1、专题20 半角模型解析版中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形如图:(1)2=AOB;(2)OA=OB。如图:连接 FB,将FOB 绕点 O 旋转至FOA 的位置,连接 FE、FE,可得OEFOEF。 模型精练1(2019秋九龙坡区校级月考)如图在四边形ABCD中,B+ADC180,ABAD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAFBAD,求证:EFBEFD2(2020锦州模拟)问题情境:已知,在等边ABC中,BAC与ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且MON60,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系方法感悟:小芳的
2、思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明3(2020章丘区模拟)如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终MAN45(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长
3、线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CNCD6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长4(2019麒麟区模拟)已知,正方形ABCD中,MAN45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AHMN于点H(1)如图,当MAN绕点A旋转到BMDN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: ;(2)如图,当MAN绕点A旋转到BMDN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图,已知MA
4、N45,AHMN于点H,且MH2,NH3,求AH的长(可利用(2)得到的结论)5(2019秋东台市期末)在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点,且MDN60,BDC120,BDDC探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DMDN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ;此时 ;(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DMDN时,猜想( I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由(3)如图3,当M、N分别在边AB、C
5、A的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明6请阅读下列材料:已知:如图(1)在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连接ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明;(3)已知:如图(3),等边三角形A
6、BC中,点D、E在边AB上,且DCE30,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数7(2019夏津县二模)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且EAF45度则有结论EFBE+FD成立;(1)如图2,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是BC,CD上的点,且EAF是BAD的一半,那么结论EFBE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由(2)若将(1)中的条件改为:如图3,在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,延长BC到点E,延长CD到点F,使得EAF仍然是BAD的一半,则结论EFBE+FD
7、是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明8(1)如图1,将EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转,EAF的两边交BC于E,交CD于F,连接EF若EAF45,BE、DF的长度是方程x25x+60的两根,请直接写出EF的长;(2)如图2,将EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转,EAF的两边交CB的延长线于E,交DC的延长线于F,连接EF若ABAD,ABC与ADC互补,EAFBAD,请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在(2)的前提下,若BC4,DC7,CF2,求CEF的周长EF的长为: ;数量关系: 中考常考几何模型专题20 半角模型倍
8、长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形如图:(1)2=AOB;(2)OA=OB。如图:连接 FB,将FOB 绕点 O 旋转至FOA 的位置,连接 FE、FE,可得OEFOEF。 模型精练1(2019秋九龙坡区校级月考)如图在四边形ABCD中,B+ADC180,ABAD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAFBAD,求证:EFBEFD【点睛】在BE上截取BG,使BGDF,连接AG根据SAA证明ABGADF得到AGAF,BAGDAF,根据EAFBAD,可知GAEEAF,可证明AEGAEF,EGEF,那么EFGEBEBGBEDF【解析】证明:在BE上截取BG,使BGDF,连接AGB
9、+ADC180,ADF+ADC180,BADF在ABG和ADF中,ABGADF(SAS),BAGDAF,AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAF在AEG和AEF中,AEGAEF(SAS)EGEF,EGBEBGEFBEFD2(2020锦州模拟)问题情境:已知,在等边ABC中,BAC与ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且MON60,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探
