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1、校本教材多彩数学漫步八年级上 八年级上人类最伟大的十个科学发现之一：勾股定理 勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?公元前497?）（右图）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著几何原本（第卷，命题47）中给出一个很好的

2、证明。（左图为欧几里得和他的证明图） 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？ 商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100

3、年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时

4、期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即：c=（a2+b2）(1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不

5、可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽（右图）用了“出入相补法”即剪貼证明法，他把勾股為边的正方形上的某些区域剪下來(出)，移到以弦為边的正方形的空白区域內(入)，結果刚好填滿，完全用图解法就解決了問題。（左图为刘徽的勾股证明图）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。勾股定理的趣事（一）在我国古代,把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫

6、做弦。把反应直角三角形三边关系的定理称为勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.从边的角度进一步刻画了直角三角形的特殊性，通过对勾股定理的学习,学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。勾股定理是反应自然界基本规律的一条重要结论,它有着悠久的历史。公元前一世纪成书的周髀算经里,记载着周公和商高的问答,就体现了勾股之意。勾股定理在数学发展史上起过重要的作用，著名的费马大定理就是在勾股数组的启发下提出来的。勾股定理在现实世界中也有广泛的应用,对古代的测量.天文计算等产生了很大影响。勾股定理的发现，验证和应用蕴含着丰富的文化价值。勾股定理在现实世界中还有一个非常有趣的应用呢

7、.因为当今世界上许多科学家都在试探寻找其他星球上的人，为此向宇宙发出了许多信号。如：地球上人类的语言，音乐等.也有人提出在西伯利亚种上成排的树林，形成一个直角三角形.或在撒哈拉沙漠挖一个直角大运河，然后在里面倒上石油，晚上点起火来，外星人可能从望远镜上看到（如果他们有的话）就知道地球上有人，可能还会乘飞行器来看我们呢！我国著名的数学家华罗庚也曾有过类似的建议，想向宇宙发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言的.因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都会说：“我们首先认识的数学定理是勾股定理”。勾股定理的趣事（二）同学们在这个单元的学习中一定见过下图吧。这便是勾股

8、定理的几何图。它可是几何学中一个比较重要的定理啊，应用特别广泛，你们知道吗,迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的，还是让我们慢慢品味吧。那是在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神的谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。好奇心驱使伽菲尔德寻声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只是一个小男

9、孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么。只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？” 伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两个直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？” 伽菲尔德不假思索的回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞，无法解答了，心里很不是滋味。于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的方法。同学们，你们有办法来

10、证明吗？西方的勾股定理之父毕达哥拉斯在古希腊早期的数学家中，毕达哥拉斯的影响是最大的。他那传奇般的一生给后代留下了众多神奇的传说。 毕达哥拉斯生于萨摩斯（今希腊东部小岛），卒于他林敦（今意大利南部塔兰托）。他既是哲学家、数学家，又是天文学家。他在年轻时，根据当时富家子弟的惯例， 曾到巴比伦和埃及去游学，因而直接受到东方文明的熏陶。回国后，毕达哥拉斯创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派。这个学派的活动都是秘密的，笼罩着一种不可思议的神秘气氛。据说，每个新入学的学生都得宣誓严守秘密，并终身只加入这一学派。该学派还有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而

11、且秘而不宣，以致后人不知是何人在何时所发明的。 毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的另一贡献，他的一个学生希帕索斯通过勾股定理发现了无理数，虽然这一发现打破了毕达哥拉斯宇宙万物皆为整数与整数之比的信条，并导致希帕索斯悲惨地死去，但该定理对数学的发展起到了巨大的促进作用。此外，毕达哥拉斯在音乐、天文、哲学方面也做出了一定贡献，首创地圆说，认为日、月、五星都是球体，浮悬在太空之中。 毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，

12、但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是 拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇 于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设： 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。美丽的勾股树亲爱的同学们，你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物，那么你是否见过如图所示的勾股树呢？ 请你看看下面这幅图，它好像是

13、一棵柏树呢！如果在树上挂一串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，就会成为一棵圣诞树。你会这样用简易计算器吗数学老师布置了一个题：设x、y、z是三个连续证书的平方xyz，已知x31329，z32041,求y。小明只有一个简易的计算器，你能帮他相处计算器的方法来吗？因为简易计算器中没有“根号键”，所以不能用靠平方的方法来求，但是我们知道，平方和开平方是互为逆运算，可以用平方的方法来求，因为10010000，所以可以确定y是一个三位数，因为20040000，所以y是介于100到200之间，又17028900，18032400，所以y应是大于170而小于180的三位数。下面就可以用

