高中数学33一元二次不等式及其解法教案新人教B版必修5.docx

1、高中数学33一元二次不等式及其解法教案新人教B版必修53.3一元二次不等式及其解法整体设计教学分析1本节内容对学生来说不算太陌生，涉及的概念也不算多，所表现的数学基本思想也不复杂但是，一元二次不等式解法作为高中数学最重要的内容之一，也是中学数学的一个基础和工具由于一元二次不等式解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中数学学习中的一个薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑要使学生通过学习本节内容后，达到新课标所规定的要求却并非易事因此在教学中要根据学生的实际情况，通过大量的实例，引导学生抽象概括，逐步理解掌握有关概念及思想方法，不可期待一蹴而就要通过解题，逐步理解掌握有关方法与思想的内

2、涵，避免陷入烦琐的计算与人为技巧之中，要重视引导学生经历探索、解决问题的过程教师要充分阅读新课标，深刻理解本节的编写意图(1)意图一是数形互补，强化直观，突出精简实用对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形方法，体现删繁就简的意图淡化解(证)不等式的技巧性要求，凸现了不等式的实际情境、几何意义及实际应用(2)意图二是总结方法，提炼思想，鼓励创新实用对一元二次不等式求解“尝试设计求解程序框图”的要求，融入了算法的思想其一是为算法找到了用武之地，其二是不但实现了不等式的上机求解，而且对不等式结构的认识显得更加清晰，更能看清问题的本质其他如优化思

3、想、化归思想、分类讨论思想、方程思想等(3)意图三是注重联系，更新观念，建立创新数学观在教学中要积极引导学生，将所学内容与日常生活、生产实际、其他学科联系起来通过类比、联想、知识迁移等方式，使学生体会本章知识间与其他知识间的有机联系，注意函数、方程、不等式的联系，数与形的联系，算法思想、优化思想、化归思想在有关内容中的渗透以及不同内容中的应用等2本节分为三个课时第一课时，理解一元二次不等式及其解法中的一些基本概念，求解一元二次不等式的步骤，求解一元二次不等式的程序框图根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系第二课时通过例题的讲解和学生的练习，更深入揭示一元二次不

4、等式解法与二次函数的关系，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固第三课时通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法通过例题的探究和变式训练，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力实际教学时用两条途径研讨二次不等式的解法：一是对函数式配方并作出二次函数的图象；二是当函数存在零点时，对函数式进行因式分解应当把第二条途径理解为是对第一条途径依据原理的加深理解另外第二条途径的方法是把二次转化为一次来求解，化难为易，高次转化为低次求解，这是研究代数问题的一条基本途径我们教学的目的，不仅仅是让学生掌握解法，更重要的是让学生

5、掌握研究问题的方法和技能三维目标1深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式“三个二次”之间的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力2通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论并通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观3通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质重点难点教学重点：突出体现数形结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法，并理解解法的几何意义教学难点：深刻理

6、解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(类比导入)让学生回忆解方程3x20的方法作函数y3x2的图象，解不等式3x20.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？思路2.(直接导入)教师利用多媒体展示两个不等式：15x230x10和3x26x10.让学生观察这两个不等式的共同点是什么？由此展开新课推进新课活动：为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的

7、一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数yx25x，当x为何值时，y0？当x为何值时，y0？当x为何值时，

8、y0？因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有着非常密切的联系教师利用多媒体让学生探究一元二次不等式x25x0和x25x0的解法先考察二次函数yx25x(x)2的图象和性质，如下图当x0或x5时，y0，即x25x0；当0x5时，y0，即x25x0；当x0或x5时，y0，即x25x0.这就是说，若抛物线yx25x与x轴的交点是(0,0)与(5,0)，则一元二次方程x25x0的解就是x10，x25.一元二次不等式x25x0的解集是x|0x5；一元二次不等式x25x0的解集是x|x0或x5这样，我们通过对函数式配方、画图就能解出一元二次不等式的解集另一种方法，教师可引导学生对函数式进行分解，

