导数压轴处理.docx

1、导数压轴处理导数压轴题处理套路一、双变量同构式（含拉格朗日中值定理）二、 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）三、 导数与零点问题（如何取点）四 、隐零点问题整体代换五 、极值点偏移六、 导数处理数列求和不等式一、 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）例1. 已知 f ( x) = (a +1)ln x + ax2 +1（1）讨论 f ( x) 的单调性（2）设a -2 ，求证： x1, x2 (0, +), f ( x1 ) - f ( x2 ) 4 x1 - x2例2. 已知函数 f ( x) = 1 x2 - ax + (a -1) ln x ， a 1。2（1）讨论函数 f (x

2、) 的单调性；（2）证明：若a -1。1 2 1 2x - x1 2例3. 设函数 f (x) = ln x + m , m R .x（1） 当m = e （ e 为自然对数的底数）时，求 f (x) 的最小值；x（2） 讨论函数 g(x) =f (x) -零点的个数；3（3） 若对任意b a 0, f (b) - f (a) k ，求 k 的取值范围x1x2例5. 已知函数 f ( x) = 1 x2 - a ln x + (a - 2)x ，是否存在a R ，对任意 x ，x (0, +) ，2 1 2x x ， f (x1 ) - f (x2 ) a 恒成立？若存在，求之；若不存在，说明

3、理由。1 2 x - x1 2例6. 已知函数 f (x) = ax + x ln x 的图象在点 x = e （ e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为 3（1） 求实数a 的值；（2） 若 f (x) kx2 对任意 x 0 成立,求实数k 的取值范围；（3） 当n m 1(m, n N*) 时,证明： m n 专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）例1. 已知函数 f (x)= a ln x + b ，曲线 y=f (x) 在点(1，f (1) 处的切线方程为 x + 2y - 3=0 . x +1 x（1） 求a 、b 的值；（2） 如果当 x 0 ，且 x 1时， f

4、(x) ln x + k ， 求k 的取值范围. x -1 x例2. 设函数 f (x)=ex -1- x - ax2 .（1） 若a = 0 ，求 f (x) 的单调区间；（2） 当 x 0 时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.例3. 已知函数 f (x) = x(ex -1) - ax2 .（1） 若 f (x) 在 x = -1 时有极值，求函数 f (x) 的解析式；（2） 当 x 1时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.（3） 当 x 0 时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.例4. 设函数 f (x) = 1- e- x .（1）证明：当 x -1 时， f (x)

5、xx +1 ；（2）设当 x 0 时， f (x) x ax +1，求a 的取值范围.例5. 设函数 f (x)=sin x2 + cos x （1） 求 f (x) 的单调区间；（2） 如果对任何 x0 ，都有 f (x) ax ，求a 的取值范围例6. 已知函数 f (x)=x x +1+ e- x -1（1）证明：当 = 0 时间， f ( x) 0（2）若当 x 0 时， f ( x) 0 ，求实数 的取值范围。例7. 已知函数 f (x)= ln( x +1) + a (x2 - x)，其中a R（1） 讨论函数 f (x) 的极值点个数，并说明理由（2） 若x 0, f ( x)

6、0 成立，求a 取值范围。例8. 已知函数 f (x)= ln 1 + 1 ax + x2 - ax.(a 0) 2 2 （1）求证0 m(1- a2 )成立，求实数 m 的取值范围0 2 0例9. 已知函数 f (x)=(x - 2)ex + a(x -1)2 有两个零点.求 a 的取值范围；例10. 已知函数 f (x)=(x +1) ln x - a(x -1) .（1）当a = 4 时，求曲线 y = f (x) 在(1, f (1) 处的切线方程；（2）若当 x (1, +) 时， f (x)0 ，求a 的取值范围. 专题三 导数与零点问题（如何取点）例1. 已知函数 f ( x)

7、= ae2 x + (a - 2)ex - x.（1） 讨论 f ( x) 单调性；（2） 若 f ( x) 有两个零点，求a 的取值范围；例2. 已知函数 f ( x) = ( x - 2)ex + a ( x -1)2有两个零点.求a 的取值范围；例3. 设函数 f ( x)=e2 x - a ln x .讨论 f ( x) 的导函数 f ( x) 的零点的个数；例4. 已知函数 f ( x) = ( x -1)ex + ax2有两个零点. (2) 求 a 的取值范围例5. 已知函数 f ( x) = ex - m x2 - m x -1 . 当 m0 时，试讨论 y=f(x)的零点的个数

