1、湘教版学年九年级数学第一学期全册教案含教学反思第1章 反比例函数1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=
2、s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即abS(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式UIR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这
3、种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=(k为常数且k0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有
4、t的取值范围为t0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动三、运用新知,深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y= (k是常数,k0)所以此题必须先写出函数解析式,后解答解:(1)a=12/h,是反比
5、例函数;(2)FpS,是正比例函数;(3)F=W/s,是反比例函数;(4)y=m/x,是反比例函数3.当m为何值时,函数y=是反比例函数,并求出其函数解析式分析:由反比例函数的定义易求出m的值解:由反比例函数的定义可知:2m21,m=3/2所以反比例函数的解析式为y=4.当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度成反比例.且V=5m3时,=198kgm3(1)求p与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.(2)求V=9m3时,二氧化碳的密度.解:略5.已知yy1y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x2与x3时,y的值都等于19求y与x间的函数关系式分析:y1与x成正比例,则y1k1x,y2
6、与x2成反比例,则y2=k2x2,又由yy1y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式解:因为y1与x成正比例,所以y1k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2= ,而yy1y2,所以y=k1x+ ,当x2与x3时,y的值都等于19【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数
7、.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性
8、质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(6,1)、(3,2)、(2,3)等(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支这两个分支合起来,就是反比例函数的图象思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边
9、的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k0时,反比例函数y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=的图象可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=与y=之间的关系,画出y=的图象【归纳结论
10、】一般地,当k0时,图象在一、三象限;当k0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数为反比例函数(1)求m的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?(3)当3x时,求此函数的最大值和最小值8.作出反比例函数y=的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x4时,求y的值;(2)当y2时,求x的值;(3)当y2时,求x的范围解:列表:由图知:(1)y3;(2)x6;(3)0x69.作出反比例函数y=的图象,结合图象回答:(1)当x2时,y的值;(2)当1x4时,y的取值范围;(3)当1y4
11、时,x的取值范围解:列表:由图知:(1)y2;(2)4y1;(3)4x1【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时 反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数
12、图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否
13、在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k0还是k0.(2)因为点A(-3,y1)
14、,B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-30,-20.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=上,则y1、y2中较小的是 【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y= (k0)的图象上的两点,若x10x2,则有( )A.y10y2 B.y20y1 C.y1y20 D.y2y10【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1b2 B.b1
15、=b2 C.b1b2 D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0x1x2,则( )A.y1y2 B.y1y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y= (k0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1x3时,求y的取值范围6.已知y= (k0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2)(1)求反比例函数的表达式;(2)求a与b的值解:(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-;(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C
16、(a,2)代入反比例解析式得:2=-,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,2),即当x1时,y2由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解:(1)设:反比例函数的解析式为:y= (k0)而反比例函数的图象过点(1,2),即当x1时,y2所以2=,k2即反比例函数的解析式为:y=(
17、2)点A(5,m)在反比例函数y=图象上,所以m= = ,点A的坐标为(5,)点A关于x轴的对称点(5,)不在这个图象上;点A关于y轴的对称点(5,)不在这个图象上;点A关于原点的对称点(5,)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知
18、的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在中学数学课程标准中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知
19、识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两
20、个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y=,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1(-3),4=解得,k1= k2=-12所以,正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点(1,6),(6,1),过点分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2=
21、;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=(k0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=(k0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且ABO的面积是3,则k的值是( )A.3 B.-3 C.6 D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S|k| 解:根据题意可
22、知:SAOB|k|3,又反比例函数的图象位于第一象限,k0,则k6【答案】 C2.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则AOB的面积为( )A. B.2 C.3 D.1分析:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BCy轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、AOE、BOC的面积,进而可得出结论解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BCy轴,点C为垂足,由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,SAOE=3,SBOC=1,SAOB=S四边形OEAC-
23、SAOE-SBOC=6-3-1=2【答案】 B3.已知直线yxb经过点A(3,0),并与双曲线y=的交点为B(2,m)和C,求k、b的值解:点A(3,0)在直线yxb上,所以03b,b3一次函数的解析式为:yx3又因为点B(2,m)也在直线yx3上,所以m235,即B(2,5)而点B(2,5)又在反比例函数y=上,所以k2(5)104.已知反比例函数y=的图象与一次函数yk2x1的图象交于A(2,1)(1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系分析:(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值(2
24、)把点A关于坐标原点的对称点A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A是否在这两个函数图象上解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k121212k21,k21所以反比例函数的解析式为:y=;一次函数解析式为:yx1(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A(2,1)把A点的横坐标代入反比例函数解析式得,y=1,所以点A在反比例函数图象上把A点的横坐标代入一次函数解析式得,y213,所以点A不在一次函数图象上5.已知一次函数ykxb的图象经过点A(0,1)和点B(a,3a),a0,且点B在反比例函数的y=的图象上(1)求a的值(2)求一次函数的解析式,并画出它的图
25、象(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在1y3范围内时,相应的x的取值范围(4)如果P(m,y1)、Q(m1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在1y3范围内时,相应的x的值为:1x1(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m1m,所以y1y2.或
26、解:当x1m时,y12m1;当x2m1时,y22(m1)12m1所以y1y2(2m1)(2m1)20,即y1y2.6.如图,一次函数ykxb的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标 【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础
27、题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法2观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进
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