9、即x25xx(x5)因此解不等式x25x0，等价于解不等式组或解这两个不等式组，得x5或x0.这种化高次为低次的研究方法，也是我们研究问题的重要方法但把这两种方法进行比较，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些今后我们解一元二次不等式时就可用第一种方法来解由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集由于一元二次方程ax2b

10、xc0(a0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式b24ac上分别为0，0，0三种情况相应地，抛物线yax2bxc(a0)与x轴的相关位置也分为三种情况(如下图)因此，对相应的一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0(a0)的解集我们也分这三种情况进行讨论(1)若0，此时抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点图(1)，即方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根x1，x2(x1x2)，则不等式ax2bxc0(a0)的解集是x|xx1或xx2；不等式ax2bxc0(a0)的解集是x|x1xx2(2)若0，此时抛物线yax2bxc(a0)与x轴只有一个交

11、点图(2)，即方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实根x1x2，则不等式ax2bxc0(a0)的解集是x|x；不等式ax2bxc0(a0)的解集是 (3)若0，此时抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点图(3)，即方程ax2bxc0(a0)无实根，则不等式ax2bxc0(a0)的解集是R；不等式ax2bxc0(a0)的解集是 b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0的根x1,2x1x2 ax2bxc0的解集x|xx1或xx2x|xRax2bxc0的解集x|x1xx2 这样根据二次函数图象及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教师需点拨学生注

12、意：一是不要死记上表中的一元二次不等式的解集，对具体的一元二次不等式，首先想到的是二次函数图象，想到的是判别式的情况；二是不等式的解集一定要书写规范，只能用集合或区间表示，避免出现似是而非的错误对于ax2bxc0(a0)的情况，只需将二次项系数化为正值再求解即可讨论结果：(1)含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式(2)略(3)两条途径探究一元二次不等式的解法：一条是对函数式配方、画图解决；另一条是对函数式进行因式分解解决例1(教材本节例1)活动：本例的目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集本例可让学生自己解

13、决，待充分暴露问题后，教师进行一一点拨纠正点评：解完此例后，教师可结合多媒体回顾前面探究的一般一元二次不等式的解集，进一步加深学生对一元二次不等式解法的理解.变式训练1解不等式4x24x10.解：42440，由二次函数y4x24x1的图象，可知原不等式的解集为 2解不等式(1)x24x40；(2)x24x40.解：424140，原不等式可化为(1)(x2)20；(2)(x2)20.原不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为2.例2解不等式3x215x12.活动：本例的二次项系数为负，教师引导学生先将不等式变为标准形式，即3x215x120.进一步化简得x25x40，然后结合二次函数图象及一

14、元二次方程即可求解可由学生自己完成解：原不等式可化为x25x40.0，且方程x25x40的两根为x11，x24，原不等式的解集为x|1x4或写成(1,4)点评：点拨学生充分利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系.变式训练解不等式x25x6.解：原不等式变形为x25x60.(5)241610，方程x25x60的两根为x12，x23，原不等式的解集为x|2x3.例3不等式ax2bx20的解集是x|x，则ab等于()A4 B14 C10 D10答案：C解析：由ax2bx20的解集是x|x，知x1，x2是方程ax2bx20的根，且知a0.a12，b2.ab10.点评：已知不等式的解集求相

15、应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题运用根与系数的关系求解.变式训练1解不等式4(2x22x1)x(4x)解：原不等式整理，得9x212x40.1444940，方程9x212x40的解是x1x2，原不等式的解集是x|x2若不等式|8x9|7和不等式ax2bx20的解集相等，则实数a、b的值为()Aa8，b10Ba4，b9Ca1，b9 Da1，b2答案：B解析：由|8x9|7，得2x，2，是方程ax2bx20的两根故解得例4解不等式()()活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况适时点拨，将不等式等价转化为一元二次不等式解：由指数函数y()x是单调