8、；2例6. 设函数 f ( x) = ln x - l n x + l n ( x + 1) ，是否存在实数a ，使得关于 x 的不等式x + 1f ( x) a 的解集为（0，+ ）？若不存在，试说明理由。例7. 已知函数 f ( x) = ae2 x -(2ax+1)ex + x2 + 2 x. 当0 0, a 0x2，函数 f ( x) = - a l n x, 对于任意给定的正数x + , a证明存在实数 x0 ，当 x x0 时， f ( x) 0例10. 已知函数 f (x) = x + a ln x.（1） 当 a = 1时，求曲线 y = f (x)在点(1, f (1)处的切

9、线方程；（2） 求 f (x)的单调区间；（3） 若函数 f (x) 没有零点，求a 的取值范围.例11. 已知函数 f (x) = (x + a)ex ，其中e 是自然对数的底数， a R .（1） 求函数 f (x) 的单调区间；（2） 当a 1时，试确定函数 g(x) = f (x - a)- x2 的零点个数，并说明理由.例12. 已知函数 f (x) = a ln x + 1 (a 0).x（1）求函数 f (x) 的单调区间；（2）若x f (x) 0= b, c (其中b 0 时， ( x - k ) f ( x) - x +1 0，求k 的最大值例2. 已知函数 f ( x)

10、= ax + x ln x 的图像在点 x = e （ e 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3 (1)求实数a 的值(2)若 k Z ，且k 1恒成立，求k 的最大值x -1例3. 若对于任意 x 0 ， xe2x - kx -ln x -1 0 恒成立，求k 的取值范围。例4. 已知函数 f ( x)=ex - ln( x + m).（1）设 x = 0 是 f ( x) 的极值点，求m ,并讨论 f ( x) 的单调性；（2）当m 2 时，证明 f ( x) 0 .例5. 已知函数 f ( x) = 2 x3 + x2 + ax +1在(-1, 0) 上有两个极值点 x1 、 x2 ，且

11、 x1 11 .12例6. 已知a R ，函数 f ( x)=ex + ax2 ； g ( x) 是 f ( x) 的导函数.（1） 当a =- 1 时，求函数 f ( x) 的单调区间；2（2） 当a 0 时，求证：存在唯一的 x - 1 ,0 ，使得 g ( x) = 0 ；0 2a 0 （3） 若存在实数a, b ，使得 f ( x) b 恒成立，求a - b 的最小值.例7. 已知函数 f (x) 满足满足 f (x) = f (1)ex-1 - f (0)x + 1 x2 .2（1） 求 f (x) 的解析式及单调区间；（2） 若 f (x) 1 x2 + ax + b ，求(a +

12、1)b 的最大值.2例8. 已知函数 f ( x) = -2(x + a)ln x + x2 - 2ax - 2a2 + a ，其中a 0 .（1）设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数，讨论 g ( x) 的单调性；（2）证明：存在 a (0,1) ，使得 f ( x) 0 在区间(1, +) 内恒成立，且 f ( x) = 0 在区间(1, +) 内有唯一解.例9. 已知函数 f ( x)= - 2ln x + x2 - 2ax + a2 ，其中a 0 ，设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数.（1）讨论 g ( x) 的单调性；（2）证明：存在a (0,1) ，使得 f (

13、x) 0 恒成立，且 f ( x) = 0 在区间(1, +) 内有唯一解.例10. 已知函数 f ( x) = a x2 - ln x + x +1， g ( x) =aex + a + ax - 2a -1 ，其中a R .2 x（1） 若a = 2 ，求 f ( x) 的极值点；（2） 试讨论 f ( x) 的单调性；（3）若a 0 ， x (0, +) ，恒有 g ( x) f ( x) ，求a 的最小值.例11. 已知函数 f ( x) = ln x - 1 ax2 + x ， a R .2（1） 求函数 f ( x) 的单调区间；（2） 是否存在实数a ，使得函数 f ( x) 的

14、极值大于0 ？若存在，则求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.例12. 设函数 f ( x) = e2 x - a ln x .（1） 讨论 f ( x) 的导函数 f ( x) 的零点的个数；（2） 证明：当a 0 时 f ( x) 2a + a ln 2 .a例13. 设函数 f (x) = ex - ax - 2 .（1） 求函数 f (x) 的单调区间；（2） 若a = 1， k 为整数，且当 x 0 时， (x - k) f (x) + x +1 0 ，求k 的最大值。例14. 设函数 f (x) = ex - ln(x + m) .（1）若 x 0 是 f (x) 的极值点，求

