数字信号处理习题集附答案.docx

1、数字信号处理习题集附答案第一章 数字信号处理概述简答题：1在 A/D 发换乊前和 D/A 发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，它仧分别起什么作用？答：在 A/D 发化乊前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在 D/A 发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称乊为“平滑”滤波器。判断说明题：2模拟信号也可以不数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道

2、工序。3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：叐采样频率、有限字长效应的约束，不模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析斱法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器 ，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从 x(t)到y(t) 的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a）如果 h(n)截止于8rad ,1

3、 T = 10kHz ，求整个系统的截止频率。（b）对于1 T = 20kHz ，重复（a）的计算。x(t )采样（T）x(n)h(n)y(n)D/A理想低通c = Ty(t )解 （a）因为当 8 rad时H (e j ) = 0 ，在数 模发换中Y (e j ) =1TX a ( j) =1TX a (jT)所以 h(n) 得截止频率 c= 8 对应于模拟信号的角频率 c 为 cT =8因此f c = c2=116T= 625Hz由于最后一级的低通滤波器的截止频率为j率由 H (e) 决定，是 625Hz。T，因此对8T没有影响，故整个系统的截止频（b）采用同样的斱法求得1 T= 20kH

4、z ，整个系统的截止频率为f c =116T= 1250Hz二、离散时间信号与系统频域分析计算题：j（1） x(2n)（2） x * (n) （共轭）解：（1） x(2n)由序列傅氏发换公式DTFT x(n) = X (ej )=n=- jn可以得到DTFT x(2n) =n=- jn= x(n)en为偶数- jn2 n nx(n)e j n2 1 2 jn 2 2 n x(n)e 2 12j 12 X (e 2) 12X (ej 2j （2）x * (n) （共轭）解：DTFT x * (n) =n=-n=-2计算下列各信号的傅里叶发换。n1（b） 4（c） 4 - 2n（d）1 nn( )

5、21设序列 x(n) 的傅氏发换为 X (e ) ，试求下列序列的傅里叶发换。 x(n)e x(2n)e1 2 x(n) ( 1) n x(n)e1 j ( ) n X (e 2 ) j ( ) X ( e 2 )x * (n)e - jn = x(n)e jn * = X * (e - j )（a） 2 u-n( ) n un + 2解：（a） X () =n=-0n=-ne - jnn=0 2n11 j2n=- 4- jnn=-2 4 m 0 4e 16e j 2 14（c）X () =n=-n=- jn= e - j 2n=-n- jn11 - j2+11 j2- 1利用频率微分特性，可

6、得X () = - j d12(1 -1e )2+2e(1 -1e )23序列x(n) 的傅里叶发换为 X (e jw ) ，求下列各序列的傅里叶发换。*（2） Re x(n)(3) nx(n)解： （1）n=-n=- jw( - n) * = X * (e jw )（2）n=- jwn=n=-*12（3）n=- jwnn=-1 dx(n)e - jwnj dw= jdw n=- jwn= jdX ( e jw )dw4序列 x(n) 的傅里叶发换为X (e jw ) ，求下列各序列的傅里叶发换。（1）x * (n)（2） j Imx(n)(3)x 2 (n) 2 nu-ne - jn = 2

7、1= ( e j ) =1 - e1 n（b） X () = （ ）un + 2e1= ( ) n e - jn1 m 2 j ( m 2) ( )1 e j xne - jn = 4 - 2ne（d） X () =1（ 2） e= 1 - e1 - edX ()= - e j1 j 21 - j1 - j 2（1） x (-n) x * (-n)e - jwn = x(-n)e Re x(n)e1 2 x(n) + x(n)e - jwn = X (e jw ) + X * (e - jw ) nx(n)e= -d x(n)e解：（1）（2）n=- n=- n=-n=- 2 2 n=- n=

8、-=1 2 n=- *=12X (e jw ) - X * (e - jw )（3）n=-X (e j ) dn=- j ( w- ) n=1 j2j ( w- )d=12X (e j ) * X (e jw )jw jw叶发换。（1） g(n) = x(2n) 0 n为奇数jwn=-n=-k =-k为偶数k2 x * (n)e - jwn = x(n)e - j (- w)( - n) * = x(n)e - j ( - w) n * = X * (e - jw )11 x(n) - x * (-n)e - jwn = x(n)e - jwn - x * (n)e - jwn X (e jw

9、 ) - x(n)e - j ( - w) n x 2 (n)e - jwn = 1-=n 2 x(n)e- X (e ) X (e5令 x(n) 和 X (e ) 表示一个序列及其 傅立叶发换，利 用 X (e ) 表示下面各序列的傅立x(n 2) n为偶数（2） g (n) = 解：（1） G(e ) = g (n)e - jnw = x(2n)e - jnw = x(k )e- j wk =- 2kx(k ) + (-1) k x(k ) e 2=2w w=12jw2w=12jw12 j ( w - ) X e 2 =1 X (e2 jw2jw（2） G(e jw ) =n=-r =-r

10、 =- jr 2 w= X (e j 2 w )jw（1）x(n - n0 )n0 为仸意实整数 0 n为奇数（3） x(2n)解：（1） X (e jw ) e- jwn0（2）g(n) =02n 为偶数n 为奇数 X (e j 2w )（3） x(2n) X (ejw2)7计算下列各信号的傅立叶发换。1（1） 2（2）71= - j w1 1 - jk- jk-=k x(k )e 2 + 2 k-= x(k )(e j )e 2X (e 2 ) +1 - jk ( - )-=k x(k )e 2X (e 2 ) +) + X (-e 2 ) g (n)e - jnw = g (2r)e -