14、探索的方法从171开始去试，直到找到为止。用这种方法小明求得了y为178。检验怎么样？简易计算器也可以这样来用，请你也试试。老木工的算理一天，阿宁注意到以为老木工在用卷尺量一个木桶的底，量得周长为5尺，紧接着老木工就一口报出地面半径约等于8寸。这件事使阿宁和吃惊。阿宁先用公式c=2r检验老木工的计算结果：r=7.9577寸8寸。你可以想像出阿宁的计算有多么吃力，而老木工的快速计算又是多么方便。原来，老木工的计算方法是这样：五尺变五寸尺变寸，五六得三寸加六成即5寸0.6寸3寸，共八寸。如果圆周长为3尺，阿宁采用老木工的算法是：三尺变三寸尺变寸，三六一寸八加六成，共得3+1.8=4.8寸。检验：r

15、=4.7746寸。你能解说这种算法的算理吗？学过“列代数式”的阿宁对“尺变寸，加六成”的算法作了如下解释：设圆周长为c，半径为r，用代数式来表示这种算法是r0.6或cr6.25r3.1252r。可见，老木工是认定3.125的，尽管有误差，但计算简便，很实用。你相信吗？楼房可以平移平移在我们的生活中有着广泛的应用，游乐园里的有了器械的平移给我们带来惊险、刺激与欢乐；交通工具的快速平移，给我们带来便利你知道吗？我们居住的房屋，甚至高楼大厦也能平移。2002年7月10日至13日，在这4天时间里，如皋市高明乡的肖来华一家的楼房已在机械的牵引下悄然平移了20多米、旋转了110度，比拆迁后重新建房节省了2

16、0多万。2003年6月，上号音乐厅整体平移了66.4米，“长高”了1.7米。2004年5月，广西梧州市人财务中心高10层的综合楼，在10天内成功向北移动了30多米。2004年10月30日，梧州市又一栋大楼福港楼也实施平移，在12天内完成了在原址基础上向西北平移35.62米并旋转了2.8度的旅程。2004年11月10日，宁夏吴忠市宾馆平移工程通过有关部门验收。由于宁夏吴忠市城市建设整体规划的需要，位于吴忠市裕民西街高约58米、重约2万吨的吴忠宾馆从10月1日开始整体向西平移。据介绍，技术人员采用了7项关键技术，对大楼进行了加固，然后从底部把大楼和原基础割开，并把42根支柱浇注连接起来，对大楼实施

17、基础拖换。在液压顶推系统的作用下，大楼沿着5条钢筋混凝土滑道安全顺利地移动了82.5米。船只定位人们有时用两个角度在海上航行的船只的位置。如图5110，对于在大海中航行的船只A，海岸线上的B,C两个观测点只要同时观测到船只相对于每个观测点的方位角，即可准确确定这艘船只的位置。根据B、C两个观测点所测得的方位叫即可确定船只的方位，这是因为，对于固定的点B、C，船只A即在射线BA上，又在射线CA上，两条射线的焦点就是这艘船的为止。 B AC只是一中确定位置的方法，其依据是“已知三角形的两个内角及其夹边，则这个三角形是确定的”。哲理的定位仍需两个数据。初次之外，还可用“极坐标”方位来定位，即用方位角

18、和距离来定位。也可用“直角坐标”方法来定位。确定点的位置的另一种方法极坐标法平面上建立直角坐标系的目的就是用一对有序实数对来表示点的位置。实际上，“坐标”就是作为标记的意思。平面上除了通过建立直角坐标系标记点的位置外，还可以建立其他方式的坐标系来标记点的位置，比较常见的就是极坐标系。如果知道了一点P相对于一个定点O的距离与方向，那么这个点的位置就可以确定了。这就是前面我们已经掌握了的用“角度”和“距离”表示平面上点的位置的方法。对此，我们只要做一些适当的约定就能得到极坐标的表示方法了。图5211规定：在平面内取一个定点O，叫做极点，再作一条射线Ox，叫做极轴，然后选定一个长度单位和角度的正方向

