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1、 完整完整 word 版高中数学集合总结版高中数学集合总结+题型分类题型分类+完美解析完美解析 集合 【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.4.集合子集个数=；真子集个数=.5.交集：并集：补集：6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点：要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（）方程的解集为 集合与的公共元素所组成的集合是

2、 集合与集合没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是的值所构成的集合，而是和的值的集合，也就是一个点.答案：A 详解：在 中方程等价于，即。因此解集应为，错误；在 中，由于集合的元素是，所以当时，.同理，中，错误；在 中，集合即，而，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选 A.2.下列命题中，（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素；（2）如果集合是集合的子集，则集合的元素少于集合的元素；（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素；（4）如果集合是集合的子集，则集合和不可能相等 错误的命题的

3、个数是（）A0 B1 C2 D3 分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合是集合的子集，那么中的元素个数要小于或等于中元素的个数；如果集合是集合的真子集，那么中的元素个数要小于中元素的个数.答案：详解：（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合是集合的子集，则集合的元素少于或等于集合的元素，故（2）不 正确；（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素，故（3）正确；（4）如果集合是集合的子集，则集合和可能相等，故（4）不正确故选 3.设、为两个非空实数集，P中含有 0，2，5 三个元素，中含有 1，2，6三个元素，定义集合中的元素是

4、，其中,，则中元素的个数是（）A.9 B.8 C.7 D.6 分析：因为，所以中的元素是中的元素和中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B 详解：当时，依次取 1,2,6，得的值分别为 1,2,6；当时，依次取 1,2,6，得的值分别 3,4,8；当时，依次取 1,2,6，得的值分别 6,7,11；由集合的互异性得中的元素为 1,2,3,4,6,7,8,11，共 8个，故选 B.4.设数集同时满足条件 中不含元素，若，则.则下列结论正确的是()A集合中至多有 2个元素；B集合中至多有 3个元素；C集合中有且仅有 4个元素；D集合中有无穷多个元素.分析：已知时，.那么

5、我们可以根据条件多求出几个集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：详解：由题意，若，则，则，则，若，则，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合中有且仅有 4 个元素-【No2.表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A.B.C.D.分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D 详解：，方程无实数解，故选 D.6.用描述法表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)被 5除余 2的所有整数的全体构成的集合 分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围 详解：(1)；(2)；(3)；(4)=

6、题型二、不含参数 中的参数是指方程的非最高次项系数 解决此类型题应注意：区分，的区别；会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；.【No.1 判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系 0；0；其中正确的是（）A.B.C.D.分析：本题需要大家分清，三个符号的意义和区别：-“属于”，用于表示元素和集合的关系；，-“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A 详解：错误，应为；正确；应为；2.若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若 （2）若（3）若 A个 B个 C个 D个 分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D 详解：（1）；（2）；

7、（3）证明：,即，而，；同理，；-【No.2 子集、真子集】3.从集合的子集中选出 4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：，都要选出；对选出的任意两个子集和，必有或.那么共有 种不同的选法.分析：由可以知道选出的子集中一定有和，我们要求得只剩两个集合。根据（以为例）可以从讨论中有 1个或 2 个元素有几种选法来确定的选法.注意中不可能有 3种元素，因为这样中会出现和中的元素，与题意和性质不符.答案：36 详解：由题意知，集合必有子集和，只需考虑另外两个集合 如果中含有一个元素，有 4 种选法，相应的，集合中有 6中选法，共 24种；如果中含有两个元素，有 6 种选法，相应的，集合中有 2中选

8、法，共 12种；即总共有 36种选择。4.已知集合，那么满足的集合有（）A1 个 B2个 C3 个 D4 个 分析：本题求的是集合的子集个数 答案：详解：根据题意，则或，则集合，其中有个元素，则其子集有个，满足的集合有 4个，故选 5.若集合，且则满足条件的集合的个数为（）A3 个 B4个 C7 个 D8 个 分析：集合，说明同时是两个集合的子集.答案：详解：根据题意，集合，且即为的子集，而中有 3个元素，共有个子集；即满足条件的的个数为 8；故选-【No.3 集合间的运算】6设全集,集合，,那么等于_.分析：首先要注意本题要求的是点集，集合的含义是不含有的直线上的点集，表示的就是；表示.答案

9、：详解：，代表直线上，但是 挖掉点，代表直线外，但是包含点；代表直线外，代表直线上，.7.已知，则,则（）A.21 B.8 C.6 D.7 分析：从入手得，既是的元素又是的元素，那么代入便可以求出和的值.答案：A 详解：由已知得，所以是方程和的根，故将代入得，；.所以.8.已知方程有两个不相等的实根，.设，若，试求，的值。分析：对的含义的理解是本题的关键，；详解：由，那么集合 C中必定含有 1，4，7，10 中的 2个。又因为，则 A中的 1，3，5，7，9都不在 C中，从而只能是 因此，.=题型三、集合含参 解决此类型题应注意：遇到子集需从和不是两方面讨论，如.会解各种类型的不等式.如果方程