10、索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明【点睛】(1)在AC上截取CDAN,连接OD,证明CDOANO,根据全等三角形的性质得到ODON,CODAON,证明DMONMO,得到DMMN,结合图形证明结论;(2)在AC延长线上截取CDAN,连接OD,仿照(1)的方法解答【解析】解:(1)CMAN+MN,理由如下:在AC上截取CDAN,连接OD,ABC为等边三角形,BAC与ACB的角平分线交于点O,OACOCA30,OAOC,在CDO和ANO中,CDOANO(S
11、AS)ODON,CODAON,MON60,COD+AOM60,AOC120,DOM60,在DMO和NMO中,DMONMO,DMMN,CMCD+DMAN+MN;(2)补全图形如图2所示:CMMNAN,理由如下:在AC延长线上截取CDAN,连接OD,在CDO和ANO中,CDOANO(SAS)ODON,CODAON,DOMNOM,在DMO和NMO中,DMONMO(SAS)MNDM,CMDMCDMNAN3(2020章丘区模拟)如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终MAN45(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;
12、(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CNCD6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长【点睛】(1)在MB的延长线上,截取BEDN,连接AE,则可证明ABEADN,得到AEAN,进一步证明AEMANM,得出MEMN,得出BM+DNMN;(2)在DC上截取DFBM,连接AF,可先证明ABMADF,得出AMAF,进一步证明MANFAN,可得到MNNF,从而可得到DNBMMN;(3)由已知得出DN12,由勾股定理得出AN6
13、,由平行线得出ABQNDQ,得出,求出AQ2;由(2)得出DNBMMN设BMx,则MN12x,CM6+x,在RtCMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出BM2,由勾股定理得出AM2,由平行线得出PBMPDA,得出,求出PMAM,得出APAM+PM3【解析】解:(1)BM+DNMN,理由如下:如图1,在MB的延长线上,截取BEDN,连接AE,四边形ABCD是正方形,ABAD,BADABCD90,ABE90D,在ABE和ADN中,ABEADN(SAS),AEAN,EABNAD,EANBAD90,MAN45,EAM45NAM,在AEM和ANM中,AEMANM(SAS),MEMN,又MEBE+BMBM
14、+DN,BM+DNMN;故答案为:BM+DNMN;(2)(1)中的结论不成立,DNBMMN理由如下:如图2,在DC上截取DFBM,连接AF,则ABM90D,在ABM和ADF中,ABMADF(SAS),AMAF,BAMDAF,BAM+BAFBAF+DAFBAD90,即MAFBAD90,MAN45,MANFAN45,在MAN和FAN中,MANFAN(SAS),MNNF,MNDNDFDNBM,DNBMMN(3)四边形ABCD是正方形,ABBCADCD6,ADBC,ABCD,ABCADCBCD90,ABMMCN90,CNCD6,DN12,AN6,ABCD,ABQNDQ,AQAN2;由(2)得:DNBM
15、MN设BMx,则MN12x,CM6+x,在RtCMN中,由勾股定理得:62+(6+x)2(12x)2,解得:x2,BM2,AM2,BCAD,PBMPDA,PMAM,APAM+PM34(2019麒麟区模拟)已知,正方形ABCD中,MAN45,MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AHMN于点H(1)如图,当MAN绕点A旋转到BMDN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:AHAB;(2)如图,当MAN绕点A旋转到BMDN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图,已知MAN45,AHMN于点H,且MH2,
16、NH3,求AH的长(可利用(2)得到的结论)【点睛】(1)由三角形全等可以证明AHAB,(2)延长CB至E,使BEDN,证明AEMANM,能得到AHAB,(3)分别沿AM、AN翻折AMH和ANH,得到ABM和AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AHx,则MCx2,NCx3,在RtMCN中,由勾股定理,解得x【解析】解:(1)如图AHAB(2)数量关系成立如图,延长CB至E,使BEDNABCD是正方形,ABAD,DABE90,在RtAEB和RtAND中,RtAEBRtAND,AEAN,EABNAD,DAN+BAM45,EAB+BAM45,EAM45,EAMNAM45,在A
17、EM和ANM中,AEMANMSAEMSANM,EMMN,AB、AH是AEM和ANM对应边上的高,ABAH(3)如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH,得到ABM和AND,BM2,DN3,BDBAD90分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,由(2)可知,AHABBCCDAD设AHx,则MCx2,NCx3,在RtMCN中,由勾股定理,得MN2MC2+NC252(x2)2+(x3)2(6分)解得x16,x21(不符合题意,舍去)AH65(2019秋东台市期末)在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为ABC外一点,且MDN60,BDC120,BDDC探究:当M、N分别在直线
18、AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DMDN时,BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NCMN;此时;(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DMDN时,猜想( I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明【点睛】(1)由DMDN,MDN60,可证得MDN是等边三角形,又由ABC是等边三角形,CDBD,易证得RtBDMRtCDN,然后由直角三角形的性质,即可求得BM
