灾情巡视路线.docx

1、灾情巡视路线建模案例：最佳灾情巡视路线【摘要】本题是一类图上的点的行遍性问题, 也就是求m条经过同一点并覆盖所有其它顶点又使边权之和达到最小的闭链。我们采用了分区求解的方法,并提出了基于最小生成树的分区原则、边界调整原则和均衡度函数,保证了模型的合理性和解的有效性。 在解题过程中我们应用了VC 6.0 和其他一些计算机软件。【关键字】最小生成树 多旅行商问题一、问题的重述 下图为某县的乡(镇)、村公路网示意图,公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾,为考察灾情,组织自救,县领导决定,带领有关部门负责人到全县各乡(镇)、村巡视,巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回

2、到县政府所在地的路线。1、 若分三组巡视,试设计总路程最短且尽可能均衡的巡视路线。2、 假定巡视人员在各乡(镇)停留时间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速度为V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视,至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。3、 在上述关于T、t、V的假定下,如果巡视人员足够多,完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下,你认为最佳的巡视路线。4、 若巡视组数已给定(比如三组),要求尽快完成巡逻,讨论T、t和V改变对最佳巡视路线的影响。二 、问题的假设1、 公路不考虑等级差别,即可将所有路面状况视为相等,车辆在所有公路上速度保持恒定。

3、2、 交通情况不受灾情影响,即车辆在所有公路上都可以顺利通过。3、 各巡视组统一行动,不可再分成小组进行巡视。4、 对于某些至少要经过两次的乡(镇)、村,认为仅在第一次经过这些地点时停留,以后再经过就不再停留。5、 对于某两个区域的公共乡(镇)、村,只要任一个巡视组停留过,其它组经过时就不再作停留。三、 参数的说明Pi 各巡视组的巡视路程长度 i=1 2 3nti 各巡视组的巡视时间 i=1 2 3nn 组数 B距离均衡度函数b时间均衡度函数四、 模型的建立与求解 本题是一类图上的点的行遍性问题,也就是要用若干条闭链覆盖图上所有的顶点,使某些指标达到最优。本题所要求的分组巡视的最佳路线,与多旅

4、行商问题类似,也就是求m条经过同一点并覆盖所有其它顶点又使边权之和达到最小的闭链。旅行商问题都属NP完全类问题,对于本题的规模,要想求得真正的最优解是不现实的,只能求得近似最优解。1、 第一问的求解第一问要求设计分三组巡视总路程最短且尽可能均衡的巡视路线。设三组的巡视路线长度从小到大为P1、P2、P3,则我们要达到的目标为 min P1+P2+P3 (1) min P3-P1 (2)但是这两个目标函数是互相矛盾的,即它们不可能同时达到最小。因此在求解时,要折衷考虑。具体求解步骤如下:step1 采用一定的分区原则注1将地图分成三个区。step2 按区寻找最小生成树,并在其基础上求解最短回路。s

5、tep3 求出每条回路的长度,代入距离均衡度函数注2,如果满足条件则终止；否则,按调整原则注3将区域进行调整,返回step2。注1 分组原则。首先,以O点为起点,采用Kruskal方法,得到一个基于整个公路网的最小生成树,将其分解,以得到三个子图,使得分解结果尽量均衡。由于在最小生成树上,边权(相邻两顶点之间距离)接近,可略认为均衡是指各子图包含的顶点数接近,在本题中指尽量接近17个。综上有以下分区原则i. 分解点为O点,或尽可能接近O点。ii. 分解所得的三个子图所包含的顶点数尽可能接近17个。iii. 尽量使每一个子图为连通图。iv. 尽量使每一个子图中与点O的最短路上的点在该子图内。尽量