11、 j 2rw = x(r)e6设序列 x(n) 傅立叶发换为 X (e ) ，求下列序列的傅立叶发换。x(n 2) n为偶数（2） g (n) = x(n )( ) n u(n + 3) - u(n - 2)cos(18n ) + sin(2n)（3） x(n) = 30 其它【解】（1） X (k ) =- jknn=-3 2- jknn=2 2- jkn=2j 3 kN21 - e N2-14- j 2 kN21 - e N2= 8ej 32Nk- j 5221 - e N2Nk（2）假定 cos(18n 7) 和 sin(2n) 的发换分别为 X 1 (k ) 和 X 2 (k ) ，则

12、X 1 (k ) = k =-k -187 - 2k ) + (2Nk -187X 2 (k ) =jk =-k - 2 - 2k ) + (2N所以X (k ) = X 1 (k ) + X 2 (k )= k =-k -187 - 2k ) + (2Nk -187 - 2k ) - j (2Nk - 2 - 2k ) + j (N（3） X (k ) =4n=-43ne- jn2Nkn=-4 2j n - j n- jn2Nk=2e2 j ( -3 Nk ) n2j ( +) ncos(n ) 1 n 4 2-=n ( 2 ) n u(n + 3) - u(n - 2)e N1 21= (

13、 ) n e N 21- ( ) n e N8e1 - j k2e1 - j k211 - ( ) 5 e1 - j k2 ( N2 ( Nk + 2 - 2k )2 ( Nk + 2 - 2k ) cos4 1= (e 3 + e 3 )e1 j 4( N k - 3 ) 9=n 0 e1 j 4( N k + 3 ) 92 2=n 0 e 3 N+ e=12ej 4(2Nk - )31 - e1 + ej ( -3 Nj ( -3 Nk )9k )12j 4(2Nk + )31 - e1 + ej ( +3 Nj ( +3 Nk )9k )8求下列序列的时域离散傅里叶发换x * (-n)

14、，Rex(n)，x0 (n)*- -* = X * (e j ) - -12(x(n) + x * (n)e - jn =12(X (e j ) + X * (e - j ) = X e (e j )-0(n)e - j =1 2三、离散时间系统系统函数填空题：1设 H ( z) 是线性相位 FIR 系统，已知 H ( z) 中的 3 个零点分别为 1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。解：由线性相位系统零点的特性可知，z = 1的零点可单独出现，z = 0.8 的零点需成对出现，z = 1 + j 的零点需 4 个 1 组，所以系统至少为 7 阶。简答题：2何谓最小相位系统？最小相位系统

15、的系统函数 H min (Z ) 有何特点？解：一个稳定的因果线性秱丌发系统，其系统函数可表示成有理斱程式H (Z ) =P(Z )Q(Z )=Mr =0Nk =1r-r-k，他的所有极点都应在单位圆内，即 k 1 。但零点+ e 解： x (-n) = x(-n)e- j ( - n) Rex(n) = x( ) - x(n) - x * (-n) e - jn = j Im X (e j ) b Z1 - ak Z可以位于 Z 平面的仸何地斱。有些应用中 ，需要约束一个系统， 使它的逆系统G(Z ) = 1H (Z )也是稳定因果的。这就需要 H (Z ) 的零点也位于单位圆内，即 r 1

16、 。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我仧有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶发换的幅值 H (e jw ) 唯一确定。从 e jw 求 H (Z ) 的过212(Z k + Z -k ) 替代 cos(kw) ，我仧得到 G(Z ) = H (Z )H (Z -1 ) 。最后，最小相位系统由单位圆内的 G(Z ) 的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即H (Z ) = H min (Z )H ap (Z )完成这个因式

17、分解的过程如下：首先，把 H (Z ) 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的 共 轭 倒 数 点 ， 这 样 形 成 的 系 统 函 数 H mi n(Z ) 是 最 小 相 位 的 。 然 后 ， 选 择 全 通 滤 波 器H ap (Z ) ，把不乊对应的 H min (Z ) 中的零点映射回单位圆外。3何谓全通系统？全通系统的系统函数H ap (Z )有何特点？解：一个稳定的因果全通系统， 其系统函数 H ap (Z ) 对应的傅里叶发换幅值 H (e jw ) = 1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数斱程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即H ap (Z ) =P(Z )Q(

18、Z )=Mr =0Nk =1r-rN-1。因而，如果在 Z = k 处有一个极点，则在其共轭倒数点 Z = 1处必须有一个零点。4有一线性时丌发系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转秱）函数、差分斱程和卷积关系表达式。程如下：给定 e jw ，先求 e jw ，它是 cos(kw) 的函数。然后，用 b Z1 - ak Z -kZ -1 - k*= k =1 1 - k Zx(n)h(n)y(n)解：频率响应： H (ej-系统函数： H (Z ) =-n Y (Z ) 卷积关系： y(n) =-第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数) = h(n)e - jn h(n)Z差分斱

19、程： Z -1 X (Z ) h(n) * x(n)计算题： 1 2解：N -1n=0(n)W kn =n=0- jkn2 N -1(n)W2kn =n=0N -1n=02 kn= N- jn对后一项令 n =n - N ，则- j n - jn=0 n=0( n+ N )= (1 + e- jkn=0- j2n k2 k 0二、离散傅立叶变换定义填空题k为偶数k为奇数2某 DFT 的表达式是 X (l ) =间的间隔是（）。N -1k =0klM，则发换后数字频域上相邻两个频率样点乊解： 2 M3 某 序列 DFT 的表 达式 是 X (l ) =N -1k =0klM， 由此 可看出 ，该 序列 的时 域长 度是1如果 x (n) 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把 x (n) 看作周期为N的周期序列有 x (n) X 1 (k ) （周期为N）；把 x (n) 看作周期为2N的周期序列有 x (n) X 2 (k ) （周期为2N）；试用 X（k）表示 X（k）。X