1、高等教育自学考试网上辅导概率论与数理统计参数估计内容第七章参数估计内容介绍本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等. 内容讲解 引言:本章将讨论统计推断,所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时,用样本来对它进行估计,就是参数估计. 至于参数,目前没有准确的定义,只有一些具体的参数,本书指出三类参数:分布中含有的未知参数;的函数;分布的各种特证数。 7.1点估计1.点估计定义:设x1,x2,xn是总体X的一个样本,是它的未知参数,用一个关于x1,x2,xn的统计量的取值作为的估计值,称为的点估计.2.点估计的两种常用方法(1)替换原理和矩法估计 替换原
2、理:替换原理常指如下两句话:一是:用样本矩替换总体矩;二是:用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数. 矩估计的方法:根据替换原理,用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如:用样本均值估计总体均值E(X),即;用样本二阶中心矩估计总体方差,即;用事件A的频率估计事件A的概率等.例题1. P146 【例71】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程(km),观测数据如下:29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9【答疑编号12070101】(2)概率函数p(x;
3、)已知时未知参数的矩法估计设总体具有已知的概率函数p(x;1,k),(1,k)是未知参数或参数向量,x1,xn是样本,假定总体的k阶原点矩k存在,则对所有的j(0j0为未知参数。求的矩估计。【答疑编号12070103】矩估计法处理三类问题:第一,直接估计参数,第二,通过总体分布已知,但还有未知参数的情况下,对未知参数进行估计的时候,是要通过总体所服从的分布,找到未知参数和X之间的关系,然后对X进行估计,代进去对未知参数进行估计。第三,未知参数的函数的估计。小概率原理:小概率事件,在一次试验中,几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件,我们认为它是大概率事件。(4)极大似然估计设总体的概率函数为
4、p(x,),其中是一个未知参数或未知参数向量,是参数的取值范围,x1,x2,xn是该总体的样本,将样本联合概率函数记为,简记为,则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得,则称为的极大似然估计.例题4. P147 【例74】设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球和1个黑球,乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱,并从中随机抽取一球,结果取得白球,问这球是从哪一个箱子中取出的?【答疑编号12070104】解:不管是哪一个箱子,从箱子中任取一球都有两个可能的结果:A表示取出白球,B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱,则A发生的概率为0.99,而如果取出的是乙箱,则a发生的概率为0.
5、01。现在一次试验中结果A发生了,人们的第一印象就是:“此白球(A)最像从甲箱取出的”,或者说,应该认为试验条件对事件A出现有利,从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实,这里“最像”就是“极大似然”之意。例题5. P147 【例75】设产品分为合格品与不合格品两类,我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格,X=0表示合格品,X=1表示不合格品,则X服从二点分布B(1,p),其中p是未知的不合格品率。【答疑编号12070105】总结计算方法: 构造似然函数; 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成,对数函数是的单调增加函数,则似然函数的对数与其有相同的极值点,
6、所以在求导数之前先求似然函数的对数; 用导数求似然函数对数的极值,得极大似然估计值.例题6. P148 【例76】设一个试验有三种可能结束,其发生的概率分别为p1=2,p2=2(1-),p3=(1-)2。现做了n次试验,观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n),求似然函数。【答疑编号12070106】例题7. P149 【例77】对正态总体N(,2),=(,2)是二维参数,设有样本x1,xn,求似然函数。【答疑编号12070107】例题8. P149 【例78】(1)设总体X服从泊松分布p(),求的极大似然估计;【答疑编号12070108】 (2)设总体X服从指数
7、分布E(),求的极大似然估计。【答疑编号12070109】例题9. P150 【例79】设x1,x2,xn是总体的样本,已知总体的密度函数为试分别求出的矩估计和极大似然估计.【答疑编号12070110】例题10. P150 【例710】设x1,xn是来自均匀总体U(0,)的样本,试求的极大似然估计。类似地,当总体XU(a,b)时,参数a、b的极大似然估计为【答疑编号12070111】极大似然估计的一个简单而有用的性质:若是的极大似然估计,则对任一的函数g(), 它的极大似然估计为,这就是极大似然估计的不变性。例题11 P151 【例711】设x1,x2,xn是来正态总体N(,2)的样本,求标准
