算法与数据结构程序设计报告B08030111.docx

1、算法与数据结构程序设计报告B08030111回溯法应用一、 课题内容和要求在人机对弈、决策问题、人工智能、组合数学等等一系列非数值问题的算法设计中，回溯法是经常采用的一种重要而有效的方法。回溯法是一种选优搜索法。按选择最优解的条件向前搜索，以达到目的。但每当搜索到某一步时，发现其达不到预期的效果，就退回一步重新选择。这种行不通就退回的技术称为回溯法。回溯法的逻辑思路可表示为一棵数，根节点是初始状态，没搜索到一个节点都有若干个可供选择的后续节点，没有任何能够达到目标的暗示，只有走着瞧，不行了就回溯到上一层节点，回复刚刚使用的参数，再走另一条路径，所以回溯法的本质是穷举与试探，找到从根节点到叶子节

2、点的所有正确结果。八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。二、需求分析运用面向对象思想，将八皇后问题的解决放在一个类中来解决。“构造函数模块”用来实现数据的初始化。 “主程序模块”，负责调用其他函数依次在一到八行放置皇后，并按一定规律调整皇后位置，求出八皇后问题的所有解，并输出到文件。“皇后放置模块”，在解决问题过程中，需要将“皇后”依次放置到第一、二、八行。该模块负责尝试在某一行放置一个“皇后”，放置成功返回

3、一个“成功”值，说明当前皇后放置在某一个位置上可能存在“解”。否则失败的话，返回“失败”值，说明当前行无论怎样放置皇后，都得不到解，只有调整上面行的皇后的位置。 “输出模块”，负责将某一种皇后放置的方法写到文件中以供查看。三、概要设计 主类成员变量及函数原型声明：class Queenprivate: int location9; /locationi（i大于，小于等于）表示在（i，location(i)）的位置放置了一个“皇后”bool LR16; /LRi（i大于，小于等于）从左上角往右下角数第i条斜线上是否有皇后，true为真 int lr_orgin16; /lr_origin用以记录

4、左上角往右下角数第i条斜线被哪一行的皇后占用，未被占用为0 bool RL16; /RLi（i大于，小于等于）从右上角往左下角数第i条斜线上是否有皇后，true为真 int rl_orgin16; /rl_origin用以记录从右上角往左下角数第i条斜线被哪一行的皇后占用，未被占用为0 bool line9; /linei（i大于，小于等于8）表示在第i列上是否有皇后，true为真 int line_orgin9; /linei（i大于，小于等于8）表示在第i列上被哪一行的皇后占用，未被占用为0 int num; /用以统计解的个数public: Queen(); /构造函数实现数据的初始化b

5、ool mytry(int i); /测试第i行皇后的位置，成功返回true，失败返回false；int SolveProblem(); /八皇后问题的解决void Result(); /输出结果，*8的样式显示，在皇后安放处显示一个Q;成员变量设计：数组location9用来记录一至八行各个皇后所在列的序号（location0不使用）。LR16负责记录从左上角往右下角数，一至十六条斜线是否被占用（即实现皇后间的相互影响）。由于回溯时需要消除已经放置的部分皇后产生的影响（即改变LR16数组的值），所以必须记录某一个值的改变是有哪一行的皇后引起的，否则无法知道哪些影响是该消除的，所以需要设计一个

6、数组lr_origin16，他的元素与LR16一一对应，每当某一条斜线被占用时，先将LR的某一元素的值改变，同时再在lr_origin中相应元素中记录下此改变是由某一行引起的。数组RL16、rl_origin16道理相同，只不过是记录从右上角至左下角第i条斜线的使用情况。此外，某一列是否被占用，被哪一行的皇后占用，也需要记录下来，所以设计bool数组line9，和int型l数组ine_origin9。有了这些，就可以记录某一皇后放置的位置，及产生的影响，同时也可以在需要的时候将相应的影响消除，便于重新放置皇后。成员函数设计：类的构造函数，实现数据的初始化。一个函数负责调用其他函数解决八皇后问题

7、。由于八皇后问题需要不断尝试在某一行放置一个皇后，所以将这一动作也封装到一个函数中，用一个函数实现，第几行放置皇后就将几作为参数传进去。找到一种解法后需要输出结果，将结果的输出放置到一个函数中实现。四、详细设计 1、类的设计具体解释见“概要设计”，不再重复类Queen（）的声明：class Queenprivate: int location9; /locationi（i大于，小于等于）表示在（i，location(i)）的位置放置了一个“皇后” bool LR16; /LRi（i大于，小于等于）从左上角往右下角数第i条斜线上是否有皇后，true为真 int lr_orgin16; bool

