北京交通大学信号和系统时域分析.docx

1、北京交通大学信号和系统时域分析【研讨题目2】 信号与系统时域分析专题研讨【目的】 1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分； 2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题，锻炼学生分析问题和解决问题的能力；【知识点】 信号时域分析，卷积积分，卷积和【研讨题目】连续信号卷积积分的数值近似计算 两个连续信号的卷积积分定义为 为了能用数值方法进行计算，需对连续信号进行抽样。记xk=x(k), hk=h(k),为进行数值计算所选定的抽样间隔，可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为 (1)由式(1)可知，可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。一、(*)理论分析 为了对近似

2、计算的结果进行分析，用解析的方法计算下列卷积积分，推出卷积积分的解析表达式；(1) 时限信号卷积积分x1(t)=u(t)u(t1)，y1(t)=x1(t)x1(t);卷积结果为：y1(t)= x1(t)x1(t)=r(t)-2*r(t-1)+r(t-2)(2) 分段常数信号卷积积分 x2(t)= x1(t)+2 x1(t1)+ x1(t2)，h2(t)= x1(t) x1(t1)， y2(t)=x2(t)h2(t);卷积结果为：y2(t)= x2(t)h2(t)=y1(t)+y1(t-1)-y1(t-2)-y1(t-3) =r(t)-r(t-1)-2*r(t-2)+2*r(t-3)+r(t-4

3、)-r(t-5) (3) 非时限信号卷积积分 x3(t)=u(t)，h3(t)=etu(t), y3(t)=x3(t)h3(t) 卷积结果为：y3= x3(t)h3(t) =1-exp(-t)*u(t)二、(*)时限信号卷积积分的近似计算 取不同的值，用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1(t)并画出其波形，讨论 的取值对计算结果的影响。上图中，绿线为间隔0.01的结果，蓝线是间隔0.1结果，红线为实际结果，由此可见：时间间隔越小，与实际结果越接近。附程序代码：t1=0:0.01:5;t2=0:0.1:5;t=0:0.1:5; x1=1.*(t1=0)-1.*(t1=1);x2=1.*

4、(t2=0)-1.*(t2=1); y1=convn(x1,x1);y2=convn(x2,x2);y=t.*t=0-2*(t-1).*t=1+(t-2).*t=2 N1=length(y1); %length函数取y1的长度%N2=length(y2); plot(t,y,r);hold on;plot(0:0.01:(N1-1).*0.01,y1*0.01,g);plot(0:0.1:(N2-1).*0.1,y2*0.1,b);axis(0 5 0 1)三、(*)分段常数信号卷积积分的Matlab计算(1)若x2k=1，2 ，1，0; k=0,1,2, h2k= 1，1 ; k=0,1，计

5、算离散卷积y2k=x2kh2k； y2k=x2kh2k结果如下：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1;y2=conv(x2,h2);N=length(y2);stem(0:N-1,y2);axis(0 8 -1 1)(2)比较y2(t)和y2k，你发现了什么？y2(t)的图像如下：附程序代码：t=0:0.1:5;y=t.*t=0-(t-1).*t=1-2*(t-2).*t=2+2*(t-3).*t=3+(t-4).*t=4-(t-5).*t=5plot(t,y);hold on;axis(0 8 -1 1)y2(t)和y2k图像比较：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1

6、;y2=conv(x2,h2);t=0:0.1:5;y=t.*t=0-(t-1).*t=1-2*(t-2).*t=2+2*(t-3).*t=3+(t-4).*t=4-(t-5).*t=5N=length(y2);stem(0:N-1,y2);hold on;axis(0 8 -1 1)plot(t,y);hold on;axis(0 8 -1 1)比较两图可知，y2(t)与y2t的卷积积分相似，将y2t向右平移一个单位后，两图像波形重合，若在y2t最前面补零，或缩小抽样间隔，即可由y2t的卷积积分近似地求解y2（t）地卷积积分。(3)对(2)中发现象进行理论分析，根据理论分析的结果，给出用Ma

