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1、垂径定理第一课时教案的分析和比较27.3 垂径定理（第一课时）教案的分析和比较田林中学 蔡洁平第一部分：27.3 垂径定理（第一课时）初始教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法教学重点：垂径定理的掌握及运用.教学难点：垂径定理的探索和证明教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件教学过程：一、复习引入1、什么叫弦？直径和弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图

2、形，其对称轴是？4、观察并回答：（1）两条直径的位置关系？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CDAB时）（用课件观察翻折验证）如图，已知CD是O的直径，AB是O的弦，且ABCD，垂足为M。求证：AE=BE。思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 CD是直径、A

3、B是弦 AE=BE CDAB 2、利用反例、变式图形进一步掌握定理例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 经过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 平分弦所对的劣弧 垂直于弦 平分弦所对的优弧（三）例题例2 如图，已知在O中，（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径（2）弦AB的长为6厘米，O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离（3）O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长在例2图形的基础上：变式（1）例3 已知：如图，若以O为圆心作一个O的同心圆，交大圆的弦

4、AB于C，D两点。求证：ACBD。（图1） （图2） 变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA，OB，设OA=OB，求证：ACBD。变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC，OD，设OC=OD，求证：ACBD。（图3）（图4）三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、使用垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论： 经过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 平分弦所对的劣弧 垂直于弦 平分弦所对的优弧3、思考：若将条件中的和结论中的互换，命题成立吗？生活实际使用例4（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石

5、拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）第二部分：27.3 垂径定理（第一课时）修改教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能使用垂径定理进行简单计算或证明。教学用具：圆规，三角尺，几

6、何画板课件教学过程：一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系？（两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CDAB时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，当CDAB时，弦AB会被直径CD平分。3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已

7、知CD是O的直径，AB是O的弦，且ABCD，垂足为M。求证：AE=BE。4、思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？5、给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 CD是直径、AB是弦 AE=BE CDAB 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 经

8、过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧（三）例题例2 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径在例2图形的基础上：变式（1）即例3 已知：如图，若以O为圆心作一个O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。求证：ACBD。（图1） （图2） 变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA，OB，设OA=OB，求证：ACBD。变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC，OD，设OC=OD，求证：ACBD。（图3） （图4）三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、使用

9、垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论： 经过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧3、思考：若将条件中的和结论中的互换，命题成立吗？第三部分：27.3 垂径定理（第一课时）新旧教案不同点比较项目初始教案执教教案教学目标3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3、让学生积极投入到对圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。教学重点垂径定理的掌握及运用使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。教学难点垂径定理的探索和证明对垂径定理的探索和证明，并能使用垂径定理进行简单计算或证明。教学过程一、复习引入1、什么叫弦？

10、直径和弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？二、新课3、垂径定理的变式：一条直线具有2个条件：1 经过圆心 ； 垂直于弦得到3个结论：1 平分弦 平分弦所对的劣弧 平分弦所对的优弧一、复习引入1、回顾上一节课的定理和推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等2、以上定理及推论体现了圆怎样的对称性质？3、圆还具有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？二、新课3、垂径定理的变式：一条直线具有2个条件： 经过圆心 ； 垂直于弦得到2个结论：

11、平分弦 平分弦所对的劣（优）弧例题例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？例2 如图，已知在O中，（1）弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径（2）弦AB的长为6厘米，O的半径为5厘米，求圆心O到AB的距离（3）O的半径为10厘米，圆心O到AB的距离为6厘米，求弦AB的长例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？例2 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径生活实际使用例4（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半

12、径（精确到0.1米）在本节课中去除，放入第三课时习题课中使用第四部分：27.3 垂径定理（第一课时）新旧教案比较和分析一、 教学目标、教学重点及难点：1、 教学目标：在初始教案中，我的教学目标中的（3）让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法的确定本意是指在新课引入阶段中，从两条直径始终互相平分的情况下，把其中一条直径AB向下平移，变成非直径的弦，若弦AB要被直径CD平分，需再增加垂直条件，从而让学生感受到由一般到特殊。但是通过史老师和孙校长的分析和指正之后，我发现我只顾写法上的华美，忽略了一般情况和特殊情况必须是同等条件下的转变，导致数学术语的错误使用。同时我认识到本节课垂

