第十讲 弧弦圆心角圆周角.docx

1、第十讲 弧弦圆心角圆周角 第十讲-弧、弦、圆心角、圆周 角 弧、弦、圆心角、圆周角第十讲 知识点一弧、弦、圆心角的关系 、如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做【定义】 BBA AA O 旋转到绕圆心O将圆心角O中，分别作相等的圆心角AOB?和A?OB?AOB【探究】如图所示的 OB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？A相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？OO滚动一个圆，使与2OO在O和中，?分别作相等的圆心角AOB和AB得到如图，如图1 OA重合重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OAAO(OOO(B 你

2、能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】 ，所对的弦 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧。 几何语言： ?所对的 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，也相等 几何语言： 也相等相等，?所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 几何语言： 【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉？为什么？你能举出反例吗？ 【拓展】CA CD是两条弦O如图，在中，AB、F_,_ 1（） 如果AB=CD，那么E_,_ CD，那么AB=2（） 如果弧弧DO_,_ COD，那么 （

3、3）如果AOB=B 4（） 如果OFCD,OE与相等吗？OFABAB=CD, OE，?ABCD与CDABOE=OF5（）如果，那么的大小有什么关系？与的大小有什么 COD呢？AOB?关系？为什么？与在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的【归纳】: 。其余各组量也 2 【应用】 AOC AOB=BOC= ACB =60 ，求证例、如图，在O中，AB=AC . _ 方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明 ，COD=35 的直径，=，如图，AB是O=?oCDBCDE例、 的度数。求AOE _ 方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为ODABC上，例、已知：

4、如图，在、DOBAOCABCD =求证： _ 方法小结：同圆中，由弦相等可得_,弧之间可进行加或 【自我检测】 如果两个圆心角相等，那么（ ）1 这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等A D以上说法都不对C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等CD和与CD的关系是（ ）两条弦AB2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB AB2CD CAB2CD D不能确定 的关系是（） A. AB=2CD B_ _、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的3，DEAC和4、如图，ABDE是O的直径，弦 CE=_若弦BE=3，则弦。GBA交圆于延长EADA平行四边形ABCD中，以为圆心，AB

5、为半径的圆分别交、BC于、F，、如图所示，5?EGEF= 求证： 因此，_相等，和弧证弧思路导航：EFGE可通过证明两条弧所对的相等，_ 可作辅助线 3 HGOAOCPEFOBPAOB 上的一点，与，相交于的角平分线相交于，、已知：如图，6点，是点，与GHEF 与试确定线段之间的大小关系，并证明你的结论 _ 思路导航：由角平线线可联想_,因此可添加辅且线 EF和GH相等。由同圆中_相等，可得出弦 知识点二、圆周角定理 ，他们的视角靠墙的位置C【探究】：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的 ACB和（AOB）有什么关系。 相同吗？AEB和E，他们的视角ADB和丁分别站在其他靠墙的位

6、置【探究】：如果同学丙、D_，并且两边ADB和AEB的共同特征是，顶点在_ACB, 的角叫做圆周角。 【辨析】 识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？ 【探究】所对的圆心角、BCAB如图，为O的直径，BOC、BAC分别是、（）中BAC（）的度数圆周角，求出图（）、 通过计算发现：BACBOC试证明这个结论 【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？B C所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？ 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆

7、周角所对的弦是直径 辨析：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ 【小结】：圆周角定理的前提条件是：_ 【应用】 4 例1、 图中分别相等的圆周角有_ 例2、 如图，点A、B、C在O上，AOBC，OAC=20， .则 的度数是_AOB _实现转化。方法小结：求圆中的圆周角可利用_所对 ACB=2:AOB=2BOC求证O3、 如图， OA、OB、OC都是圆的半径,例BAC 与_所对的可圆心角的关系，通过个方法小结：已知两 的关系联系已知与未知。_ BD与CD的大小有什么关系？为什么？O的弦，延长BD到C，使AC=AB，AB例4、如图，是O的直径，BD是 ，垂直可结合等腰三角形_的性质

8、。方法小结：直径所对的圆周角是_BAD=_ ACD=42度，则O为圆的直径，CD为圆O的弦，例5、如图，AB _解题。方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对 【自我检测】BCD=_ ABD=52，则在ABD的三个顶点在O上，AB是直径，点CO上，且如图，1、 =_ AOB=50弧AC，则ADC的度数AB= 2、如图，在O中，弧_ 的度数为，则A的直径，如图，3、 BD是OCBD=30都是圆上的点，则、EDCOBA4 4、如图，、是的直径，、 ? 2=_1+5 【经典例题】 于点E，例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆O上，且对角线ACBD,OEBC1 AD 求证：OE=2 思路导

9、航：由倍分关系，联系_，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的_,又由圆的性质知点O为直径的中点，故可作辅助线_ 本题知识点：_,_,_ 知识点三、圆内接四边形的性质 【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABCD是O的内接四边形；O是四边形ABCD的外接圆。圆内接四边形有以下性质： 性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。 应用 例1、如图，四边形ABCD内接于O，BOD=100，则BCD=_度 例2、如图A，B，C是O上的三个点，若AOC=100，则ABC等于 例

10、3、如图，ABC内接于O，OBC=40，则A的度数为 方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形_的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。 例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ABC=50，则DAB等于（ ） 例5、如图，已知AB=AC=AD，BAC=44，则BDC的度数为（ ） 6 的距离5中出现到定点A，方法小结：弧中点的条件可转化为_,见直径应想到_例 相等的线段，可构造辅助圆。 F的外角平分线交O于E，EFAB，垂足为AB 经典例题 如图，ABC内接于O，且ACBAC ；（1）求证：EB=EC ACABABAC-+的和2（）分别求式子 值 BFAF（3）若EF

11、=AC=3，AB=5，求AEF的面积 妙题巧解 如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，DAB=60，BD=6cm，求对角线AC的长 【自我检测】 1、 如图12，四边形ABCD内接于圆，DCE=70，则BOD=_ 2、如图，A、B、C在O上，OAB=22.5，则ACB=_ 3、如图，O是ABC的外接圆，已知B=62，则CAO=_ 4、已知A，B，C是O上不同的三个点，AOB=60，则ACB=_ 5、如图OA=OB=OC且ACB=30，则AOB的=_ 7 第5题2第1题 第题 第3题 如图，等腰ABC中，AC=BC，O为ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CEAD6、于E， 求证：AE=BD+DE 7、如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，BMO=120 （1）求证：AB为C直径 （2）求C的半径及圆心C的坐标 8