图形的折叠问题教学案例.docx

1、图形的折叠问题教学案例一、 内容与内容解析疑难问题教学设计：图形的折叠问题1.内容 图形的折叠问题.2.内容解析图形的折叠，也称图形的翻折，本质是图形的轴对称，属图形的变化单元，是三种常见的全等变换之一.在近五年的广东中考数学试卷中，就有 2015、2016、2017、2018 分别考查到图形的折叠问题，属中考高频考点之一.图形的折叠，折线即对称轴，折叠前与折叠后的图形关于折线对称，是全等图形.当折线发生改变时，折叠后的图形就随之改变.在图形的变化过程中，需要根据具体问题情景观察、分析、归纳、概括，将复杂问题化归为已知的或熟悉的问题.同时，在解决问题的过程中，还可能运用到分类讨论等数学思想方法

2、.图形的折叠综合性较强，能力要求高,可以与四边形的性质、三角形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形、函数等知识相结合，同时考查学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理、几何直观和空间想象能力，难度大，区分度高.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：图形的折叠性质与其他知识的综合运用. 二、 目标与目标解析1.目标（1）复习图形的折叠概念，熟练运用图形的折叠性质，识别图形变化中的相关元素的对应关系.（2）能在具体的问题情景中，综合运用图形的翻折性质、相似三角形等其他知识灵活解决问题.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能观察图形折叠前和折叠后的图形，找出具有相等关系的边和角；达成目标（2）的标

3、志是：在三角形、矩形或正方形等常见折叠问题情景中，能够发现问题的规律，灵活选用合适的方法解决问题.三、 教学问题诊断分析图形的折叠学习，是在学生已有完成了整个初三学习的基础上展开的，虽然图形的变化问题复杂，但万变不离其宗，发现图形变化中的变与不变规律，是图形变换学习的基本策略.但由于学生还没有形成整体的知识结构，对各种几何图形知识间的联系把握不充分，综合运用知识的能力不强，难以在位置关系中抓住其中的数量关系等.教学时，要引导学生从图形出发，由图形折叠前和折叠后的位置关系，寻找基本图形.本节课的教学难点是：综合运用图形的折叠性质、其他图形的性质等解决问题. 四、 教学过程设计复习教学过程设计采用

4、五环节，具体框图呈现如下：1.课前检测（辅例题）：（1）（2018吉林）如图 1，将ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN，若AB=9，BC=6，则DNB 的周长为（ ）.A12 B13 C14 D15（2）（2018毕节市）如图 2，在矩形 ABCD 中，AD=3，M 是 CD 上的一点，将ADM 沿直线 AM 对折得到ANM，若 AN 平分MAB，则折痕 AM 的长为（ ）.A3 B2 C3 D6（3）（2018兰州）如图 3，将ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若ABD=48，CFD=40，则E 为（ ）.A102 B

5、112 C122 D92C D M CB A BA N 图2 图 3图1（4）（2018牡丹江）如图 4，E 为矩形 ABCD 的边 AB 上一点，将矩形沿 CE 折叠，使点 B恰好落在 ED 上的点 F 处，若 BE=1，BC=3，则 CD 的长为（ ）.A6 B5 C4 D3（5）（2018湖北）如图 5，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点将ABG 沿 AG 对折至AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ）.A1 B1.5 C2 D2.5图 4图 5参考答案：（1）A; （2）B;（3）B;（4）B;（5）C.设计意图：这是教学的第一步，是折叠问题的预

6、热，也是铺垫的辅例题，以唤醒学生对有关图形折叠问题的基本认知.由学生先完成，老师再酌情精讲.通过检测，可以了解学生对图形折叠问题的理解和运用情况，确定教学的起点.（1）是对图形折叠前后对应边观察；（2）是考查折叠前后对应角的观察，以及与含 30的直角三形的边角关系的小综合运用；（3）（4）在观察折叠得到的对应角的同时，还要能够发现由“折叠+平行”产生的等腰三角形；（4）（5）都是在特殊的平行四边形中研究图形的折叠，运用勾股定理求线段长.2.知识回顾问题 1 初中阶段主要研究哪几类图形的变化？研究思路是怎样的？师生活动：引导学生回顾初中阶段研究的四种图形的变化平移、轴对称、旋转、相似. 研究思路

