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1、诱导公式总结大全诱导公式总结大全诱导公式总结大全 诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式,就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。 常用的诱导公式 公式一: 设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二: 设为任意角,+的三角函数值与的三角函数值之间的关系: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三: 任意角与 -的三角函数值之间的关系: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四: 利用公式二和公式三可以得到-与的

2、三角函数值之间的关系: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系: sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六: /2与的三角函数值之间的关系: sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余 弦,正切变

3、余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是:把角看做锐角,不考虑角所在象限,看n(/2)是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。 一全正;二正弦;三两切;四余弦这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”; 第二象限内只有正弦是“”,其余全部是“”; 第三象限内只有正切和余切是“”,其余全部是“”; 第四象限内只有余弦是“”,其余全部是“”。 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系 sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系 sin()cos(

4、)1 1tan()sec() 1cot()csc() 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以”上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数; 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此,可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）

5、(tantan )/(1tan tan) tan（）(tantan)/(1tan tan) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin22sincos cos2cos()sin()2cos()112sin() tan22tan/(1tan() 半角的正弦、余弦和正切公式 sin(/2)(1cos)/2 cos(/2)(1cos)/2 tan(/2)(1cos)/(1cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos 万能公式 sin2tan(/2)/(1tan(/2) cos(1tan(/2)/(1tan(/2) tan(2tan(/2)/(1tan(/2) 三倍角的正弦、余弦和正切

6、公式 sin33sin4sin() cos34cos()3cos tan3(3tantan()/(13tan() 三角函数的和差化积公式 sinsin2sin()/2) cos()/2) sinsin2cos()/2) sin()/2) coscos2cos()/2)cos()/2) coscos2sin()/2)sin()/2) 三角函数的积化和差公式 sincos0.5sin()sin() cossin0.5sin()sin() coscos0.5cos()cos() sinsin 0.5cos()cos() 公式推导过程 万能公式推导 sin2=2sincos=2sincos/(cos(

7、)+sin().*, （因为cos()+sin()=1） 再把*分式上下同除cos(),可得sin22tan/(1tan() 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导 tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos()cos()sinsin()/(cos()cossin()2sin()cos) 上下同除以cos(),得: tan3(3tantan()/(1-3tan() sin3sin(2)sin2coscos2sin 2sincos()(12sin()sin 2si

8、n2sin()sin2sin() 3sin4sin() cos3cos(2)cos2cossin2sin (2cos()1)cos2cossin() 2cos()cos(2cos2cos() 4cos()3cos 即 sin33sin4sin() cos34cos()3cos 和差化积公式推导 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就得到c

9、osa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(

10、a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy

11、=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 常用的诱导公式有以下几组:（公式一公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变） 公式一: 设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 弧度制下的角的表示: sin（2k）sin （kZ） cos（2k）cos （kZ） tan（2k）tan （kZ） cot（2k）cot （kZ） sec（2k）sec （kZ） csc（2k）csc （kZ） 角度制下的角的表示: sin (+k360)sin（kZ） cos(+k360)cos（kZ） tan (+k360)tan（kZ） cot（+k360）cot （kZ） sec（+k360）

12、sec （kZ） csc（+k360）csc （kZ） 公式二: 设为任意角,+的三角函数值与的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc 角度制下的角的表示: sin（180+）sin cos（180+）cos tan（180+）tan cot（180+）cot sec（180+）sec csc（180+）csc 公式三: 任意角与 -的三角函数值之间的关系: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc）csc 公式四: 利用公式

13、二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc 角度制下的角的表示: sin（180）sin cos（180）cos tan（180）tan cot（180）cot sec（180）sec csc（180）csc 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot sec（2）sec csc（2）csc 角度制下的角的表示: sin（360）sin

14、cos（360）cos tan（360）tan cot（360）cot sec（360）sec csc（360）csc 小结:以上五组公式可简记为:函数名不变,符号看象限. 即+k360（kZ）,180,360的三角函数值,等于的同名三角函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 公式六: /2 及3/2与的三角函数值之间的关系:（） /2与的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec 角度制下的角的表示: sin（90）cos cos（90）sin tan