8、RL16; /RLi（i大于，小于等于）从右上角往左下角数第i条斜线上是否有皇后，true为真 int rl_orgin16; bool line9; /linei（i大于，小于等于）表示在第i列上是否有皇后，true为真 int line_orgin9; int num; /统计解法的数量public: Queen(); bool mytry(int i); int SolveProblem(); void Result();2、类Queen的构造函数主要负责将数据初始化，主要是几个数组，将其中的元素全部清零，用于统计方法数的num也置为零：Queen:Queen() /构造函数实现数据的初

9、始化 num=0; int k; for (k=0;k=8;k+) locationk=0; linek=false; line_orgink=0; for (k=0;k0) if (mytry(flag)=true) /如果在第flag行可以找到合适的位置放置“皇后” if(flag=8) num+; /当前是第行皇后找到合适的位置，解法数加一，输出结果 Result(); flag-; /标志位后移一位，即下次继续调整上一行皇后的位置 else flag+; /不是最后一行，则flag加一，继续找下一行的皇后的位置 else flag-; /找不到就把flag减一，即下次调整上一行皇后的位

10、置 return num;4、在第i行放置一个皇后函数。上一步可能是在i-1行成功放置了一个皇后，也有可能是在i+1行放置皇后失败，“回溯”到第i行。所以，如果i+1行放置过皇后,需要将i+1行皇后产生的影响全部消除，然后再尝试在第i放置皇后。如果当前行皇后的位置已经在第八列，则直接返回“失败”。否则，继续尝试。将locationi的值不断加1(当然控制在小于等于八)，检查该新的皇后的位置，该列是否被占用，所在的斜线上是否已经放置过皇后。如果有冲突，则继续检查下一列，如果无冲突，则将皇后位置固定，将该列、所在两条斜线置为“被占用”状态，记录下被第i行占用，返回“成功”：bool Queen:m

11、ytry(int i) /测试第i行皇后的位置，成功返回true，失败返回false； int k; if(i+1)=8) locationi+1=0; for(k=0;k=8;k+) if(line_orgink=i|line_orgink=i+1) /i行及以后i+1行皇后放置产生的影响全部消除 line_orgink=0; linek=false; for(k=0;k=15;k+) if(rl_orgink=i|rl_orgink=i+1) /i行及以后i+1行皇后放置在RL斜线上产生的影响全部消除 rl_orgink=0; RLk=false; for(k=0;k=15;k+) if(

12、lr_orgink=i|lr_orgink=i+1) /i行及以后i+1行皇后放置在LR斜线上产生的影响全部消除 lr_orgink=0; LRk=false; if (locationi=8) /如果当前行皇后的位置在最后一列，则放弃往后尝试，直接返回失败 return false; for(+locationi;locationi=8;locationi+) if (linelocationi=0)&(LRi+locationi-1=false)&(RLi-locationi+8=false) /在i行，locationi列可以放置皇后 linelocationi=1; /location

13、i列标记为已占用 line_orginlocationi=i; /locationi列被i行的皇后占用 LRi+locationi-1=true; /从左上往右下角第i+locationi-1条斜线被标记为占用 lr_orgini+locationi-1=i; /从左上往右下角第i+locationi-1条斜线被标记被第i行占用 RLi-locationi+8=true; /从右上往左下角第i-locationi+8条斜线被标记为占用 rl_orgini-locationi+8=i; /从右上往左下角第i-locationi+8条斜线被标记被第i行占用 return true; return

14、false;5、结果输出函数，结果保存在location数组中，为了便于查看，将结果写入到文件“result.txt”中，当然，可以进行适当的格式控制，在8*8的格子中，若未放置皇后显示“_”，反之，显示“Q”：void Queen:Result() /输出结果，8*8的样式显示，在皇后安放处显示一个Q int j,k; ofstream fout(result.txt, ios:app); fout解法num:endl; for (j=1;j=8;j+) for(k=1;klocationj;k+) fout_ ; foutQ ; for(k=locationj+1;k=8;k+) fout

15、_ ; foutendl; foutendlendl;6、main函数，先生成Queen对象，调用其中的SolveProblem方法，最后显示总的解法数目，结束程序：int main() Queen q; cout共有q.SolveProblem()种解法结果保存在“result.txt”中n; return 0;五、测试数据及其结果分析程序运行结果如下：控制台显示解法总数，提示结果保存在“result.txt”中：result.txt保存在当前文件夹下：result.txt中显示皇后的放置方法：六、调试过程中的问题为了解决八皇后问题，第一反应是利用八重循环，一次在八行，八列上放置皇后，从中选

16、择正确解，但是如果对全部位置检查，需要检查88次，耗时太长。接着就考虑使用回溯法，提高效率。回溯法有两个关键问题要考虑：一是如何实现皇后之间的互相影响，即某一列放置皇后后，其他皇后可以“知道”避开这一列；二是回溯以后，调整上一行皇后的位置，那么下一行“皇后”的位置必须“清零”，即从第一列开始重新变化，且消除原来放置时产生的影响。常用方法是利用一个8*8的二维数组，共64个元素，初始值为0，然后放置皇后，每放置一个皇后以后，就将相应的行、列、斜线全部置为1，这样下次放置时，只要看相应位置上的值是否为1，若为1，则表示有冲突，考虑下一个位置。回溯是，将相应的行、列、斜线上的1改为0即可。这样做，比