7、都是沿着背景概念操作探究性质应用；从全等变化相似变化.设计意图：从整体上了解图形的变化形式，提出本节课的研究对象.问题 2 用知识框架图梳理图形折叠的研究思路、研究重点是什么？常见的应用类型等. 师生活动：学生查阅数学教材，独立思考，绘制框架图，课堂小组交流，最后老师点评.设计意图：梳理图形的折叠学习的全过程，通过教材例习题、辅例题的整理，总结归纳常见的三种应用模型.3.知识应用 A例 1（2017 年河南）如图 6，在RtABC 中，A = 90 ，AB = AC ， BC = 2 +1，点M ， N 分别是边 BC ， AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B ，使点 B 的对应点 B

8、始终落在边 AC 上，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长 B M C为 分析：由折叠性质， BM = B/ M ，研究MBC 的形状为直角三角形时，哪个角为直角？有二种可能，故需要分二种情况讨论.变式 1：若MBC 为等腰三角形，则 BM 的长为 变式 2：若ABC 为直角三角形，且C=60，其他条件不变，则 BM 的长为 设计意图：本例是由前面检测（1）引申的主问题，在特殊三角形中运用图形的折叠性质.由于折线 MN 的不确定，使折叠之后的图形呈现出多种变化的可能，“MBC 为直角三角形”，就是其中可能出现的一种，同时体现分类讨论数学思想和勾股定理的结合运用.例 2 （2018宜昌）在矩形

9、ABCD 中， AB = 12 ， P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC折叠，顶点 B 的对应点是点G ，过点 B 作BE CG ，垂足为 E 且在 AD 上， BE 交 PC 于点F . (1)如图 7-1，若点 E 是 AD 的中点，求证: AEBDEC ；(2) 如图 7-2，求证: BP = BF；当AD = 25 ，且AE DE 时，求cosPCB的值；当BP = 9 时，求BE EF的值.图 7-1 图 7-2 图 7-2 备用图分析：（1）由点 E 是 AD 中点，得到 AE=DE，再结合矩形性质即可证得；（2）由折叠性质可得G=90，BPCGPC, 再由BE CG ，

10、可得到 BE/PG，由等腰三角形模型，可得到 BP=BF.先通过证明ABE DEC 求出 AE 的长，再由EFCGPC，求得 BP 的长， 最后由余弦定义求得cosPCB的值. 通过证明EFCBPC，ABEEBC，可得相应的比例式，通过等量变换可以得解.设计意图：本题的综合性比较强，能力要求较高，以矩形为背景，包含了图形折叠的勾股定理模型、“折叠+平行”得到的等腰三角形模型、相似三角形模型，以及三角函数有关知识， 训练学生灵活运用知识的能力.例 3 （2018四川达州）矩形 AOBC 中，OB=4，OA=3分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，建立如图 8-1 所示的平面直角坐标系F

11、 是 BC 边上一个动点（不与 B，C 重合），过点 F 的反比例函数 y=（k0）的图象与边 AC 交于点 E（1）当点 F 运动到边 BC 的中点时，求点 E 的坐标；（2）连接 EF，求EFC 的正切值；（3）如图 8-2，将CEF 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处，求此时反比例函数的解析式图 8-1 图 8-2分析：（1）先确定出点 C 坐标，进而得出点 F 坐标，即可得出结论；（2）先确定出点 F 的横坐标，进而表示出点 F 的坐标，得出 CF，同理表示出 CF，由正切函数定义即可得出结论；（3）过点 E 作 EHOB 于 H，构造相似三角形模型，得到EHGG

12、BF，再由比例式即可求出 BG，最后用勾股定理求出 k，即可得出结论设计意图：此题以反比例函数为主体，主要复习待定系数法求函数解析式，矩形与反比例函数图象之间的关系特征，锐角三角函数等.（3）的折叠，是在（2）的基础上，进一步综合相似三角形模型、勾股定理模型，体现了图形的折叠与函数问题之间的综合例 4 (2018 宿迁中考题改编) 如图 9，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 E、F 分别在边 AB、CD 上，将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 B 的对应点 M 始终落在边 AD 上（点M 不与点 A、D 重合），点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，（1）当

13、AM= 13时，求 BE 的长；（2）随着点 M 在边 AD 上位置的变化，PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设 AM=x，四边形 BEFC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并求出 S 的最小值.A M DA M DEENNB CB 图9-1分析：（1）这是勾股定理模型的运用.由折叠性质可知 BE=ME，结合已知条件，在 RtAME中，根据勾股定理可求得结论.（2）PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2. 如图 9-1，连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，根据折叠性质知 BE=ME，易得EBM=EMB，进一步可推得MBC=BMN

