第二章 213214 空间中直线平面与平面之间的位置关系.docx

1、第二章 213214 空间中直线平面与平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系.知识点一直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示aaAa图形表示知识点二两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示l图形表示1.若两条直线和同一个平面所成的角相

2、等，则这两条直线平行.()2.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.()3.若直线l上有无数个点不在平面内，则l.()4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.()题型一直线与平面的位置关系例1(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列四个命题中正确命题的个数是()如果a，b是两条直线，ab，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a和平面满足a，那么a与平面内的任何一条直线平行；如果直线a，b和平面满足ab，a，b，

3、那么b；如果a与平面上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面.A.0 B.1 C.2 D.3考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)如图，在正方体ABCDABCD中，AABB，AA在过BB的平面ABBA内，故命题不正确；AA平面BCCB，BC平面BCCB，但AA不平行于BC，故命题不正确；中，假设b与相交，因为ab，所以a与相交，这与a矛盾，故b，即正确；显然不正确，故选B.反思感悟在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，

4、我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练1(1)若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A.内的所有直线都与直线a异面B.内不存在与a平行的直线C.内的直线都与a相交D.直线a与平面有公共点考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线a不平行于平面，则a与平面相交或a，故选D.(2)下列说法：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，b，则a；若直线ab，b，那么直线a平行于平面内的无数条直线.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3

5、 D.4答案A解析对于，直线l虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，l不一定平行于，错误；对于，直线a在平面外包括两种情况：a和a与相交，a和不一定平行，错误；对于，直线ab，b，只能说明a和b没有公共点，a可能在平面内，a不一定平行于，错误；对于，ab，b，那么a或a，a与平面内的无数条直线平行，正确.题型二平面与平面的位置关系例2在以下三个命题中，正确的命题是()平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；在平面，内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A. B. C. D.考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平

6、面之间的位置关系判定答案C解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于，平面AA1D1D中，AD平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题错；对于，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题错.命题是正确的，故选C.反思感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两

7、平面位置关系的有效方法.跟踪训练2已知两平面，平行，且a，下列四个命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；直线a与内任何一条直线都不垂直；a与无公共点.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案B解析中a不能与内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；正确；中直线a与内的无数条直线垂直；根据定义a与无公共点，正确.直线与面位置关系图形的画法典例如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及A

8、C；(2)过三点E，F，D1.解(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.素养评析(1)直线与平面位置关系的图形的画法画直线a在平面内时，表示直线a的线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外.画直线a与平面相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面的平行四边形之外，

9、这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感.画直线a与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行.(2)画图和用图都需要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，是培养学生直观想象的数学核心素养的良好素材.1.若Ml，Nl，N，M，则有()A.la B.lC.l与相交 D.以上都有可能答案C2.若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面答案D3.下列说法中正确的是()A.两个平面可以只有一个交点B.一条直线与一个平面最多有一个公共点C.两个平面有一个公共点，则它们

10、相交或重合D.两个平面有三个公共点，它们一定重合考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案C解析两平面有公共点，包括两平面重合或相交.4.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为()A.平行 B.直线在平面内C.相交或直线在平面内 D.平行或直线在平面内考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案D5.若三个平面两两相交，则它们交线的条数为_.考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案1或3解析若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线.1.弄清直线与平面各种位置关

11、系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.一、选择题1.直线在平面外是指()A.直线与平面没有公共点B.直线与平面相交C.直线与平面平行D.直线与平面最多只有一个公共点考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点.2.如果直

12、线a平面，那么直线a与平面内的()A.一条直线不相交 B.两条直线不相交C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的应用答案D解析直线a平面，则a与无公共点，与内的直线当然均无公共点.3.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交 B.平行C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案A解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.4.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位

13、置关系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.无法确定答案A解析棱柱的所有侧棱所在的直线平行，棱柱的一条侧棱所在直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是平行.故选A.5.若平面与的公共点多于两个，则()A.，可能只有三个公共点B.，可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C.，一定有无数个公共点D.以上均不正确答案C解析若平面与的公共点多于两个，则平面与相交或重合，故C项正确.6.若平面平面，l，则l与的位置关系是()A.l与相交 B.l与平行C.l在内 D.无法判定考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析，与无公共点.l，l与无公共点，l.

14、7.两条相交直线a，b都在平面内且都不在平面内，且平面与相交，则a和b()A.一定与平面都相交B.至少一条与平面相交C.至多一条与平面相交D.可能与平面都不相交考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案B解析设c，若直线a，b都不与相交，则ac，bc，ab，这与直线a，b相交矛盾，故直线a，b中至少一条与相交.8.若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是()A.内的所有直线与m都异面B.内的所有直线与m都相交C.内存在唯一的直线与m平行D.内不存在与m平行的直线答案D解析若直线m不平行于平面，且m，则线面相交，所以内的直线与直线m的位置关系是相交或者异面，不可能平行

15、，故选D.二、填空题9.已知下列说法：若两个平面，a，b，则ab；若两个平面，a，b，则a与b是异面直线；若两个平面，a，b，则a与b平行或异面；若两个平面b，a，则a与一定相交.其中正确的序号是_.考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案解析错，a与b也可能异面；错，a与b也可能平行；对，与无公共点，又a，b，a与b无公共点，那么ab或a与b异面；错，a与也可能平行.10.若点A，B，C，则平面ABC与平面的位置关系是_.考点平面与平面之间的位置关系题点平面与平面之间的位置关系判定答案相交解析点A，B，C，平面ABC与平面有公共点，且不重合，平面ABC与平面的位置关系是相交.

16、11.互不重合的三个平面最多可以把空间分成_个部分.考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案8解析互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分.即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分.所以最多将空间分成8部分.三、解答题12.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D1

17、与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行.13.如图，已知平面和相交于直线l，点A，点B，点C，且Al，Bl，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论.考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题解平面ABC与平面的交线与l相交.证明如下：AB与l不平行，且AB，l，AB与l是相交直线.设ABlP，则点PAB，点Pl.又AB平面ABC，l，P平面ABC且P平面，即点P是平面ABC与平面的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面的一个公共点，又P，C不重合，直

18、线PC就是平面ABC与平面的交线，即平面ABC平面直线PC，而直线PClP，平面ABC与平面的交线与l相交.14.若a，b是两条异面直线，且a平面，则b与的位置关系是_.考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案b，b或b与相交解析b与有如下情况：15.已知a，b是两条直线，是一个平面，ab，aP.求证：b与相交.证明ab，a和b可以确定一个平面，不妨设这个平面为.aP，Pa且P，P.从而点P是平面与平面的一个公共点，由此可知平面与平面相交于过点P的一条直线.设c，则c.在平面内，ab，acP，则b与c也相交.设bcQ，则Qb，Qc，直线b与平面有一个公共点Q.故直线b与平面相交.