15、m 0 ，并讨论 f (x) 的单调性；（2）当m 2 时，求证： f (x) 0 .例15. 已知函数 f (x)=ex+m - x3 , g ( x) = ln( x +1) + 2 （1）若曲线 y = f ( x) 在点(0，f (0)处的切线斜率为1，求实数m 的值；（2）当m 1时，证明： f ( x) g(x) - x3 .例16. 已知函数 f (x) = ln x + 1 ax2 + x + 1.2（1） 当a = -2 时，求 f (x) 的极值点；（2） 当a = 0 时，证明：对任意的 x 0 ，不等式 xe x f (x) 恒成立。 专题五 极值点偏移例1. 已知函数

16、 f ( x) = 2ln x + x2 + x ，若正实数 x ， x满足 f ( x )+f ( x)=4 ，求证: x1 + x2 21 2 1 2例2. 已知函数 f ( x) = ln x + x2 + x ，正实数 x ， x满足 f ( x ) + f ( x) + x x= 0 ，求证：x1 + x2 5 -121 2 1 2 1 2例3. 已知函数 f ( x) = xe- x （1） 求函数 f ( x) 的单调区间和极值；（2） 已知函数 g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 x = 1对称，证明：当 x 1时，f ( x) g ( x)；（3）如果 x1

17、 x2 ，且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，证明： x1 + x2 2 例4. 已知函数 f ( x) = ( x - 2)ex + a ( x -1)2 有两个零点（1） 求a 的取值范围；（2） 设 x1 ， x2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x1 + x2 2 例5. 已知函数 f ( x) = x ln x 的图像与直线 y = m 交于不同的两点 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，求证 ： x1x2 2e ；1 2（2）求证： x x e2 例7. 已知函数 f ( x) = ex - ax 有两个不同的零点 x ， x，其极值点为 x

18、（1）求a 的取值范围；（2）求证： x1 + x2 2 ；（4）求证： x1x2 1,x1 ， x2 为函数 f ( x) 的两个零点，求证 x1 + x2 0例9. 已知函数 f ( x) = x - ln x ，若两相异正实数 x1 ， x2 满足 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，求证：f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 1 2 e例11. 已知b a 0 ，且b ln a - a ln b = a - b （1）求证： a + b - ab 1；（2）求证： a + b 2 ；（3）求证： 1 + 1 2 a b例12. 已知函数 f ( x) = 2ln x - a

19、x ，若 x1 ， x2 ( x1 x2 ) 是 f ( x) 的两个零点，证明：f x1 + 2x2 0 3 例13. 设函数 f ( x) = ex - ax + a ，其图像与 x 轴交于点 A( x ,0) ， B ( x ,0) ，证明：1 2f ( x1x2 ) x 0 ，求证： x1- f ( x1 ) - f ( x2 ) 11 2 x2 + x2 x - x1 2 1 2例15. 设 f ( x) = x - aex (a R) ， x R 已知函数 y = f ( x) 有两个零点 x ， x ，且1 2x1 x2 （1） 求a 的取值范围；（2） 证明： x2 随着a 的

20、减小而增大；x1（3） 证明： x1 + x2 随着a 的减小而增大例16. 对于正数a ， b ，且a b ，求证： a - bln a - ln ba + b ，2例17. 设函数 f ( x) = ln x - ax2 + (2 - a) x 的两个零点是 x ， x ，求证： f x1 + x2 e2（ e 2.8, ln 2 0.7, 1.4 ）1 1 2 2 1 2 专题六 导数处理数列求和不等式例1. 已知函数 f (x) = x -1- a ln x 。（1）若 f (x) 0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n 1+ 1 1+ 1 1 + 1 + 1 +

21、3 5 7(n N * ) .例4. 已知函数 f (x) = a sin(1- x) + ln x .（1） 若 f (x) 在 (0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2） 求证： sin1 (1 + 1)2+ sin1(2 + 1)2+ + sin1(8 + 1)2 ln 9 .5例5. 已知函数 f (x) = a(x - 1 ) - 2 ln x .x（1） 若对于任意 x 1，有 f (x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围；（2） 求证： 122+ 1 + 132 42+ + 1n2 2 ln2n n + 1- 3 .4例6. 已知函数 f ( x) = ln ( x +

22、a) - x2 - x 在 x = 0 处取得极值（1） 求实数a 的值（2） 证明：对于任意的正整数n ，不等式2 + 3 + 4 + + n +1 ln(n +1) 都成立4 9 n2例7. 已知函数 f ( x) = ax2 + ln( x +1)（1） 当a =- 1 时，求函数 f ( x) 的单调区间4（2） y - x 0当 x 0, +) 时，函数 y = f (x) 图像上的点都在x 0所表示的平面区域内，求实数 a 的取值范围（3）求证：1+2 4 1+2nn-1 n 1)x -1（1）当a 0 时，讨论 g(x) = (x -1)2 f (x)的单调性；（2）当a = 1