16、递减函数可知，原不等式等价于2x25x6x2x6，即x26x0.解这个一元二次不等式得x0或x6.原不等式的解集为x|x0或x61设集合Mx|x2x0，Nx|x|2，则()AMN BMNMCMNM DMNR2已知集合Ax|x25x60，集合Bx|2x1|3，则集合AB等于()Ax|2x3 Bx|2x3Cx|2x3 Dx|1x33不等式x22x3a22a1在R上的解集是 ，则实数a的取值范围是_答案：1B解析：Mx|0x1，Nx|2x2，M N.MNM.2C解析：由x25x60，解得2x3.由|2x1|3，解得x1或x2，所以ABx|2x331a3解析：原不等式可化为x22xa22a40，在R上

17、解集为 44(a22a4)0，即a22a30.解得1a3.1由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图象解一元二次不等式的方法要领点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住抛物线yax2bxc(a0)与x轴的交点，从而确定不等式的解集同时运用二次函数图象的直观性帮助记忆2教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集课本习题33A组2(1)(4)、3.设计感想本课时设计体现新课标理念由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学

18、生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神本课时设计强化了直观由于本节教材内容有着丰富的几何背景，充分利用二次函数图象解一元二次不等式是新课标的特色对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图象，采取简洁明了的数形结合方法本课时设计突出二次函数的作用一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质让学生明确，画二次函数图象只要关键点把握准即可，我们是利

19、用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.让学生回顾利用一元二次方程、二次函数间的关系求解一元二次不等式的操作过程，尝试自己独立画出求解一元二次不等式求解的基本过程的程序框图，由此导入新课思路2.让学生思考回答一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么呢？一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是：设二次函数yax2bxc (a0)的图象是抛物线l，则不等式ax2bxc0，ax2bxc0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2bxc0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标

20、，即二次函数yax2bxc的零点，本节课进一步熟悉这种关系推进新课 1 回忆一元二次不等式的解法，并说明一元二次不等式与一元二次方程、二次函数具有怎样的关系？ 2 回忆一般一元二次不等式的求解过程，你能用一个程序框图把这个求解过程表示出来吗？ 3 根据所学知识探究简单的分式不等式与简单的高次不等式的解法. 这不是教材上的重点，但需要学生知道其变形原理且课后习题有分式不等式活动：教师引导学生回顾一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系：设二次函数yax2bxc(a0)的图象是抛物线l，则不等式ax2bxc0，ax2bxc0的解集分别是抛物线l在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；一

21、元二次方程ax2bxc0的根就是抛物线l与x轴的公共点的横坐标，即二次函数yax2bxc的零点，一元二次不等式的求解步骤，即程序是：(1)将二次项系数化为正数：yax2bxc0(或0)(a0)(2)计算判别式，分析不等式的解的情况：0时，求根x1x2，0时，求根x1x2x0，0时，方程无解，(3)写出解集为突出算法在数学中的应用，体会算法的基本思想及算法的重要性和有效性，可鼓励学生自行设计一个程序框图，将上述求解一元二次不等式的基本过程表示出来结合多媒体给出下面的框图，让学生与教材78页程序框图比较异同分式不等式的同解变形有如下几种：(1)0 f(x)g(x)0；(2)0 f(x)g(x)0；

22、(3)0 f(x)g(x)0且g(x)0；(4)0 f(x)g(x)0且g(x)0.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形在等价变形时，要注意什么时候取交集，什么时候取并集带等号的分式不等式，要注意分母不能为零另外，在取交集、并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可避免出错关于分式不等式与简单的高次不等式的解法，课本没作要求，但需了解其变形原理简单高次不等式的解法可在备课资料中参阅讨论结果：(1)(3)略例1(教材本节例5)活动：教师可引导学生对函数定义域稍作回顾复习，点拨学生明确要使函数f(x)有意义，必须2x2x30，且32xx20同时成

