行列式的计算方法.docx

1、行列式的计算方法引言 1一、行列式的定义及性质 2（一）行列式的定义及相关公式 2（二）n 级行列式的性质： . 4二、行列式的计算 6（一）行列式的基本计算方法 61、定义法 : 62、三角形法： 73、降阶法 : 124、换元法： 145、递推法： 156、数学归纳法： 167、目标行列式法： 18（二）行列式的辅助计算方法 191、加边法： 192、析因子法： 213、连加法： 214、拆项法 : 225、乘积法： 23结束语 24参考文献： 26行列式的计算方法摘要 行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。 行列式产生于解线性方程组中， 并且也是最早应用于

2、解线性方程组中， 并且在其他学科分支 都有广泛的应用， 可以说它是数学、 物理学以及工科许多课程的重要学习工具。 行列式也为 解决实际问题带来了许多方便。 本文针对行列式这一数学工具， 进行系统讨论， 从不同的角 度理解了行列式的定义， 重点证明了行列式性质， 介绍一些展开定理， 总结了行列式的几种 计算方法，如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。 辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算 的技巧性和灵活性。关键词 行列式，计算方法，线性方程组。The Calculation of DeterminantLiuHui(Co

3、llege of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is appl

4、ied to solve in the linear equation group first, moreover all has the widespread application in other discipline branches, we can say that it is an important study tool which in mathematics, the physics as well as the engineering course many curricula. The determinant also brought about convenient f

5、or the solution actual problem. This article in view of the determinant this mathematical instrument, carries on the system discussion, had understood from the different angle to the determinant definition, had proven the nature of the determinant on emphasis, introduced some expansion theorem, summ

6、arized several computational methods of the determinant, such as defining the law, triangular law, lower the steps law, change yuans of law, is it push away law , mathematical induction and goal determinant law to pass, The householder method is as follows, add the law , analyse the factor law , pro

7、duct law, even the addition, dismantle a law and so on, and union sample question showing determinant computation skill and the flexibility.Key words Order determinat; Computing technology ; Line shape equation group.引言行列式是线性代数中重要的一部分， 它的产生和最早的应用都是 在解线性方程组中， 虽然相对整个线性代数领域来说， 它只是一小部 分，但是它的作用不可忽视，有着重要的

8、地位。因为在一些数学问题 中，往往会涉及到行列式问题，而行列式的计算是解决问题的关键。 不过它现在的应用范围已拓展得很广泛，成为很多学科的重要工具。 国际上一些知名的数学家如 : 克兰姆 (cramer), 拉普拉斯 (laplace), 范得蒙 (vandermonde) 等都对行列式有着深入的研究 , 并为行列式的 计算奠定了理论基础。行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，有些 问题只靠一种方法还不能解决， 所以本文就行列式的多种基本方法和 辅助方法进行归纳总结以及进行例证说明。 这些方法与技巧也许不能 包含所有解法， 但随着知识的发展我们相信还会有更新的， 更好的方 法来解决行列式的计算问

9、题。一、行列式的定义及性质一)行列式的定义及相关公式在高等代数(线性代数)教科书中 , 对行列式都有如下介绍1、二级行列式的定义a11 a22 a12 a 212、三级行列式的定义a21 a22 a23 a11a22 a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a31 a32 a33a12a21a33 a11a23a32.的一个排列，当 j1 j2.jn 是偶排列时，3、 n级行列式的定义a11a12La1nDna21a22La2n1 L jnj1 j2L jnLLLLj1 j2a1j1a2j2 L anjnan1an2Lanna11a12. a1na21a22. a

10、2n也就是说 n级行列式等于所有取自不同行不同an1an2. ann列的几个元素的乘积 a1j1a2 j .a2n j (*)n的代数和。这里 j1j2.jn是 1,2n(*) 式取正号，当 j1j2.jn 是奇排列时 (*) 式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用即 n级行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和。4、将行列式按行(或列)展开上的方阵。6、 AB A B ,其中A、 B都是数域 P上的方阵。9、非零矩阵 k 左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块 行列式与原来相等。10 、 A AT ,其中A是数域 P上的方阵。11、范德蒙行列式二）n

11、级行列式的性质： 性质 1 ：行列互换，行列式不变。a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2an1an2anna1na2nann性质 2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行式a11a12a1na11a12a1nkai1kai2kainkai1ai2ainan1an2annan1an2ann性质 3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个 行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一 样。a11 a12a1nana12a1na11a12a1nb1 c1b2 c2bn cnb1b2bnc1c2cnan1an2annan1an2a