17、较简单，但是由于回溯的次数很多，如果采用此算法，每次需要修改很多值得大小，效率不高。为了使程序更加简单、快捷。可以考虑利用数个一维数组解决问题。一个一维数组L9表示八列，初始值为false，某一列被占用后，就将相应列的值改为true。同样的道理，再建立两个一维数组，LR16表示从左上角往右下角数的斜线，RL16从右上角往左下角数的斜线，初始值同样置为false，当有皇后放置在该斜线上时，将相应的值改为ture。如果要在第i行，第j列放置一个皇后，只需保证Lj、LRi+j-1、RLi-j+8的值都为false，如果不能保证，则表示有冲突，寻找下一个位置。按照这个思路，我们编写程序，运行起来的不到

18、结果。单步调试发现，问题发生在回溯时的影响消除上。对于影响的消除，我们一开始的设想是这样的：从第i+1行回溯到第i行时，在调整皇后位置之前，先检查locationi+1，将Llocationi+1的值修改成false。但是只有这样是不够的，程序跑不出结果。斜线上的影响也必须消除掉，但是斜线上的几个值都被修改了，无法判断哪个值是第i+1行的皇后放置时修改的。为了解决这一问题，设计一个辅助数组lr_origin16，rl_origin16，用以记录某一条斜线的值被哪一行的皇后修改。初始时值都置为0，当数组LR、RL的元素的值被第i行修改时，将lr_origin、rl_origin的值置为i。回溯到

19、i行时，遍历lr_origin、rl_origin两个数组，如果某一个值等于i+1，就将相应的LR、RL数组元素的值变为false，同时lr_origin、rl_origin的这两个元素值也清零。代码修改如下：for(k=0;k=15;k+) if(rl_orgink=i|rl_orgink=i+1) rl_orgink=0; RLk=false; for(k=0;k0) if (mytry(flag)=true) if(flag=8) num+; Result(); flag-; else flag+; else flag-; 八皇后改进： 八皇后问题做出来以后，将其改进成N皇后问题。N皇后

20、问题与八皇后问题算法思想上类似，区别在于数组规模上，八皇后问题中数组大小是固定的，而在N皇后问题中是不定的，所以需要使用指针，在程序开始时动态的申请内存空间。回溯、判断、修改值时也许要根据N的大小稍作变换。由于N皇后问题结果可能很多（N稍大一点），所以没有将结果写到文件中，而是直接将location数组输出在屏幕上。修改后的几段核心代码如下（全部代码另外提交）：初始时输入N并动态申请内存：cout输入皇后数N：n; location=new intn+1; line=new booln+1; line_orgin=new intn+1; LR=new bool2*n; lr_orgin=new

21、 int2*n; RL=new bool2*n; rl_orgin=new int2*n;算法主循环（在8皇后基础上只需将8变成n）： while (flag0) if (mytry(flag)=true) if(flag=n) num+; Result(); flag-; else flag+; else flag-; N皇后程序运行效果截图：初始时输入皇后数：输入13后运行结果如下：必须知道的是，单靠回溯法，N皇后问题在N大于15以后，结果就很难出来（需要等很久）。因为潜在的方法数是NN，每当N加1，需要测试的可能性会像几何级数一样迅速增加。除了上面已经实现的n皇后的改进外，还有几点可以改

22、进：1、如果flag+以后，那么是不需要消除影响的，消除影响只是在flag以后，即回溯时需要。2、所需一维数组数量可以进一步减少，LR与lr_origin，RL与rl_origin都只需要保留后者即可，后者为0即表示未被占用，否则表示被占用。七、程序设计总结这次程序设计，做回溯法，一开始没有什么思路，所以事先去网上找了相关的算法思想介绍。详细了解算法思想后，开始独立编写程序。将一段文字描述转化成程序，中间还是有一些困难的。主要问题出在许多细节问题没有搞清楚，就开始编程，结果导致编出来的代码运行不出结果。后来开始单步调试，一步步跟踪，边调试边检查，最后终于发现了程序设计的大漏洞，加以弥补之后，运行，稍加修改，程序终于成功了。由于最后程序编写好之后还剩余一段时间，就利用这段时间，在原有八皇后基础上，改写出了可以解决N皇后问题的程序。但是由于N皇后问题自身的复杂性，以及程序本身算法限制。导致当N大于15以后，结果就很难跑出来，这点以后有待提高。收获：1、对回溯算法有了更加深入的了解。学会了用回溯法解决实际问题。2、学会分析算法的复杂度，并改进程序，提高效率。3、进一步掌握程序单步调试、分析、修改的方法。