23、立然后由学生自己完成此例.变式训练设f(x)则不等式f(x)2的解集为()A(1,2)(3，)B(，)C(1,2)(，) D(1,2)答案：C解析：f(x)不等式f(x)2的解集由 或 解得解得1x2，解得x，综上，不等式f(x)2的解集为(1,2)(，).例2解下列不等式：(1)0；(2)3.活动：对于这种分子、分母含x的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，然后转化为整式不等式来解本例让学生自主探究，教师适时点拨解：(1)不等式0可转化成不等式(x1)(x3)0且x3，解得x1或x3.原不等式的解集为x|x1或x3(2)不等式3可等价转化为0，即(x1)(x1)0.解得1x1.原不等式的解

24、集为x|1x1点评：本例体现了分式不等式与整式不等式之间的转化提醒学生注意转化的等价性.变式训练不等式0的解集是_答案：x|x1或x2解析：不等式0等价于(x1)(x2)0.解这个一元二次不等式得x1或x2.原不等式的解集是x|x1或x2.例3函数yln()的定义域为()A(，42，) B(4,0)(0,1)C4,0)(0,1 D4,0)(0,1)活动：教师引导学生根据定义域的要求写出相应的不等式，本例可由学生自己完成答案：D解析：由题意知， 所以4x0或0x1.点评：本例作为选择题，也可用特值排除法，明显排除A.取x1，4可排除B、C.变式训练函数y的定义域是_答案：2,1)(1,3解析：由

25、解得故所求定义域为2,1)(1,3.1已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，则集合MN等于()Ax|x2 Bx|x3Cx|1x2 Dx|2x32解不等式组答案：1C解析：Mx|2x2，Nx|1x3，故MNx|1x22解：由x26x80，得(x2)(x4)0，所以x2或x4.由2，得0，即1x5.故原不等式组的解集为(1,2)(4,5)1由学生自己理顺整合本节所学知识点归纳求解简单不等式的转化方法及程序框图的应用等2教师进一步强调，一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它，它是函数与方程思想的应用范例习题33A组2(5)(

26、6)、4；习题33B组1.设计感想1本课时设计充分体现学生的主体地位，引导学生积极参与课堂探究，使教学过程由封闭型向开放型转化在教学过程中由教师到学生的单向交流，变成师生之间多向交流，使教学成为一个探索、发现、创造的过程2本课时重视了探究过程的操作，使教学过程设计更优化更合理因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程为了应付考试，为了使公式定理应用达到所谓“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化在教学概念公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题、新高考将束手无策3本课时设计“注意联系，注重概括，重视

27、应用，提高学生数学能力”的侧重我们常说“教学有法、教无定法、因材施教、贵在得法”，教学作为一门科学应当有规律可循，但是教学作为一门艺术，不应该也不能依靠某一种教学方法来实现它的全部功能，更重要的是应博采众长，优化课堂环境，注重提高学生的数学素质(设计者：郑吉星)第3课时导入新课思路1.(复习导入)教师展示一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系图表，点拨学生观察发现关于ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)恒成立问题的条件在学生精心凝思的探究中引入新课思路2.(问题导入)我们解决x25x40这样的一元二次不等式的求解问题，如果题目中含有字母参数怎么办呢？如解这样的不等式： ax25x40.在学生的思考探究中自然地引入新课推进新课 1 回忆一元二次不等式的解法，简单分式不等式的解法. 2 你能快速解决以下不等式吗？x25x6；x24x40；x22x30；2. 3 观察一元二次方程的根、一元二次不等式的解集与二次函数的图象的关系 图表 ，你能有什么独到的发现吗？活动：教师引导学生回顾一元二次不等式的求解过程，体会数形结合的威力对一元二次不等式的解法应达到“心算”的程度，即对所给的一元二次不等式要能够通过“心算”，得出相应方程的解，再在脑海中想象出其二次函数的图象，立即得到原不等式的解关键是深刻理