12、nnan1an2ann性质 4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质 5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai 2ainkkai1kai2kainai1ai2aina11an2anna11an2ann性质 6：对换行列式中两行的位置，行列式反号。性质 7：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质 8：若行列式 D 的所有元素都加上同一个数，则其代数余子式之和不变。即：a11a12a1na11xa12xa1nxDa21a22a2n， D1a21xa22xa2nx则an1an2anna

13、n1xan2xannxn D1 D x Aij , 其中 Aij 是 D1 中的。ij 1性质 9：若行列式某一行元素都等于 1，则行列式等于其所有代 数余子式之和。性质 10：设 D aij n n，则 D的代数余子式之和等于nn111a21a11a22a12a2na1na31a11a32a12a3na1nan1a11an2a12anna1n二、行列式的计算(一)行列式的基本计算方法1、定义法 :应用 n 级行列式的定义计算其值的方法，称为定义法a11a12.a1n由行列式计算的定义知，a21a22.a2nj1 j2.(j1j2 .jn )(1) 12 n a1j1a2j2 anjn.jna

14、n1an2.anna11a12.a1n也就是说 n 级行列式a21a22.a2n等于所有取自不同行不同列an1an2.ann的几个元素的乘积 a1 j a2 j.an j(*)的代数和。这里j1 j2.jn是 1,2 n的一个排列，当 j1j2.jn是偶排列时， (*) 式取正号，当 j 1 j 2. j n是奇排列时 (*) 式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用多零元素 , 所以不为零的项只有 a14a23a32a41这一项, 而 （4321） 6, 故d 1 2 3 2 12 。注：对于一个 n级行列式 ,按定义展开后共有 n！项, 计算它就需 要做n！（ n- 1）

15、个乘法,当n较大时, n！是一个相当大的数字 ,直接从 定义来计算行列式几乎是不可能的 ,因此, 定义法一般很少用。2、三角形法：将行列式化为上三角形或下三角形行列式来计算的一种方法。（1）提公因式法（） 行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是 把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因数，便可转化为1）的形式或直接化为三角形的形式。4例 2：计算行列式 11 1114分析：这是一个四级行列式， 用定义法我们知道它的值是 4! 个项 的和，能准确的找出 24 项也是一件麻烦的事情， 观察行列式我们会发 现它每行（列）的和都是 1 1 1 4 7 ，因此经过变换提公因数后会

16、 出现全为 1的一行（列），在化三角形法中，我们最愿意看到的就是行(列) 1，故解：把所有列都加到第一列，提公因数，得：1111111114110300371141700307 33 18911140003D由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式， 可以减少计算量，降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子xa1a2 . ana1xa2 . an例 3：计算： Da1a2x . ana1a2a3 . x提出公因数使第一列全变为 1，则便形成( 1)的形式，同样可以化为 三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因数，得:1a1a2 . ann1xa2 . anD (x ai )1a2x

17、 . ani11a2a3 . xn(x ai)(x a1)(x a 2 ).( x an)i1再将第一列的 ( a1),( a2 ).( an) 倍分别加到第 2,3.n 1列，得1 0 0 . . 0n(x ai )(x a1)(x a2).(x an)i1（2）提因式法（） 有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同， 但第i（i 2,3,.n）行（列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直 接化为三角形。246427327例 4：计算 D1014543443342721621分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果， 即:D 246 543 621 1014

18、721 327 427 443 （ 342） 327 543 （ 342）427 443 （ 342） 1014 721 3275294 105虽然是三阶行列式， 但计算量也是相当大的， 仔细观察行列式会 发现，行列式三行的和都是 1000 的倍数，且后两列的元素分别相差100，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则3）比例相加法行列式对角线以下(上)的元素与行列式中某一行(列)的对应 元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一行(列)乘的适当 倍数加到其它行(列) ，即可化为三角形。1 a1 a2 . an例 5：计算 1 a1

19、 b1 a2 . an1 a1 a2 . an bn分析：观察行列式的特点， 主对角线下方的元素与第一行元素对 应相同，故用第一行的 ( 1) 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元 素全部变为零。解：将 D的第一行的 ( 1)倍分别加到第 2,3.n 1行上去，可得 :anb1b2.bn1 a1 a20 b1 0 D 0 0 b2a1a2a3 . an1a1a2a3 . x1a1xa2 . an 11000bn例 6：计算 Dx a1 a2an 1 1元素对应成比例， 故用最后一列元素的倍数加到前面的列上就可使次 对角线上方的元素都化为零。解：将最后一列分别乘的 ( a1),( a2 ).(