8、差和概率PX3的最大似然估计。【答疑编号12070112】 7. 2点估计的评价标准 1.相合性(1)定义:设为未知参数,是的一个估计量,n是样本容量,若对任何0,有 ,则称为参数的相合估计.解释:相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是,由于此性质需要有n的极限过程,所以,相合性适合的大样本估计的评价。例题1. P152 【例712】设x1,x2,是来自正态总体N(,2)的样本,则由大数定律及相合性定义知:是的相合估计;是2的相合估计;也是2的相合估计。证明:是的相合估计。【答疑编号12070201】(2)相合性判定定理:设是的一个估计量,若 , 则称为参数的相合估计.例题2. P15
9、2 【例713】设x1, ,xn是来自均匀总体u(0,)的样本,证明的极大似然估计是相合估计。【答疑编号12070202】为了使用定理判断,我们下面求它的数学期望和方差。2.无偏性 对于小样本,无偏性是一个常用的评价标准。(1)定义:设是的一个估计,的参数空间为,若对任意,有,则称为的无偏估计;否则称为有偏估计.解释:无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.例题3. P153 【例714】对任一总体而方,样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时,样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩k的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样,例如,二阶样本中心矩就不是部体方差2的无偏估计。证明:, 【答疑
10、编号12070203】(2)几个有用的结论是的无偏估计;,即是2的渐进无偏估计;s2是2的无偏估计; 若为的无偏估计,一般地,除g是的线性函数外,不是g的无偏估计.所以,无偏性没有不变性。3.有效性(1)定义:设,是的两个无偏估计,如果对任意的有,且至少有一个使上式的不等号严格成立,则称比有效.(2)解释:这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。例题15. P154 【例715】设x1,xn是取自某总体的样本,记总体均值为,总体方差为2,则,都是的无偏估计,【答疑编号12070204】而,所以比有效。 7. 3 参数的区间估计 点估价的两点不足: 很难准确; 没有用数量表示的可信度。为此,引
11、入区间估计。1.置信区间的概念(1)引例【例717】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N(,2),其中未知,2已知(45公斤米),试对总体均值作区间估计.分析:首先,通过抽样来估计,所以,从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,xn,可得样本均值,已知是的无偏估计,且,可以在的基础上对作区间估计.【答疑编号12070301】其次,也是最重要的是,要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对作估计,要求估计函数应该: 含有待估计参数, 无论为何值,估计函数的分布已知,以便通过查该分布的计算表求所需数值.再次,为了克服点估计的可信程度无法度量的不足,需要设定一个可信概率,记为1(01),称为置信度,
12、依此概率进行估计.解:从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,xn,可得样本均值,从而得到合适的估计函数为;因为 是的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性,又置信度为1(01),所以,查表求满足或的,即标准正态分布的上分位点.将不等式转化为,即为,因此有 .所得区间即为所求的估计区间,由于区间长度随置信度1变化而变换,所以称之为置信区间. 小结:步骤: 选取合适的估计函数; 根据置信度查表求上分位点; 根据样本及相应的置信区间公式,求出置信区间.(2)置信区间的定义:设为总体的未知参数,是由样本x1,x2,xn给出的两个统计量,若对于给定的概率1(00),x1,x2,xn是来自该总体的样本
13、,则的矩估计_.【答疑编号12070308】答案:3.设总体X的概率密度为,x1,x2,xn是总体X的一个样本,则未知的矩估计_.【答疑编号12070309】答案:4.设总体X服从参数的泊松分布,其中为未知参数,X1,X2,Xn为来自该总体的一个样本,则参数的矩估计量为_.【答疑编号12070310】答案:5.设总体X服从0,2上的均匀分布(0),x1,x2,xn是来自该总体的样本,为样本均值,则的矩估计().A.2B.C./2D.1/2 【答疑编号12070311】答案:B6.设总体XN(,2),x1,x2,x3为来自总体X的样本,则当_时,是未知参数的无偏估计.【答疑编号12070312】答案:1/47.用传统工艺加工某种水果罐头,每瓶维生素C的含量为随机变量X(单位:mg),设XN(,2),其中,2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试,测得维生素C的平均含量为20.80mg,样本标准差为1.60mg,试求的置信度95%的置信区间.(附:,)【答疑编号12070313】答案:8.一台自动车床加工的零件长度X(单位:cm)服从正态分布N(, 2),从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得样本方差s2,试求:总体方差2的置信度为95%的置信区间.(附:,)【答疑编号12070314】答案:0.0428,1.8518
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