19、一般取逆时针方向。对于平面内任意一点P，用小写希腊字母、分别表示线段OP的长度Ox到OP的角度。把叫做点P的极径，叫做点P的极角一般地，极角用“弧度制”，它与“度”的换算关系是：1=，有序数对，就叫做点P的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系如图5211所示。极坐标为，的点P，可以表示为P，。建立极坐标系后，只要给定，的值，就可以唯一确定这个点；反过来，一个已知点在极坐标系中，有唯一的极坐标与其对应。因此，平面上的点与极坐标也是一一对应的。如果在直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为2，0、0，4。那么，在极坐标系中它们的坐标该如何表示呢？试一试！用数学书写的人生格言1. 天才的等式：爱迪生说：

20、“天才=99的汗水+1的灵感。”2. 成功的等式：爱因斯坦写了一个公式：A=xyz，其中A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法,z代表少说空话。3. 华罗庚的减号：在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有哪些问题没有解决，需要我们去探索解决。4. 季米特洛夫的正负号：要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步；倘若是，就得吸取教训，采取措施。5. 郭沫若的“成正比例”：形成天才的决定因素应该是勤奋。有几分勤奋苦练，天资能发挥几分；天资的充分发挥和个人的勤学苦练是成正比例的。6. 雷巴柯夫的“常数和变数”：时间是一个常数，但对勤奋者来说，却是

21、个变数。如用分来计算时间的人，比用小时来计算时间的人，时间多了59倍。数学建模的方法把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出该模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。数学建模的过程如下：1模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题。2模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。3模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各种变量之间的数学关系，建立相应的数学结构尽量用简单的数学工具。4模型求解：利用获取的数

22、据资料，对模型的所有参数作出计算估计。5模型分析：对所得的结果进行分析。6模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释；如果模型与实际吻合较差，则应修改假设，再次重复建模过程。7模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。中国古代对数学的贡献（一）中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国。在绵延不断的五千年文明史中，中华民族积累了极其丰富的文化遗产。在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠。中国古代数学成就辉煌，既有系统的理论又有

23、丰硕的成果，知道16世纪许多数学分支在国际上都处于领先地位，是名副其实的数学强国。其中九章算术是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书与东汉初年公元1世纪。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方天、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，方程一章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就九章算术的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，岁

24、中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。中国古代在几何学领域的贡献（二） 中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国在绵延不断的五千年文明史中，中华民族集累了极其丰富的文化遗产在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠它在世界数学史上，乃至在整个人类文明发展史上都光彩夺目，具有极其重要的地位和价值中国古代的数学成就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲几何是一门古老的学科，它是在人

25、们的生产和生活等实践活动中逐步形成和发展起来的“几何”是一个翻译名词，由我国明代科学家徐光启首先使用但是我国古代劳动人民在长期的生产劳动和社会生活中早已积累了大量的几何知识，其成就是十分突出的，如流传至今的墨经、周髀算经、九章算术等自然科学和数学著作，都记载下了很多几何方面的知识(1)墨经(公元前480年公元前390年)中，已经出现了最早的几何学理论的雏形把“圆”定义为“圆，一中同长也”意思是：圆有而且仅有一个中心，从圆心到圆周上任何一点距离相等这与欧氏的提法基本一致，但比欧氏要早100多年(2)周髀算经(公元前100年前后)中，记载了勾股定理和开平方法，并用于天文观测和计算(3)九章算术(公

26、元50年100年或更早)，历代数学家把它尊为“算经之首”它的计算技术在当时的世界是第一流的，对古代的几何学知识也作了比较系统的总结和阐发，它的成就主要表现在对各种平面图形的面积计算，对各种立体图形的体积计算，以及对勾股形的形容和应用这几个方面中国古代对物理学的贡献（三）【中国古代传授物理知识的途径 】 中国在夏代建立学校的基础上，经商、周、秦、汉、隋的发展，至唐代就形成了从中央到地方的一整套的学校体制，并对各级各类学校的教师名额、学生人数、招生对象、教学内容等等，都作了详细的规定。但由于中国封建社会的政治制度、教育制度和经济基础的制约，所以直至18世纪60年代近代学校创设之前，物理知识的传授，