14、，判定RtABMRtHBM，得到 AM=HM，再证 RtBHPRtBCP，推得 HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出定值 2.（3）过 F 作 FQAB，连接 BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，推得EBM=EMB=QFE 后证 RtABMRtQFE，得到 AM=QE；由勾股定理模型表示出 BE 长、FC 的长等，代入梯形面积公式即可求得二次函数解析式，配方从而求得 S 的最小值.设计意图：本题在正方形的背景下研究图形折叠的综合运用. 展现图形在翻折过程中的变与不变的规律，研究折叠与二次函数的结合的极值问题，以及全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识内容.4.总结提升在图

15、形的折叠学习中，最为核心的是什么？在应用图形的折叠性质时，要注意什么哪些问题？你获得了哪些解题经验？师生活动：教师引导学生一起回顾本节课复习的主要内容，并请学生交流.设计意图：引导学生从知识内容的整体和重点两方面总结，积累基本活动经验.5.目标检测设计（1）（2018盘锦）如图 10，已知 RtABC 中，B=90，A=60，AC=2 3+4，点 M、N 分别在线段 AC、AB 上，将ANM 沿直线 MN折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当DCM 为直角三 A角形时，折痕 MN 的长为 CDN B图10 设计意图：此题与例 1 类似，研究折叠问题性质、图形变化过程中分类讨论

16、思想方法.（2）（2018宜宾）如图 11，在矩形 ABCD 中，AB=3，CB=2，D点 E 为线段 AB 上的动点，将CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当 E 为线段 AB 中点时，AFCE；9 A当 E 为线段 AB 中点时，AF=5； 132 13CE B图11当 A、F、C 三点共线时，AE= 3 ；当 A、F、C 三点共线时，CEFAEF设计意图：在矩形背景下，研究折叠性质的运用，对折叠产生的三种模型的运用.（3）（ 2016 福州）如图 12 ，矩形 ABCD 中， AB= 4 ， AD= 3 ， M 是边 CD

17、上一点，将 ADM 沿直线 AM 对折， 得到ANM（ 1 ）当 AN 平分 MAB 时，求 DM 的长； （ 2 ）连接 BN，当 DM= 1 时，求 ABN 的面积； （ 3 ）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值D MC D M C NA B图 12A B Q图 12 备用设计意图：较为综合的图形折叠问题.本问题中的折线 AM 是动态的， 用函数的观点看，随着折线的改变， DM 长度、 BAN 的度数、 ABN 的面积、 ABN 的度数等等， 都会随之改变。知识应用参考答案例 1：解：由折叠性质可知，BMNB/ MN BB/ABM=B/ M由于MBC 为直角三角形

18、时，直角不确定，故分二种情况讨论： 当MB/C=90时，如图 6-1， RtABC 中，A = 90 ，B M CAB = ACC=45 B/MC=45 MB/=B/C，设 BM=x，则 MC= 2 + 1- x ，B/M=B/C=x 由勾股定理可以得到： 2 +1- x = 2 x解得：x=1，即 BM=1；A(B)当B/ MC = 90 时，如图 6-2，此时，A、B/重合，AM 是等腰直角三角形 ABC 斜边上的高，也是中线.AM=MC= BM = 1 BC = 2 + 1 . B M C图1-12 2综上 BM= 1或 2 + 1 .2例 2 解：(1)证明：如题图 7-1，在矩形 A

19、BCD 中， A = D = 90 , AB = DC ,又 AE = DE ， AEBDEC .(2)如题图 7-2，在矩形 ABCD 中， ABC = 90 , 沿 PC 折叠得到GPC ,PGC = PBC = 90 , BPC = GPC ,BE / /PG ,当 AD = 25 时，GPF = PFBBPF = BFP ,BP = BFBEC = 90, AEB + CED = 90 ,AEB + ABE = 90 ,CED = ABE . 又A = D = 90 ,ABEDEC . AB = DE .AE CD设 AE = x ，则 DE = 25 - x ，12 = 25 - x

20、 ， 解得 x = 9 ， x = 16 x 12 1 2AE DE , AE = 9, DE = 16,CE = 20, BE = 15 ,由折叠得 BP = PG ， BP = BF = PG ,BE / /PG ,ECFGCP . EF = CEPG CG设 BP = BF = PG = y ，15 - y = 20 y = 25则 BP = 25y 25 3 3在 RtPBC 中，由勾股定理可知： PC = 25 10 , cosPCB = BC =25 = 3 10 .若 BP = 9 ,3 PC25 10 103FEC = PBC = 90 ,EFC = PFB = BPF ,EF

