五年级奥数学习讲义 第13讲 长方体和正方体(一)练习及答案.docx

1、第 13 讲 长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1. 必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2. 依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3. 求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。二、精讲精练【例题 1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）练习 1：1.一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如下左图），剩下部分的表面积和体积各是多少？112.有一个长 8

2、 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如上右图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题 2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）练习 2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。 第 1 题第 2 题第 3 题2. 有一个棱长是 4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 3. 如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【例题 3】 一个正方体和一个长方

3、体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了 50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？练习 3：1. 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了 46 平方厘米，而长是原来长方体的 2倍。如果拼成的长方体的长是 24 厘米，那么它的体积是多少立方厘米？2. 一根长 80 厘米，宽和高都是 12 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？【例题 4】 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是 288 立方厘米，求大长方体的表面积。练习 4：1

4、. 一块小正方体的表面积是 6 平方厘米，那么，由1000 个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2. 一个长方体的体积是 385 立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。【例题 5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？练习 5：1. 有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2. 一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是 192 立方厘米，求它的表面积。三、课后作业1. 把一根长 2 米的长方

5、体木料锯成 1 米长的两段，表面积增加了 2 平方分米，求这根木料原来的体积。2. 把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？3. 有 24 个正方体，每个正方体的体积都是 1 立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？ 4. 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体长、宽、高分别是 16 分米、4 分米、25 分米，求正方体体积。第 13 讲 长方体和正方体（一）（答案）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1. 必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来

6、；2. 依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3. 求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。二、精讲精练【例题 1】 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是 1042=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10（62）2=80（立方厘米），整个零件的体积是802=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面

7、积相等。因此，此零件的表面积就是（10610422）2=232（平方厘米）。想一想： 你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习 1：1.一个长 5 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2. 把一根长 2 米的长方体木料锯成1 米长的两段，表面积增加了 2 平方分米，求这根木料原来的体积。3. 有一个长 8 厘米，宽 1 厘米，高 3 厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图）， 求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【答案】1.表面积=（51+53+31）2-113+113=46（平方厘米） 体积=513-111=14（立

8、方厘米）2.底面积 22=1（平方分米）2 米=20 分米，则这个长方体木料体积为120=20（立方分米）3.表面积=（81+83+13）2-114=66（平方厘米） 体积=813-1112=22（立方厘米）【例题 2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了222=8（立方厘米），这个零件的体积是 2408=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（858665）2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2

9、2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5 个（22） 平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236224=252（平方厘米）。练习 2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。（单位：厘米）。2. 有一个棱长是4 厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1 厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？3. 如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【答案】1.长方体表面积=（64+62+42）2=88（平方厘米） 零件表面积=88+224=104（平方厘米）零件体积=642+222=56（立方厘米）2.表面积=446=96（平方厘米

10、）体积=444-111=63（立方厘米）3.表面积=446+115-111=100（平方厘米）体积=444=64（立方厘米）【例题 3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了 50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4 块正方形的面积，每块正方形的面积是504=12.5（平方厘米）。正方体有6 个这样的面，所以，原来正方体的表面积是 12.56=75（平方厘米）。练习 3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方

11、体的表面积的和减少了46 平方厘米，而长是原来长方体的2 倍。如果拼成的长方体的长是24 厘米，那么它的体积是多少立方厘米？2. 一根长 80 厘米，宽和高都是12 厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？3. 把 4 块棱长都是 2 分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？【答案】1.46224=552（立方厘米）2.12124=576（平方厘米）3.228=32（平方分米）【例题 4】 把 11 块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288 立方厘米，求大长方体的表面积。【思路导航】要求大长方体的表面积，必须

12、知道它的长、宽和高。我们用 a、b、h 分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b 即 b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288 可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是122=24 厘米，宽 12 厘米，高是 83=11 厘米，表面积就不难求了。练习 4：1.一块小正方体的表面积是6 平方厘米，那么，由 1000 个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2. 一个长方体的体积是385 立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。3. 有 24 个正方体，每个正方体

13、的体积都是1 立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？ 用图画出来。 【答案】1.661006=600（平方厘米）2.385=5711 表面积=（57+511+711）2=334（平方厘米）3.1124、1212、243、226、138、146【例题 5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209 平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长（宽高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=1119=11（172），即长、宽、高分别为11、17、2 厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。练习 5：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88 平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2. 一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是960 立方厘米，求它的表面积。3. 一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6 分米、4 分米、2 分米， 求正方体体积。【答案】1.1153=165（立方厘米）2.2（1210+128+108）=592（平方厘米）3.长方体棱长=4（6+4+2）=48（分米）正方体棱长=4812=4（分米）正方体体积=444=64（立方分米）