7、tlab函数conv计算卷积积分y2(t) 的方法并画出卷积积分y2(t)的波形；x2(t)=u(t)+u(t-1)-u(t-2)-u(t-3),h2(t)=u(t)-2u(t-1)+u(t-2)x2k=1， 2 ，1， 0; k=0,1,2, h2k= 1，1;k=0,1当抽样间隔为0.1时，y2t比y2(t)超前一个单位，故在y2t最前面补零，采用plot即可画出y2(t)的正确波形。另外，由二题研讨可知，将抽样间隔缩小（例如抽样间隔取0.01），采用plot画图也可以得到y2(t)的正确波形。采用补零的方法画出y2(t)的波形为：附程序代码：x2=0,1,2,1,0;h2=1,-1; %

8、在x2最前面补零y2=conv(x2,h2);N=length(y2);plot(0:N-1,y2);axis(0 8 -1 1 (4)若分段常数的区间宽度不是1，应如何修改算法？ 如图，若间隔为0.5时，图像及代码如下：附程序代码：x2=1,2,1,0;h2=1,-1;y2=conv(x2,h2);N=length(y2);stem(0:0.5:(N-1).*0.5,y2); %红体为相比间隔为1的函数修改的部分axis(0 8 -1 1)(5)完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后，你对y1(t)的近似计算方法有无新的认识？可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积，但是要根据实际函数在

9、0右边的积分的值，来确定离散函数向右偏移的格数，如可以取y1（t）的边界值先进行离散序列的卷积，如在用y2t来近似计算y2（t）时，由于y2（t）在01时，存在卷积积分的由0逐渐增长，到1时，存在着积分的变化，所以应将离散的图形向右平移一个单位。同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。这样可以较快的计算出y1（t）的近似。四、(*)非时限信号卷积积分的近似计算 近似计算若卷积积分y3(t)。若出现问题请分析出现问题的原因，并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；用近似方法计算y3（t）的代码及结果如下。当区间长度为20时：附程序代码：N=0.01;t=

10、0:0.01:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);yt=conv(x,y);subplot(211);n=0:0.01:40;plot(n,N*yt);axis(0 20 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(近似值yt(t);subplot(212);yt1=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yt1);axis(0 inf 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(真实值yt(t);当区间长度为40时：附程序代码：N=0.01;t=0:0.01:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);yt=conv(x,y)

11、;subplot(211);n=0:0.01:40;plot(n,N*yt);axis(0 40 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(近似值yt(t);subplot(212);yt1=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yt1);axis(0 inf 0 2);xlabel(时间（s）);ylabel(真实值yt(t);出现这种情况的原因：因为conv函数无法计算一个无穷的卷积，题目中虽然是算了exp（-t）的卷积，但是实际取的是（0，20）这个区间内的值，在做卷积的计算过程中，使用matlab对t进行了赋值，在赋值以外的点，被认为时0，所以在t=0&t20的部

12、分就相当于是错误的，没有任何意义。解决方法：在绘制图形时，将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内，或绘制图形后去掉无效值。五、(*)卷积函数conv函数选项的定义与应用研究 在新版MATLAB中，卷积函数conv提供了选项conv(A, B,valid )，下面将研究conv(A, B,valid )的定义及应用。（1）读MATLAB提供的关于conv的Help，给出卷积函数conv(A, B,valid )的定义。设计一些简单的实验，验证你给出的定义。你认为这样定义的卷积有何优缺点？键入“help conv”可知matlab对于valid的定义：C = CONV(A, B, SHAPE)

13、 returns a subsection of the convolution with size specified by SHAPE: valid - returns only those parts of the convolution that are computed without the zero-padded edges. LENGTH(C)is MAX(LENGTH(A)-MAX(0,LENGTH(B)-1),0).【只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分】接下来利用A=1 2 3 4 5和B=1 2 3对valid进行研究。根据计算，A与B的卷积为1,4,10,16,22,