6、使各子图的点在子图内部形成环路。整个图的最小生成树注2距离均衡度函数:B= 当B0.1时,认为结果是均衡的。注3调整原则。在本题中我们采用边界调整法,其主要目标是在边界对各区域进行调整,以提高各组的均衡程度。具体调整步骤为: 第一步 为增强相邻区域的可调整性,规定首先对相邻边界点较多的两区域进行调整。 第二步 优先对P最小的区域和P最大的区域之间进行调整,若这两个区域之间的相邻点相对较少,则通过第三个区域进行、和、之间的调整。由上述分区原则和求解步骤得到的分区图和路径如下:分区方案一 路线路线长度(公里)总长度区O-1-B-34-35-32-31-33-A-R-29-Q-28-27-24-23

7、-N-26-P-O197.6582.5区O-M-25-21-K-22-17-16-I-15-I-18-J-19-L-20-L-6-5-2-O174.8区O-2-3-D-7-E-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-8-4-D-3-C-O210.1采用上述方案得到的路线总长度较小,但是均衡度为B=0.18不满足要求,应进行调整。在调整过程中,我们发现边界上的点存在三个敏感区域,它们是N点23点24点、13点14点和C点。这三个敏感区域的归属不同,造成了分区的不同和结果的不同。原因是这三个区域离O点较远,对路程总长度的影响大,同时它们的划分对子区域的边界处能否形成回路(见分区原则i

8、v)有很大影响。将区的13点14点调到区去,得到新的分区和路径如下 分区方案二路线路线长度(公里)总长度区O-1-B-34-35-32-31-33-A-R-29-Q-28-27-24-23-N-26-P-O197.6597.3区O-M-25-21-K-22-17-16-I-15-14-13-J-19-L-6-5-2-O196区O-2-3-D-7-E-11-G-12-H-12-F-10-F-9-E-8-4-D-3-C-O203.7均衡度B=0.04满足要求。 2、 第二问的求解由于T=2小时,t=1小时,V=35公里/小时,需访问的乡镇17个,村35个,则在乡(镇)、村总的停留时间为172+35

9、1=69小时,需在24小时内完成巡视,若仍分三组的话,平均每组只有1小时的行路时间,只能走35公里,无法在规定时间内走完所有的乡(镇)、村。因此,考虑行路时间,至少要分四组。与第一问类似,设这四组的巡视时间从小到大为t1 t2 t3 t4,我们要实现的是下面两个目标函数 min t1+t2+t3+t4 min t4-t1在具体求解时,仍采用第一问中的分区域-求区域内的最小生成树-根据最小生成树找回路-计算均衡度-调整的方法。下面只对分区原则和均衡度函数作以下补充(1) 将原地图分成四个区。(2) 分区时要尽量使各组的停留时间相等。可先将相对集中的乡(镇)划为一个区,兼顾乡(镇)个数的均匀,再通

10、过调整村的划分来实现时间上的均衡。 (3) 均衡性的衡量采用时间均衡度函数 时间均衡度函数b=b0.1时认为是均衡的按照以上步骤,采用计算机搜索的方法,得到一组较优解,括号中的点表示只经过不停留。 四个巡视组的区域划分路线路线长度(公里)行走时间停留时间每组所用时间总时间区O-1-B-34-35-32-31-33-A-R-29-Q-30-(Q)-29-P-O147.24.211822.2187.37区O-(2)-5-6-7-E-9-F-10-(F-9-E)-8-4-D-3-C-O142.94.081721.08区O-M-(6)-L-20-19-J-13-14-H-12-G-11-(J-19-L

11、-6-5)-O171.74.911721.91IV区O-(P)-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-(I)-18-K-21-25-M-O180.95.171722.17b=0.052符合要求3 第三问的求解 若有足够多的巡视人员，要求出完成巡视的最短时间，并给出在最短时间下的最佳巡视路线。这是求点集的最小覆盖问题,子集覆盖问题属于NP-完全类,无法在短时间内找到最优解。可以求出巡视距o点最远的乡(镇)所需的最短时间Tmin，这样，其他各组的巡视时间都不应超过Tmin。引入点权的概念，若为乡镇，点权为2；若为村，点权为1，即为在该点的停留时间。dij i点到j点的最短通

