北京高考数学专项复习 压轴题.docx

1、北京高考数学专项复习 压轴题2017年11月22日金博高数20的高中数学组卷一解答题（共6小题）1设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列2设数列A：a1，a2，aN （N2）如果对小于n（2nN）的每个正整数k都有akan，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“

2、G时刻”组成的集合（）对数列A：2，2，1，1，3，写出G（A）的所有元素；（）证明：若数列A中存在an使得ana1，则G（A）；（）证明：若数列A满足anan11（n=2，3，N），则G（A）的元素个数不小于aNa13已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值4对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+maxTk1（P），a1+a2+ak（2kn

3、），其中maxTk1（P），a1+a2+ak表示Tk1（P）和a1+a2+ak两个数中最大的数，（）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P）的大小；（）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）5已知an是由非负整数组成的无穷数列，该

4、数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2的最小值记为Bn，dn=AnBn（）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；（）设d是非负整数，证明：dn=d（n=1，2，3）的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，），则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为16设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（m，n），记ri（A）为A的第行各数之和（1m）

5、，Cj（A）为A的第j列各数之和（1jn）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2，2t+1），求K（A）的最大值2017年11月22日金博高数20的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共6小题）1设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1

6、）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bknak）（b1na1）0，则b1na1bknak，则cn=b1na1=1n，cn+1cn=1对nN*均成立；（2）由biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），分类讨论d1=0，d10，d10三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c

7、m，cm+1，cm+2，是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得nm，M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，M【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=maxb1a1=max0=0，当n=2时，c2=maxb12a1，b22a2=max1，1=1，当n=3时，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max2，3，4=2，下面证明：对nN*，且n2，都有cn=b1na1，当nN*，且2kn时，则（bknak）（b1na1），=（2k1）nk1+n，=（2k2）n（k1），=（

8、k1）（2n），由k10，且2n0，则（bknak）（b1na1）0，则b1na1bknak，因此，对nN*，且n2，cn=b1na1=1n，cn+1cn=1，c2c1=1，cn+1cn=1对nN*均成立，数列cn是等差数列；（2）证明：设数列an和bn的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，由b1a1n，b2a2n，bnann，考虑其中任意biain，（iN*，且1in），则biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n，=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），下面分d1=0，d10，d10三种情况进行讨论，若d1=0，则biain（b1a1n）+（i1）d2，当若d20，则（bi

9、ain）（b1a1n）=（i1）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，数列cn是等差数列；当d20，（biain）（bnann）=（in）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=bnann=bna1n，此时cn+1cn=d2a1，数列cn是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，是等差数列，命题成立；若d10，则此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在mN*，使得nm时，d1n+d20，则当nm时，（biain）（b1a1n）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此当nm时，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，故

10、数列cn从第m项开始为等差数列，命题成立；若d10，此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在sN*，使得ns时，d1n+d20，则当ns时，（biain）（bnann）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此，当ns时，cn=bnann，此时=an+，=d2n+（d1a1+d2）+，令d1=A0，d1a1+d2=B，b1d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得nm，M，若C0，取m=+1，x表示不大于x的最大整数，当nm时，An+BAm+B=A+1+BA+B=M，此时命题成立；若C0，取m=+1，当nm时，An+B+Am+B+C

11、A+B+CMCB+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，M；综合以上三种情况，命题得证【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题2设数列A：a1，a2，aN （N2）如果对小于n（2nN）的每个正整数k都有akan，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合（）对数列A：2，2，1，1，3，写出G（A）的所有元素；（）证明：若数列A中存在an使得ana1，则G（A）；（）证明：若数列A满足anan

12、11（n=2，3，N），则G（A）的元素个数不小于aNa1【分析】（）结合“G时刻”的定义进行分析；（）可以采用假设法和递推法进行分析；（）可以采用假设法和列举法进行分析【解答】解：（）根据题干可得，a1=2，a2=2，a3=1，a4=1，a5=3，a1a2满足条件，2满足条件，a2a3不满足条件，3不满足条件，a2a4不满足条件，4不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5满足条件，因此G（A）=2，5（）因为存在ana1，设数列A中第一个大于a1的项为ak，则aka1ai，其中2ik1，所以kG（A），G（A）；（）设A数列的所有“G时刻”为i1i2ik，对于第一个“G时刻”i

13、1，有a1ai（i=2，3，i11），则a11对于第二个“G时刻”i1，有ai（i=2，3，i11），则1类似的1，1于是，k（）+（）+（）+（a1）=a1对于aN，若NG（A），则=aN若NG（A），则aN，否则由（2）知，aN，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾从而ka1aNa1【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大3已知数列an满足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），记集合M=an|nN*（）若a1=6，写出集合M的所有元素；（）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（）求集合M的元素个数的最大值【分析】（）

14、a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数；（）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值【解答】解：（）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，），M=an|nN*故集合M的所有元素为6，12，24；（）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k1，因为ak=2ak1，或ak=2ak13