15、（90）cot cot（90）tan sec（90）csc csc（90）sec /2与的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec 角度制下的角的表示: sin (90)cos cos (90)sin tan (90)cot cot (90)tan sec (90)csc csc (90)sec 3/2与的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec（3/2）c

16、sc csc（3/2）sec 角度制下的角的表示: sin（270）cos cos（270）sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec 3/2与的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec（3/2）sec csc（3/2）sec 角度制下的角的表示: sin（270）cos cos（270）sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec 温馨提示:1.在做题目的时候,最好将看成

17、是锐角。 2.kZ 总结记忆:奇变偶不变,符号看象限。奇偶是针对k而言的,变与不变是针对三角函数名而言。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为: 对于k/2(kZ)的三角函数值, 当k是偶数时,得到的同名函数值,即函数名不改变; 当k是奇数时,得到相应的余函数值,即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如: sin(2)sin(4/2),k4为偶数,所以取sin。 当是锐角时,2(270,360),sin(2)0,符号为“”。 所以sin(2)sin 上述的记忆口诀是: 奇变偶不

18、变,符号看象限。 公式右边的符号为把视为锐角时,角k360+（kZ）,-、180,360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)” 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”; 第二象限内只有正弦是“”,其余全部是“”; 第三象限内切函数是“”,弦函数是“”; 第四象限内只有余弦是“”,其余全部是“” 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦还有一种按照函数类型分象限定正负: 函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 正弦 .

19、余弦 . 正切 . 余切 . 奇变偶不变,符号看象限 同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的关系: sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方关系: sin()cos()1 1tan()sec() 1cot()csc() 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法:（参看图片或参考资料链接） 构造以”上弦、中切、下割;左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 （1）倒数关系:对角线上两个函数互为倒数; （2）商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

20、（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此,可得商数关系式。 （3）平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 两角和与差的三角函数公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）(tan+tan)(1-tantan) tan（）(tantan)(1tantan) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin22sincos cos2cos()sin()2cos()112sin() ta

21、n22tan/1tan() 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin(/2)(1cos)2 cos(/2)(1cos)2 tan(/2)(1cos)(1cos) 另也有tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos) 万能公式 万能公式 sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 万能公式推导 附推导: sin2=2sincos=2sincos/(cos()+sin().*, （因为cos()+sin()=1） 再把*分式上下同除cos(),可得sin22tan/(1

22、tan() 然后用/2代替即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin33sin4sin() cos34cos()3cos tan33tantan()13tan()=tantan(/3+)tan(/3-) 三倍角公式推导 附推导: tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos()cos()sinsin()/(cos()cossin()2sin()cos) 上下同除以cos(),得: tan3(3tantan()/(1-3tan() sin3sin(2

23、)sin2coscos2sin 2sincos()(12sin()sin 2sin2sin()sin2sin() 3sin4sin() cos3cos(2)cos2cossin2sin (2cos()1)cos2cossin() 2cos()cos(2cos2cos() 4cos()3cos 即 sin33sin4sin() cos34cos()3cos 三倍角公式联想记忆 记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角:3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)） 余弦三倍角:4元3角 减 3元（减完之后还有“余”） 注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余

24、弦表示。 另外的记忆方法: 正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是”3倍”sin, 无指的是减号, 四指的是”4倍”, 立指的是sin立方 余弦三倍角: 司令无山 与上同理 和差化积公式 三角函数的和差化积公式 sinsin2sin()/2cos()/2 sinsin2cos()/2sin()/2 coscos2cos()/2cos()/2 coscos2sin()/2sin()/2 积化和差公式 三角函数的积化和差公式 sin cos0.5sin()sin() cos sin0.5sin()sin() cos cos0.5cos()cos() sin sin0.5cos()cos() 和差化积