13、径定理的学习本质上是让学生对圆的轴对称性质有进一步的认识和使用，因此我将教学目标（3）更改为“让学生积极投入到对圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。”2、 教学重点及难点：在初始教案中教学重难点的确定大部分是照搬教学参考的意见，过于笼统，没有将教师授课的侧重点加以展现，在认真设想了学生在教学中必须掌握的技能和新知识吸收时可能存在的问题，补充了教学的重难点。一节课的教学目标和重难点的确定是教师专业活动的灵魂，也是每堂课的方向，是判断教学是否有效的直接依据。过去，作为新教师对于教学目标、重难点的制定常常没有自己的思考，往往将教学参考用书上的“教学要求”一抄了之，便认为“

14、大功告成”了。实则若我们对课堂教学目标、重难点不进行认真的研究教学活动中便会没有“灵魂”，导致课堂教学过程中容易迷失“方向”。因此，为了加强“有效教学”，必须规范课堂教学目标、重难点的确立，遵循行为主体必须是学生而不是教师的原则，深刻挖掘教材编写者的意图，从而制定出务实有效的教学目标、重难点使其为己所用。二、 教学过程：在初始教案中，我是通过（1、什么叫弦？直径和弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？）3个问题让学生对之前已学知识进行一个回顾。但在说课之后，发现问题1和问题2对旧知识的复习，和本节课的新知引入联系不够紧密，会使本节课的导入

15、过散，不利于学生快速进入到对新知识的学习中。因此我去除了这两个问题，重点从圆的对称性质入手。通过归纳之前所学的四等定理是圆的旋转对称性质的体现，让学生思考圆是否还有其它对称性质，学生很快得出圆同时也是一个轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，从而进一步自然连贯地引出下一步思考。这样的引入不仅紧扣教学目标，也让学生对垂径定理是圆轴对称性的重要体现加深了影响。本节课的重点是让学生掌握垂径定理并能简单使用于圆中的计算和论证。为了进一步让学生对定理的本质加以了解，我在定理归纳环节引导学生归纳出定理的几何语言表达形式，使学生对垂径定理的条件和结论，留下深刻的印象。并通过例1的6幅反例、变式图

16、形强调了垂径定理的两个条件“垂”和“径”缺一不可，同时让学生认识到了定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。为了方便学生记忆，在听取了专家老师的建议之后，我将原本的2个条件对应3的结论中优、劣弧两个结论进行合并，修改为两个条件（过圆心、垂直于弦）对应两个结论（平分弦、平分弧）。这也为之后推论学习中条件和结论的互换做好了铺垫。同时，在6幅图中的第1幅图由于不够体现典型性，我进行了修改。三、例题修改教案中的例题相对于初始教案有了一定的纠正，这是在进一步设想和完善教学过程的基础上进行的。例2的设定是为了引导学生认识到解决有关弦的问题，可以通过过圆心作弦的垂线段这条重要的辅助线，使圆

17、心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，将问题转换为解直角三角形的问题。初始教案中我分别以其中两个量做为已知条件，求第三个量出了三道小题。由于求法相同，对于学生来说只是机械的对同一问题进行反复练习，这反倒会降低学生的学习兴趣。同时也会导致教学时间的浪费和教学资源的无效性，因此我删减为一题。在初始教案中的课后练习中我安排了例4赵州桥问题。这是一道生活使用题。赵州桥是世界上最古老的圆弧拱桥，其跨度大、扁平率低，是建筑史上一个可贵的创造，在1991年被美国土木工程师学会选定为第十二个“国际土木工程里程碑”。它是垂径定理的使用的一个很好的体现，同时也能让学生真正感受到数学来自于生活，服务于生活。但是在

18、听取了专家老师的意见之后，我感受到若将其放在课后，根据学生的学习惰性反而会白白浪费这道例题的价值。而且这道例题的难点还在于帮助学生将生活知识数学化符号化，其中还会使用到推论中的知识以帮助作图，因此在修改教案中我将其去除，移到推论学习之后再加以使用。第五部分：27.3 垂径定理（第一课时）教学反思：垂径定理（第一课时）是我和梅园中学庞肖维老师共同准备的同课异构的课题。第一次参和同课异构活动不仅让我了解了自身上课的特点和需要改进的地方，也让我从其他老师的身上感受到了其教学的亮点，值得我借鉴。结合本节课的教学，我从以下几个方面进行了反思：一、对教材的分析：本节课是在学生学习了过三点的圆和圆的有关性质