20、an) 后依次加到第 1,2L n列，可得：000. 0 1000. x an 1n(n 1)D. . . .( 1) 2 (x a1)(x a2 ).(x an)0x a1a2 a3 . an 1 an 1x a1a1 a2a2 a3 . an 1 an 1（4）逐行相加法。有的行列式的行（列）乘的适当的倍数，逐行（列）相加后，可化为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。123411231x121xx11xxx分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等差数列，而主对角线下方的元素按行 （列）成常数列， 故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素变为零，而一部分全变为相同的

21、，从而更有利于化为三角形。 一般的， 若行列式对角线两侧的元素有一定的规 律，如：成等差数列，成等比数列或相等时，用逐行（列）相加法可 使行列式变的简单易算。解：从 D 的第二行起，每行乘以（ 1）后加到上一行，则得从第一行开始，每行都减去下一行，又得以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式， 由定义 法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。 由于对角线上元素 相乘时要注意前面的符号， 为了书写结果简单， 通常我们愿意利用主 对角线元素的乘积来表示结果，但若化为次对角线乘积更简便的方 法，只要注意结果的符号， 化为次对角线元素的乘积也是完全正确可 行的。3、降阶法:利用行列式的性质

22、将行列式的阶数降低， 然后再计算行列式的值 的方法，称为降阶法。降价法可以将一个 n阶行列式化为 n个 n 1阶行列式计算。若继 续使用按行（列）展开法，可以将 n阶行列式降阶直至化为许多个 2阶 行列式计算， 这是计算行列式的又一基本方法。 即在较高阶行列式的 计算过程中，如果行列式中某一行（或列）中元素较多，或者可以通 过采用行列式的性质使某一行（列）的大多数元素化为零，则可通过 展开定理，将行列式按该行（列）展开，从而使较高阶的行列式计算 问题转化为几个较低阶的行列式计算问题， 反复使用多次， 直到将原行列式化为易于计算出的较低阶的行列式 例 8：计算 n（n 2）阶行列式a00L010

23、a0L00D00aL00LLLLLL100L0a解：按第一行展开，得0a0L0a0L0000aL00aL001nDaLLLLL1 1 nLLLLL000La00L0a100L0再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到解：将 D 按第一行展开，用相似的方法推导下去，则D (a2 b2)D2n 2 (a2 b2)2D2n 4 L (a2 b2)n 1D2(a2 b2)n 1 a b (a2 b2)nba4、换元法：将行列式的元素进行变换， 然后再计算行列式之值的方法称为换 元法。a1 xx a2例 10：计算行列式 Dn 2xx00中每个元素加上 x 所 an xf(x)=( x1-x

24、)( x2-x) ( xn -x)a b.证明：作行列式 D(x)D(x)=x1 x a x a x L a x b x x2 x a x L a x b x b x x3 x L a x L L L L L b x b x b x L xn x可见 D( -a ) =f(a),D(-b)=f(b), 又根据行列式的性质可知是 x的 一 次 多 项 式 ， 所 以 可 令 D(x)=cx+d 又 因 为 D(0)=d=D, 所 以D(-a)=-ca+D=f(a); D(-b)=-cb+D=f(b), 所以D(x)= af (b) bf (a) .ab5、递推法：利用行列式的性质，把一个 n 阶

25、行列式表示为具有相同结构的较 低阶行列式(比如， n-1 阶或 n-1 阶与 n-2 阶等)的线性关系式，这 种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式比如二阶或一阶行列式) 的值，便可递推求得所给 n 阶行列式的值。推法。例 12: 计算行列式 Dn由此递推得n 1 n 2 a1x a2x . an 1x an.注：按此方法解题时 ,往往会得到一个一般的递推公式 :Dn pDn 1 qDn 2 ,此时可先计算出 D1、D2、D3 等,找出递推规律 ,再用数学归纳法进行证明 ,进而计算出行列式的值。000100例 13：计算行列式 Dn01000001解：按第一行展开得： Dn

26、 ()Dn 1 Dn 2Dn Dn 1 (Dn 1 aDn 2)(1)按递推关系 Dn Dn 1n 2 (D2D1)D1 D2 22(2)由 (1) 式又可推导出：Dn Dn 1 (Dn 1 Dn 2 ) ，按逆推关系得Dn Dn 1 n (3)n 1 n 1由(2)(3) 解得 Dn6、数学归纳法： 利用数学归纳法的步骤，处理行列式的方法，称为数学归纳法。 利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值， 再用数学归纳法给出 猜想值的严格证明， 通常采用第二形数学归纳法较多。 一般用于证明 行列式的正确性。例 14：2cos10L0012cos1L00012cosL00sin(n 1)Dn(sin0)MMMMMsin000L 2cos1000L12cos证明：当 n1,2时，