4)x(x4)28x；(5)x22x0 ; (6)x22x100.解：(1)x13，x24；(2)x1，x2；(3)x11，x23；(4)x12，x22；(5)x10，x22; (6)无实数根点拨精讲：(1)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b24ac0的前提下，把a

23、，b，c的值代入x(b24ac0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根学生总结本堂课的收获与困惑(2分钟) 1.求根公式的推导过程 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b24ac的值、最后代入求根公式求解 3.用判别式判定一元二次方程根的情况学习至此，请使用本课时对应训练部分(10分钟)212.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性重点：用因式分解法解一元二次方程难点：理解因式分解法解一元二次方

24、程的基本思想(2分钟)将下列各题因式分解：(1)ambmcm(_abc_)m；(2)a2b2_(ab)(ab)_；(3)a22abb2_(ab)2_一、自学指导(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x4.9x20，思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？分析：方程的右边为0，左边可以因式分解得：x(104.9x)0，于是得x0或104.9x0，x1_0_，

25、x22.04上述解中，x22.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x10表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法(2)如果ab0，那么a0或b0，这是因式分解法的根据如：如果(x1)(x1)0，那么_x10或_x10_，即_x1_或_x1二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5分钟)1说出下列方程的根：(1)x(x8)0；(2)(3x1)(2x5)0.解

26、：(1)x10，x28；(2)x1，x2.2用因式分解法解下列方程：(1)x24x0; (2)4x2490；(3)5x220x200. 解：(1)x10，x24; (2)x1，x2；(3)x1x22.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8分钟)1用因式分解法解下列方程：(1)5x24x0；(2)3x(2x1)4x2；(3)(x5)23x15.解：(1)x10，x2；(2)x1，x2；(3)x15，x22.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式2用因式分解法解下列方程：(1)4x21440；(2)(2x1)2(3x)2；(3)5x22xx22x；(4)3x212x12.解：(1)x16，x26；(2)x1，x22；(3)x1，x2；(4)x1x22.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10分钟)1用因式分解法