10、中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为 0进行讨论.【No.1 集合 vs.集合】1.设，若,则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 分析：因为，所以中必含元素，中必不含元素.答案：B 详解：因为，所以，解得.时，满足 所以实数的值为 2 或 代入 成立 同理 代入无解，故舍去.综上 2.已知集合，集合（1）若，求的值；（2）若，且，求的取值范围 分析：（1）中得出和中不等式的解相同，那我们算出集合的解集，再由韦达定理求出即可；（2）由可得 题目中只要看到类似这种子集问题，必然要先讨论 B是否为，因为是任何集合的子集，所以也是一种情况必须要讨论.详解：（1）由得，所以集合 由知，的解

11、集为，所以方程的两根分别为 1和 3 由韦达定理可知，解得，即为所求 （3）由知，当时，有，解得；当时，设函数，其图象的对称轴为，解得 综上可知，实数的取值范围是-【No.2 集合 vs.不等式】3.设集合，B=.若，则实数，必满足（）分析：做这种题首先要先会解绝对值不等式，然后再比较端点即可.答案：D 详解：因为，且则有 或 即或 即，选 D.4.集合，(1)若,求实数的取值范围;(2)当时,求的非空真子集个数;(3)当时,没有元素使与同时成立,求实数的取值范围.分析：此问题解决要注意：(1)中的分类讨论；(2)集合的非空真子集的个数=；(3)当时,没有元素使与同时成立能得出与没有交集，当中

12、还要考虑是否为.详解：(1)当即时,满足.当即时,要使成立,需可得.综上所得实数的取值范围.(2)当时,所以,的非空真子集个数为.(3),且,又没有元素使与同时成立 则若即,得时满足条件;若,则要满足条件有:或解之,得.综上有或.-【No.3 集合 vs.方程】5.已知集合,满足,求所取的一切值.分析：这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从和两个方面进行解题.详解：因,当时,成立.又当时,要成立,则有或,或.综上所述,或或.6已知集合(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围 分析：中元素的个数代表方程的根的个数，不过首先要讨

13、论是否为 0.详解：(1)中有两个元素，方程有两个不等的实数根，即 ，且.(2)当时，；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，即；若关于的方程无实数根，则，即；故所求的 a 的取值范围是或.7.已知集合，若，求实数的取值范围 分析：与第 7题类似，第 7 题是先讨论是否为 0，而本题的答案中先讨论的是是否为，在这种类型题中，两种方法兼可.详解：，当，若，不成立；若，则，或；当或，若，成立；若，则，或，经检验，成立；当，则，无解，不成立 综上：或或 =题型四、韦恩图像 解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算 1某班有 36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组

14、已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13，同时参加数学和物理小组的有 6人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？分析：解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.解析：设单独加数学的同学为 x人，参加数学化学的为 y 人，单独参加化学的为 z人 依题意，解得 同时参加数学化学的同学有 8人，答：同时参加数学和化学小组的有 8人 2.设全集是实数集，函数的定义域为，则如 图所示阴影部分所表示的集合是（）A B C D 分析：本题要注意 y的定义域：答案：C 详解：由题意易得，而阴影部分表示，选 C 3.设全集 U=R，则右图中阴影部分表示的集合

15、为（）A.B.C.D.分析：由图可知所求为，还要注意解,集合时应遵循指对运算的规则.答案：B 详解：，因为是增函数，所以，故，.阴影部分表示的集合为.=题型五、创新题型 解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义.1.对于集合、，定义：，设，则=（）A B C D 分析：创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得，.A集合所求的是的值域，B集合所求的是的定义域.答案：C 详解：本题考查集合的运算 由得；由得，则；由得，由得.故正确答案为 C.2.定义集合与的运算“*”为:.设是偶数集,则=（）A B C D 分析：整体算上去比较复杂，所以要分开先计算.答案：详解：首先求

16、出，的并集再去掉交集即得.同理可得 3.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：对于任意集合，都有；存在集合，使得；用表示空集，若，则；若，则；若，则其中正确的命题个数为（）A4 B3 C2 D1 分析：已知幂集为子集所组成的集合，表示有限集的元素个数，那么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.答案：B 详解：对于命题，因此，命题正确；对于命题，若集合的元素个数为，则集合的子集共个，若，则 ，解得，命题错误；对于命题，若，由于，因此，所以 ，则，命题错误；对于命题，若，对集合的任意子集，即对任意，则，则，因此，命题正确；对于命题，设，则，则集合的子集个数为，即 ，集合的子集个数为，即，因此 ，命题正确，故正确的命题个数为，选 B.=PS：课后练习 一、选择题 1.下列命题中正确的是（）A.数 0不能构成集合 B.数 0 构成的集合是 0 C.数 0 构成的集合是 D.数 0构成的集合的元素是 0 2.构成集合，则中元素的个数最多是（）A.6 B.5 C.4 D.3 3.下列表示方法正确的是（）A.B.C.D.4.集合的所有真子集的个