27、主要都是通过下列途径进行的。 一、手工业科技教育 在手工业的生产技术中，广泛地存在着物理知识的应用。因此，家族或师傅在把他们所掌握的专门知识与技能，传授给子孙或徒弟的过程中，同时也就把其中包含的应用物理知识的经验进行了传授。但由于中国手工业科技教育的主要形式，是家业世传和学徒制，而这两种形式的教育，其共同点，都是没有教材的言传身教，即一边教、一边学、一边干。所以，虽有在实践中教学容易掌握的优点，也有既不易流传推广，更难于把经验上升到理论的缺点。 二、著书立说 在古代，也有一些哲学或科技著作中，包含了一些物理知识，例如墨经、考工记等等，因而随着这种著作或学说的流传，同时也传授了有关的物理知识。这

28、种传授的途径和方法，其优点是传授不受时间和地点的限制，但其缺点是既没有一定的要求，也很难于掌握。 三、聚徒讲学 在古代，学有专长的士子，自春秋兴起私学以来，就有以各自不同的哲学、政治、经济、社会观点和不同的知识领域，对招收的弟子进行教授的。在这种聚徒讲学的教学内容中，有时也有属于物理知识的内容。例如：春秋时期的墨家学派，在进行教学过程中，就含有物理知识的传授，又如明末清初的颜元，在他创办的漳南书院中，也曾设有水学、火学等科目，里面也含有属于流体力学和热学范畴的物理知识的传授。但这种私学，时聚时散，时办时停，所以只是断断续续地传授了一些其中与物理学有关的内容。 诚然，传授物理知识的上述途径，是在

29、当时的社会历史条件下的产物，属于物理教育发展史上的孕育过程。 【中国古代的科学创造】我们的祖先数千年来，一直主要从事于农业劳动。今天在祖国的领土上，有着广大的肥田沃地，供给我们以衣食，并不是偶然的，而是中国人民数千年来和自然不断搏斗的结果。这场长期的搏斗，包括着收集野飞禽饲养成家畜、收集山野植物栽培成谷物、不断和洪水搏斗等光荣的历史。在这种与自然搏斗的历史中，有许多伟大的优秀的科学家、工程师和发明家，他们光荣地进行创造，为人民累积了许多科学经验，丰富了人民的生活。在很早的时候，中国人民便已开始种稻，并逐步地改进培植稻谷的科学方法，至今已有了优秀的选种方法和非常科学的农事经验。中国的蚕丝是中国人

30、民利用自然、改造自然的最伟大的发明之一。中国人民从很早的时候起，便培养了野生的豆类食物，成为我们人民的最有营养价值的食物。我国的蔬菜种类之多，也为全世界之冠。到今天为止，欧美各国的主要食物只有肉类、鱼类、麦类和少数的蔬菜。可是我们的食物种类繁多，为我们的生活增添了无限的内容。在这些农事的发明里，民间传说着许多伟大的名字，如神农、伏羲、嫘祖等神话似的发明家。这些发明家的出现，早在四五千年以前，虽然他们很多只是留下了象征性的名字，也许他们是代表一个氏族，并无足够的正确史料供查考，但是，人民不断怀念着这些光辉的发明和与人民生活密切联系的创造，并不因为历史的模糊不清，而减少了对他们的尊敬和热爱。为了保

31、证农业生产的收获，水利工程是我们祖先科学劳动的中心问题。我们的祖先要和洪水搏斗，主要的是和黄河搏斗；并且要大量地建设灌溉工程。为了在广大的地区进行航运，我们的祖先也大规模地建设了运河和漕运的网络。在这些伟大的工程和建设里，更涌现出无数优秀的工程师，累积了丰富的科学经验。在传说中人民所最拥戴的水利工程师是禹。当时黄河要华北各区还没有像今日这样的水道，由昆仑东流的水源，汇成巨大的水量，形成洪水滔滔，天下沉积的洪水泛滥的局面，高地和山陵被水分划成一块块的洲陆和岛屿。在这种自然力支配下，我们的祖先以当时较低的生产力。来进行克服水患的治水工作，实在不是容易的事情。传说禹接受了前人鲧治水失败的教训，顺着水性，因势疏导，领导着人民一连工作9年（约在公元前22862278年），逐渐约束了水流，在中国历史上第一次确定了黄河出海的河道。禹的治水工作遍及全国，他那忘我的工作热忱，9年中三过家门而不入，表