15、6，所以2ak1是3的倍数；于是ak1是3的倍数；类似可得，ak2，a1都是3的倍数；从而对任意n1，an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（）对a136，an=（n=1，2，），可归纳证明对任意nk，an36（n=2，3，）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数从而当n2时，an是2的倍数如果a1是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an是3的倍数因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5如果a1不是3的倍数，由（）知，对所有正整数n，an不是3的倍数因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过

16、8当a1=1时，M=1，2，4，8，16，20，28，32，有8个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题4对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），（an，bn），记T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+maxTk1（P），a1+a2+ak（2kn），其中maxTk1（P），a1+a2+ak表示Tk1（P）和a1+a2+ak两个数中最大的数，（）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c

17、，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P）的大小；（）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）【分析】（）利用T1（P）=a1+b1，Tk（P）=bk+maxTk1（P），a1+a2+ak（2kn），可求T1（P），T2（P）的值；（）T2（P）=maxa+b+d，a+c+d，T2（P）=maxc+d+b，c+a+b，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P）的大小

18、；（）根据新定义，可得结论【解答】解：（）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+maxT1（P），2+4=1+max7，6=8；（）T2（P）=maxa+b+d，a+c+d，T2（P）=maxc+d+b，c+a+b当m=a时，T2（P）=maxc+d+b，c+a+b=c+d+b，a+b+dc+d+b，且a+c+dc+b+d，T2（P）T2（P）；当m=d时，T2（P）=maxc+d+b，c+a+b=c+a+b，a+b+dc+a+b，且a+c+dc+a+d，T2（P）T2（P）；无论m=a和m=d，T2（P）T2（P）；（）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2

19、），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键5已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2的最小值记为Bn，dn=AnBn（）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；（）设d是非负整数，证明：dn=d（n=1，2，3）的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，），

20、则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1【分析】（）根据条件以及dn=AnBn 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值（）设d是非负整数，若an是公差为d的等差数列，则an=a1+（n1）d，从而证得dn=AnBn=d，（n=1，2，3，4）若dn=AnBn=d，（n=1，2，3，4）可得an是一个不减的数列，求得dn=AnBn=d，即 an+1an=d，即an是公差为d的等差数列，命题得证（）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，），则an的项不能等于零，再用反证法得到an的项不能超过2，从而证得命题【解答】解：（）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列，d1=A

21、1B1=21=1，d2=A2B2=21=1，d3=A3B3=41=3，d4=A4B4=41=3（）充分性：设d是非负整数，若an是公差为d的等差数列，则an=a1+（n1）d，An=an=a1+（n1）d，Bn=an+1=a1+nd，dn=AnBn=d，（n=1，2，3，4）必要性：若 dn=AnBn=d，（n=1，2，3，4）假设ak是第一个使akak10的项，则dk=AkBk=ak1Bkak1ak0，这与dn=d0相矛盾，故an是一个不减的数列dn=AnBn=anan+1=d，即 an+1an=d，故an是公差为d的等差数列（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，），首先，an的项

22、不能等于零，否则d1=20=2，矛盾而且还能得到an的项不能超过2，用反证法证明如下：假设an的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于an的项中一定有1，否则与d1=1矛盾当nm时，an2，否则与dm=1矛盾因此，存在最大的i在2到m1之间，使ai=1，此时，di=AiBi=2Bi22=0，矛盾综上，an的项不能超过2，故an的项只能是1或者2下面用反证法证明an的项中，有无穷多项为1若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=AkBk=22=0，矛盾，故an的项中，有无穷多项为1综上可得，an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1【点评】本题主要考查充分条件、必要

23、条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题6设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（m，n），记ri（A）为A的第行各数之和（1m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1jn）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）设数表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的AS（2，2t+1），求K（A）

24、的最大值【分析】（1）根据ri（A），Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求（2）先用反证法证明k（A）1，然后证明k（A）=1存在即可；（3）首先构造满足的A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1），然后证明是最大值即可【解答】解：（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=1.8K（A）=0.7（2）先用反证法证明k（A）1：若k（A）1则|c1（

25、A）|=|a+1|=a+11，a0同理可知b0，a+b0由题目所有数和为0即a+b+c=1c=1ab1与题目条件矛盾k（A）1易知当a=b=0时，k（A）=1存在k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为首先构造满足k（A）=的A=ai，j（i=1，2，j=1，2，2t+1）：a1，1=a1，2=a1，t=1，a1，t+1=a1，t+2=a1，2t+1=，a2，1=a2，2=a2，t=，a2，t+1=a2，t+2=a2，2t+1=1经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r1（A）|=|r2（A）|=，|c1（A）|=|c2（A）|=|ct（A）|=1+，|ct+1（A

26、）|=|ct+2（A）|=|c2t+1（A）|=1+下面证明是最大值若不然，则存在一个数表AS（2，2t+1），使得k（A）=x由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x，2中由于x1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则gt，ht+1另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x）因此|r1（A）|=r1（A）t1+（t+1）（1x）=2t+1（t+1）x=x+（2t+1（t+2）x）x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾因此k（A）的最大值为【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题