19、等内容之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习。垂径定理的推证是以圆是轴对称图形的性质为依据的，因此，垂径定理既是圆的性质-轴对称性质的重要体现，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据。本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明的一个重要工具。同时，更为下节课垂径定理推论的引出奠定了基础。二、学情分析、教法确定和教学效果：1、学情分析我所任教的班级学生由于多次分班调整等原因，基础不一，两极分化较明显。作为执教老师，既要帮助知识体系较薄弱的学生打好扎实基础，更要为有能力的学生提供足够的思维空间，以促其发展。因此，除了通过观察实验等活动调动学生学习的积极性，还需强调论

20、证的重要性，加大变式练习。2、教法分析根据初三学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参和到整个教学活动中来，组织学生参和“实验-观察-猜想-证明”的活动，最后得出定理。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。区别于庞老师对这节新授课的引入，我抓住了垂径定理条件中的一条过圆心的直线，先给出一条直径和弦相交，让学生猜想补充出另一个条件：垂直位置，以得到使直径平分弦的结论。而庞老师则先给出两条弦处于垂直位置，再让学生补充移动其中一条弦过圆心，使得到所需结论。两种引入虽形式上不同

21、，但实际上都采用了物理学上的固定变量法，即先固定一个条件的方法。这让我深刻感受到新课引入环节的重要性，只有吃透教材，才能真正使教材为己所用，为整节课的教学开展起到很好的开头作用。3、教学效果：由于明确了教学目标，对初始教案进行了修改，我在修改教案中更多地把促进学生自主参和放在首位，因此在授课中，新知识的引入和使用过程显得更为流畅，学生也更加的投入。经过这节课的学习，学生基本掌握了垂径定理的本质：2个条件和2个结论，并能使用其进行简单的计算和证明，较好的达到了教学目标，完成了教学任务，教学效果良好。三、对存在问题的思考：本节课也存在着不足和需改进，甚至可以进一步完善之处：（1）板书的设计。板书是

22、无声的语言，是完成课堂教学任务的重要手段板书也是教师的基本功之一。好的板书不仅有助于传授知识和方法，而且有助于启迪学生思维，有助于培养学生严肃认真的学习态度，养成良好的学习习惯；教师认真严谨、规范的板书是良好的示范，是言传身教的体现，不仅会起到让学生潜移默化的作用，而且还会给学生一种美的感受，增强学生的记忆效果、有利于学生的身心健康，陶冶学生的情操，培养严谨的治学精神。重视板书，研究板书，精心设计板书，对教师来讲是一项不可等闲视之的工作。在评课中我意识到为了进一步提高我的教学水平，我必须在板书的设计上下苦功，这也是我今后教学改进需努力的方向。对于新授课板书的设计上应精心布局，文字语言、符号语言

23、、分析语言缺一不可，并且应该再配上基本图形以加深学生对定理的了解，除了突出要点，还需让学生感受到定理使用的规范性。这样不但能帮助学生了解和掌握教学的重点、难点，掌握知识的发展脉络和逻辑体系，更能调动学生多感官参加学习活动，使学生清晰地意识到实际的教学过程,启发学生的思维随着教学的进程而顺利发展。（2）应适当地拔高学生对新课的理解体会。在新课引入部分证明直径平分弦这一结论时，不能只局限于学生得到添加半径作为辅助线这一结果上，而应利用这一机会帮助学生对之前所学的证明两条线段相等的几种方法进行回顾，以使证明方法系统化，不单纯为一节课服务。在垂径定理使用时，对于添加过圆心的垂线段的缘由也可以结合线段是轴对称图形，圆也是轴对称图形，而它们的公共对称轴即这条垂线段，帮助学生加深对轴对称图形添加辅助线的体会。最后，本节同课异构活动也让我发现了今后需要改进和进一步探索的方向：即要进一步培养自身操控教学进度的能力和精选例题的能力；不断地磨练自身的讲授课技能，在设问的指向上和时机上不断地积累经验，才能在教学上有进一步的提高。