12、路长wi i点的权ei 从o点到j点巡视的最短时间在最短时间的限制下，完成巡视的最优路线应满足如下条件：（1） 每个组的巡视时间不能超过最短时间Tmin（2） 所有的点都应巡视到，不能漏点（3） 所需巡视组数要尽量少寻找最优路线的具体方法如下：step1、利用Floyd算法求得图中任意两点的最短通路长。可以得到o点到各点巡视最短时间ei=wi+dij2V，找到其中最大的时间即为Tmin。Step2、将未巡视过的点按doi（o点到i点的最短通路长）的大小排序，选择距离o点最远的i点作为巡视点，给i点加巡视过标记。在余下点中寻找j点，看这一组能否巡视该点。j点的寻找原则为：doj- dij最大。若

13、Tmin-doi-wi-wj-dij-doj0，可以巡视j点；否则不能巡视j点。再按照同样的原则，看该组能否巡视其它点。若无可巡视点，计算该组的巡视时间，开始新一组的巡视路线搜索Step3、第二步只是找到了每组巡视的停留点，再利用Dijsktra算法，找到从o点出发，经过这些停留点的最短路线。通过以上算法我们找到的最优解是22组，如下表：编号巡视路径停留地点所需时间时间差1O-M-25-20-19-J-13-14-13-J-19-20-25-M-OH64302O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O13，146150283O-M-25-21-K-18-I-J

14、-16-17-K-21-25-M-O15，1663101240-2-5-6-7-E-9-F-12-G-11-E-7-6-5-2-O12，115940495O-2-5-6-7-E-8-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O8，106220216O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-OG5540897O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O9，F6140298O-2-5-6-L-19-J-18-K-21-25-M-OJ，186290149O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-OI54909410O-M-25-21-K-17-2

15、2-23-N-26-P-O17，22，2361203111O-2-5-6-L-19-L-6-5-OL，1956407912O-M-25-20-21-23-24-N-26-P-O20，21，2461003313O-M-25-21-K-21-25-M-O25，K55009314O-2-5-6-7-E-7-6-5-2-O6，7，E63800515O-R-31-32-35-34-A-1-O31，32，34，3563001316O-R-29-Q-30-Q-30-Q-28-P-OQ，30，2861103217O-P-26-27-26-N-26-P-O26，27，N62302018O-2-3-D-4-D-3

16、-2-O3，4，D59904419O-1-A-33-31-R-29-R-OA，33，3959704620O-2-5-M-O2，5，M54010321O-1-B-C-O1，B，C59804522O-P-O-R-OP，R532114各组巡视时间的均衡度为：0.174 第四问的求解 若巡视组数已定,则每组所用的时间为ti=xiT+cit+siVxi 第i组停留的乡(镇)ci 第i组停留的村si 第i组的巡视路线长度当T、t不变而V增加时,ti主要受V影响,因此要求路线的均衡性比较好。这时需对xi、ci作调整,对路程较长的组尽量考虑停留较少的村。当V不变而T、t增大时,ti主要受xi、ci影响,此时乡(镇)、村分布的均衡性就显得十分重要。特别是乡(镇),T越大,对乡(镇)的均衡性要求就越高。各组的巡视路线的均衡度可以差一些,因为在T、t大到一定程度时,siV可忽略。五、模型的优缺点分析 优点:1、 适用范围广,模型对于一些同类的图论问题同样适用,且易于推广到点数较多的情况。2、 对模型建立和求解过程进行了详尽的讨论，在第一问中,对路径长度和与均衡性作了折衷考虑，分别提出了两种情况下的较优解。缺点：1、 无法证明其为最优路线，而仅仅是一个较优解。2、 无法做到绝对的均衡。参考文献吴孟达 数学建模的理论与实践 国防科技大学出版社 1999谢謇会 最优化原理与方法 国防科技大学出版社