14、22,15。用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：结论：由图像可得，在valid模式下，计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分，略去未完全重合的部分。思考：与conv不同，valid 返回在卷积过程中，未使用边缘补 0 部分进行卷积计算，使得卷积出来的结果具有实际意义。但同时valid有一个显著缺点，即卷积运算时，只会将B翻转与A比较，而不会自动选择短的序列进行翻转，当B的长度大于A时，无法得出卷积结果。附代码：A=1 2 3 4 5;B=1 2 3 ;C=conv(A,B);C1=conv(A,B,valid); subplot(211)stem(1:length(C)-1,

15、C);axis(-1,10,0,30); xlabel(conv(A,B)c=length(C) subplot(212)stem(1:length(C1)-1,C1);axis(-1,10,0,30); xlabel(conv(A,B,valid)c1=length(C1)附：valid的原理图解：图（1） 图（2）图（3） 图（4）图（5） 图（6）图（7） 图（8）图（1）（8）依次为b序列（b序列翻转后）向右平移07个单位长度。观察图像有：图（3）时序列b开始与序列a有重叠，但是图（3）图（4）两序列尚未完全重合，b序列均存在未重合部分。在valid模式下，它们因为缺少与之相乘的数，故

16、b序列未完全重合前不管重合部分，系统全部默认置零。图（5），（6），（7）b序列与序列a完全重合，这些部分可以计算卷积的值，分别为10，16，22，符合valid图像。而从图（8）开始序列b最右点移出序列a，两序列不再完全重合，系统再次完全置零。(2)能否用conv(A, B,valid )完成conv(A, B )？请给出解释，编程验证你的观点。观察(1)中结果,可以得到conv(A,B,valid)的返回值长度比conv(A,B)少两倍的length(B)-1,所以其结果是conv(A,B)两端各除去length(B)-1个值所得的结果；考虑卷积性质,B的valid卷积返回值长度应与con

17、v(A,B)相等，数值也应相同，将A两端各补充length(B)-1个0得到A1,得到与conv(A,B)相同的值。附代码：A=1 2 3 4 5;B=1 2 3;A1=zeros(1,length(B)-1),A,zeros(1,length(B)-1);C=conv(A,B);C1=conv(A1,B,valid); subplot(211)stem(1:length(C)-1,C);axis(-1,10,0,30);xlabel(conv(A,B)c=length(C) subplot(212)stem(1:length(C1)-1,C1);axis(-1,10,0,30);xlabel

18、(conv(A1,B,valid)c1=length(C1)(3) 探索能否用conv(A, B,valid )解决非时限信号卷积积分的近似计算出现的问题？若行，请给出解决问题的方案及实验结果。若不行，请给出理由。因函数conv(A1,B,valid)可削除结果中两端length(y)-1个值,故可以将非时限卷积积分结果的无效值削除；根据卷积性质,只需在x左端插入length(y)-1个0 ,即可削除因t取值有限而造成的无效值而保留有效值。例如重新计算y3(t)如下：附代码：t=0:0.01:20;x=1*(t=0);y=exp(-t).*(t=0);x1=zeros(1,length(y)-

19、1),x;yt=conv(x1,y,valid); subplot(211);plot(N*(1:length(yt),N*yt);axis(0 30 0 2);xlabel(Time);ylabel(近似值yt(t); subplot(212);yr=(1-exp(-t).*(t=0);plot(t,yr);axis(0 30 0 2);xlabel(Time);ylabel(真实值yr(t);(4)关于卷积conv(A, B,valid )的应用，你还有什么见解？欢迎发表新想法，胆要大，不要怕犯错。建议：因为valid的缺点是必须是前一个序列长于后一个序列所以希望，增加一个判断，比较 A，B长度，若B序列比A长交换A,B序列，其他算法不变，即可得到卷积结果【温馨提示】 (1) 研讨内容中标注的星号表示难度系数，(*)表示难度系数低，(*)表示难度系数中， (*)表示难度系数高。【研讨要求】(1)编写实现上述研讨内容的MATLAB仿真程序，画出程序运行结果图。(2)结合信号与系统基本原理，对程序运行结果进行分析和讨论。 (3)在研讨过程中，若发现问题，要进行探究，并给出解决问题的方案。(4)写出在本次研讨中自主学习内容，列出参考文献目录。