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1、22 等差数列的性质第2课时等差数列的性质学习目标1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算知识点一等差数列通项公式的变形及推广andn(a1d)(nN*)，anam(nm)d(m，nN*)，d(m，nN*，且mn)其中的几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.即斜率公式k，可用来由等差数列任两项求公差知识点二等差数列的性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap.知识点三由等差数列衍生的新数列若an，bn分别是公差为d，d的

2、等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)1若数列an的通项公式anknb，则an是公差为k的等差数列()2等差数列an中，必有a10a1a9.()3若数列a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列()4若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3是等差数列()题型一anam(nm)d的应用例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式解因为a

3、8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1，nN*.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担跟踪训练1已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8 .答案8解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8.b82888.方法二由d，得b85b325(2)8.题型二等差数列性质的应用例2已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解方法一因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a64

4、5，所以a2a69，所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3，nN*；若d2，ana4(n4)d132n，nN*.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5.由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(52d)5(52d)45，即(52d)(52d)9，联立解得a11，d2或a111，d2，即an12(n1)2n3，nN*；或an112(n1)2n13，nN*.引申探究1在例2中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，

5、m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7 .答案20解析a3a810，a3a3a8a820.33885557，a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.反思感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项

6、与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练2在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值解方法一(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.方法二a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，联立解得a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27

7、.题型三等差数列的设法与求解例3已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数解设这三个数分别为ad，a，ad，且d0.由题意可得解得或d0，a6，d2.这个数列是4,6,8.反思感悟设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为anpnq.跟踪训练3三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数解设这三个数分别为ad，a，ad.由题意可得解得或所求三个数为2,2,6或6,2，2.

8、数列问题如何选择运算方法典例等差数列an中，a3a72a1540，求a10.解方法一设an的公差为d.则a3a72a15a12da16d2(a114d)4a136d4(a19d)4a1040，a1010.方法二a3a72a15a3a7a15a15a10a10a10a1040，a1010.素养评析等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.1在等差数列an中，已知a310，a820，则

9、公差d等于()A3 B6 C4 D3答案B解析由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，所以d6.2在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A32 B32 C35 D35答案C解析由a8a4(84)d4d14212，得d3，所以a15a8(158)d147335.3等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3 B3C. D答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.4设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182 B78 C148 D82答案D解析a3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d

10、)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.5在等差数列an中，已知amn，anm，m，nN*，则amn的值为 答案0解析设等差数列的公差为d，则d1，从而amnam(mnm)dnn(1)0.1在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量一、选择题1已知数列an为等差数列，a36，a918，则公差d为()A1 B3 C2 D4答案C解析因为数

11、列an为等差数列，所以a9a36d，即1866d，所以d2.2在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8的值等于()A45 B75 C180 D300答案C解析a3a4a5a6a7(a3a7)(a4a6)a55a5450，a590.a2a82a5180.3已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m的值为()A12 B8 C6 D4答案B解析由等差数列的性质，得a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4已知数列是等差数列，且a32，a1530，则a9等于()A12 B24 C16 D32答案

12、A解析令bn，由题意可知b3，b152，则等差数列bn的公差d，则b9b3(93)d，所以a99b912，故选A.5已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. B C D答案D解析由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .6若a，b，c成等差数列，则二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点的个数为()A0 B1 C2 D1或2答案D解析a，b，c成等差数列，2bac，4b24ac(ac)24ac(ac)20.二次函数yax22bxc的图象与x轴的交点个数为1或2.7(2018河南省实验中学期末)已

13、知an是公差为正数的等差数列，a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13的值为()A105 B120 C90 D75答案A解析由a1a2a315，得a25，所以a1a310.又a1a2a380，所以a1a316，所以a12，a38或a18，a32.又等差数列an的公差为正数，所以an是递增数列，所以a12，a38，所以等差数列an的公差da2a1523，所以a11a12a133a123(a111d)105.8等差数列an中，a3a7a101，a11a421.则a7等于()A7 B10 C20 D30答案C解析a3a7a10a11a4a3a7a11(a10a4)3a72a7a7，a

14、721120.二、填空题9在等差数列an中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1a8 .答案10解析由5是a3和a6的等差中项，可得a3a62510，则由等差数列的性质可得a1a8a3a610.10若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 答案21解析设这三个数为ad，a，ad，则解得或这三个数为1,3,7或7,3，1.这三个数的积为21.11在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n1列的数是_答案n2n解析第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n1项为nnn

15、n2n.所以数表中的第n行第n1列的数是n2n.三、解答题12在等差数列an中，(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求公差d.解方法一(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48，4a1348，a1312.(2)直接化成a1和d的方程如下：解得或d3或3.方法二(1)根据已知条件a2a3a23a2448，得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，得2(a2a5)34，即a2a517，解得或d3或d3.13在等差数列an中，(1)若a2a4a6a8a1080

16、，求a7a8；(2)已知a12a8a1596，求2a9a10.解(1)a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.(2)a12a8a154a896，a824.2a9a10a10a8a10a824.14若等差数列an满足an1an4n3，则an的通项公式为 答案an2n(nN*)解析由题意得an1an4n3，an2an14n1，得an2an4.an是等差数列，设公差为d，d2.a1a21，a1a1d1，a1.an(n1)22n(nN*)15已知两个等差数列an：5,8,11，与bn：3,7,11，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解因为an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)，两数列的共同项可由3n24k1求得，所以nk1.而nN*，kN*，所以设k3r(rN*)，得n4r1.由已知且rN*，可得1r25.所以共有25个相同数值的项