21、CBPC . EF = CE BP CB又 BEC = A = 90 , 由 AD / /BC 得AEB = EBC ,AEBEBC . AB = CE .BE CB AB = EF BE BPBE EF = AB BP = 12 9 = 108.例 3 解：（1）OA=3，OB=4， B（4，0），C（4，3），F 是 BC 的中点， F（4，）， F 在反比例 y=函数图象上，k=4 =6， 反比例函数的解析式为 y=，E 点的坐标为 3， E（2，3）；（2）F 点的横坐标为 4， F（4， ）， CF=BCBF=3 =E 的纵坐标为 3， E（，3），CE=ACAE=4 = ，在 Rt

22、CEF 中，tanEFC=.（3）由（2）知，CF= ，CE= ，过点 E 作 EHOB 于 H， EH=OA=3，EHG=GBF=90，EGH+HEG=90， 由折叠知，EG=CE，FG=CF，EGF=C=90，EGH+BGF=90， HEG=BGF，EHG=GBF=90， EHGGBF， =，BG= ，在 RtFBG 中，FG2BF2=BG2，（ ）2（ ）2= ， k=， 反比例函数解析式为 y=例 4 解：（1）解：可设 BE=x，由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形 ABCD 边长为 1AE=1-x， 在 RtAME 中，AE2+AM2=ME2 ， 即（1-x）2+ =x2 ， 解

23、得：x= .（2）解：PDM 的周长不会发生变化，且为定值 2. 如图 9-1，连接 BM、BP，过点 B 作 BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM +MBC=EMB +BMN=90，MBC=BMN，又正方形 ABCD， ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN， 在 RtABM 和 RtHBM 中， , RtABMRtHBM（AAS），AM=HM，AB=HB=BC，在 RtBHP 和 RtBCP 中， , RtBHPRtBCP（HL）， HP=CP， 又CPDM=MD+DP+MP =MD+DP+MH+HP =MD+DP+AM+PC =AD+DC =2.P

24、DM 的周长不会发生变化，且为定值 2.（3）如图 9-2，过 F 作 FQAB，连接 BM， 由折叠性质可知：BEF =MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB +MEF=QFE +BEF=90,EBM=EMB=QFE，在 RtABM 和 RtQFE 中， , RtABMRtQFE（ASA）， AM=QE，在 RtAEM 中， AE2+AM2=EM2, 即(1- BE)2 + x2 = BE2x2 + 1 x2 + 1 BE = EM = , BQ=CF= BQ = FC = BE - AM = - x . S =21 (FC + BE) BC = 1x2 + 1(-x +x2 + 1 1)

25、 = x22- 1 x + 12 2 2 2 2 2 2= 1 ( x - 1)2 + 32 2 8当 x = 1 时，S2= 3 .8A M D A M DEB图9-1EN NQC B C图9-22 3+4 目标检测答案1 3 或 623解：（ 1 ） 由折叠性质得： ANM ADM， MAN= DAM， AN 平分 MAB， DAM= MAN= NAB， 四边形 ABCD 是矩形， DAB=90， DAM= 30， tan300 = DM = x = 3DM= .AD 3 3（ 2 ） 延长 MN 交 AB 延长线于点 Q，如图 2 -1 所示, 四边形 ABCD 是矩形， AB DC，

26、DMA= MAQ，由折叠性质得： ANM ADM， DMA= AMQ， AN=AD=3 ， MN=MD=1 ， MAQ= AMQ， MQ=AQ，设 NQ=x，则 AQ=MQ= 1+x， ANM= ANQ=90， 在 Rt ANQ 中， 由勾股定理得： AQ2 =AN2 +NQ2 ， （ x+1） 2 =32 +x2 ， 解得： x=4 ， NQ= 4 ， AQ=5 ， AB=4 ， AQ=5 ，S ABN1= AB = 44 24 S = 3 4 = 6 . S ANQAQ 5 . S ABN= 6 = .ANQ 2D M FN5 5C D MF CA B B图2-2（ 3 ）如图 2-2 ，

27、点 F 在 DC 上的位置随着点 M 位置的变化而变化. 当点 M 由点D 向点 C 运动时，点 N 就在以点 A 为圆心、AN 为半径的圆上运动，当 ABN 越大时， DF 就越大，所以，当 BN 为 A 的切线时， DF 就最大.显然， DC 也是 A 的切线，由切线长定理可知： DF= FN，再由折叠性质可判定，此时点 M、点 F 重合， 如图 2- 3 所示. BF 是圆的切线， AN BF在 Rt ANB 中， 由勾股定理得： AB2 =AN2 +NB2 ， 42 =32 + NB2 NB=. 再由（ 2 ）中的折叠可得到： AB=MB=BF= 4， NF=DF=4 . DF 的最大值=4