19、、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN,此时 ;(2)在CN的延长线上截取CM1BM,连接DM1可证DBMDCM1,即可得DMDM1,易证得CDNMDN60,则可证得MDNM1DN,然后由全等三角形的性质,即可得结论仍然成立;(3)首先在CN上截取CM1BM,连接DM1,可证DBMDCM1,即可得DMDM1,然后证得CDNMDN60,易证得MDNM1DN,则可得NCBMMN【解析】解:(1)如图1,BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NCMN此时 (2分)理由:DMDN,MDN60,MDN是等边三角形,ABC是等边三角形,A60,BDCD,BDC120,DBCDCB30,MBDNCD90
20、,DMDN,BDCD,RtBDMRtCDN,BDMCDN30,BMCN,DM2BM,DN2CN,MN2BM2CNBM+CN;AMAN,AMN是等边三角形,ABAM+BM,AM:AB2:3,;(2)猜想:结论仍然成立 (3分)证明:在NC的延长线上截取CM1BM,连接DM1(4分)MBDM1CD90,BDCD,DBMDCM1,DMDM1,MBDM1CD,M1CBM,MDN60,BDC120,M1DNMDN60,MDNM1DN,MNM1NM1C+NCBM+NC,AMN的周长为:AM+MN+ANAM+BM+CN+ANAB+AC,;(3)证明:在CN上截取CM1BM,连接DM1(4分)可证DBMDCM
21、1,DMDM1,(5分)可证M1DNMDN60,MDNM1DN,MNM1N,(7分)NCBMMN(8分)6请阅读下列材料:已知:如图(1)在RtABC中,BAC90,ABAC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连接ED,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明
22、;(3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且DCE30,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数【点睛】(1)DE2BD2+EC2,将ADB沿直线AD对折,得AFD,连FE,容易证明AFDABD,然后可以得到AFAB,FDDB,FADBAD,AFDABD,再利用已知条件可以证明AFEACE,从而可以得到DFEAFDAFE1354590,根据勾股定理即可证明猜想的结论;(2)根据(1)的思路一样可以解决问题;(3)当ADBE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图,与(1)类似,以CE为一边,作ECFECB,在C
23、F上截取CFCB,可得CFECBE,DCFDCA,然后可以得到ADDF,EFBE由此可以得到DFE1+2A+B120,这样就可以解决问题【解析】解:(1)DE2BD2+EC2;(2)关系式DE2BD2+EC2仍然成立证明:将ADB沿直线AD对折,得AFD,连FEAFDABD,AFAB,FDDB,FADBAD,AFDABD,又ABAC,AFAC,FAEFAD+DAEFAD+45,EACBACBAE90(DAEDAB)45+DAB,FAEEAC,又AEAE,AFEACE,FEEC,AFEACE45,AFDABD180ABC135DFEAFDAFE1354590,在RtDFE中,DF2+FE2DE2
24、,即DE2BD2+EC2;(3)当ADBE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形如图,与(2)类似,以CE为一边,作ECFECB,在CF上截取CFCB,可得CFECBE,DCFDCAADDF,EFBEDFE1+2A+B120若使DFE为等腰三角形,只需DFEF,即ADBE,当ADBE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,且顶角DFE为1207(2019夏津县二模)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且EAF45度则有结论EFBE+FD成立;(1)如图2,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是BC,CD上的点,且EAF是BAD的一半,那么结论EF
25、BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由(2)若将(1)中的条件改为:如图3,在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,延长BC到点E,延长CD到点F,使得EAF仍然是BAD的一半,则结论EFBE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明【点睛】(1)结论仍然成立延长CB到G,使BGFD,根据已知条件容易证明ABGADF,由此可以推出BAGDAF,AGAF,而EAFBAD,所以得到DAF+BAEEAF,进一步得到EAFGAE,现在可以证明AEFAEG,然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立;(2)结论不成立,应为EFBEDF,如图在CB上截取
26、BGFD,由于B+ADC180,ADF+ADC180,可以得到BADF,再利用已知条件可以证明ABGADF,由此可以推出BAGDAF,AGAF,而EAFBAD,所以得到EAFGAE,现在可以证明AEFAEG,再根据全等三角形的性质就可以证明EFEGEBBGEBDF【解析】解:(1)延长CB到G,使BGFD,连接AG,ABGD90,ABAD,ABGADF,BAGDAF,AGAF,EAFBAD,DAF+BAEEAF,EAFGAE,AEFAEG,EFEGEB+BGEB+DF(2)结论不成立,应为EFBEDF,证明:在BE上截取BG,使BGDF,连接AGB+ADC180,ADF+ADC180,BADFABAD,ABGADFBAGDAF,AGAFBAG+EADDAF+EADEAFBADGAEEAFAEAE,AEGAEF
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