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1、清华大学线性代数答案清华大学线性代数答案【篇一：【清华在线】2009新版gct精讲班-数学-线性代数讲义】xt主讲：王飞燕 第一讲 行列式 一. 行列式的定义 ? 一阶行列式定义为a11?a11 清 华 在 ? 二阶行列式定义为 a11a12aa12a21 21 a?a11a22?22 ? 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行第j列，剩余元素构成n?1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作mij ? 令aj ij?(?1) i?mij，称aij为aij的代数余子式 ? n阶行列式定义为 a11a12?a1n a21a22?a2n?a11a11?a12a12?a1na1n an1 an2

2、? ann 二. 行列式的性质 1.行列式中行列互换，其值不变 a11a12a13a11a21a31a21a22a23?a12 a22a32 a31 a32 a33 a13 a23 a33 2.行列式中两行对换，其值变号 a11a12a13a21a22a23a21a22a23?a11 a12a13 a31 a32 a33 a31 a32 a33 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外 a11a12a13a11a12a13ka21ka22ka23?ka21 a22a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可

3、以拆成两个行列式的和 1 | 清华紫光教育机构 tsinghua unis education institution 线 a11a21?b21 a31 a12a22?b22 a32 a13a33 a11a31 a12a22a32 a13a33 a11a31 a12b22a32 a13b23 a33 a23?b23?a21a23?b21 由以上四条性质，还能推出下面几条性质 5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为 6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为 7.行列式中如果有一行元素全为，则行列式的值为 8.行列式中某行元素的k倍加到另一行，其值不变 aaaaaa清 华

4、在 11 1213111213 a21 a22a23?a21a22a23 a31 a32 a33 a31?ka11 a32?ka12 a33?ka13 三.n阶行列式展开性质 a11 a12?a1nd? a21a22?a2n? an1 an2 ? ann 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即 d?ai1ai1?ai2ai2?ainain i?1,2,?,n ? 按列展开定理 d?a1ja1j?a2ja2j?anjanj j?1,2,?,n ? n阶行列式d的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于 零即 ai1aj1?ai2aj2?ainajn?0 i?j

5、? 按列展开的性质 a1ia1j?a2ia2j?anianj?0 i?j 四.特殊行列式 a11 a1n a22 ?1 n?1)? 2 ? ?a11a22?aa2nnn; ? ?1? n(a1na2n?1an1 ann an1 ? 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同. 五.计算行列式 ? 消零降阶法. ? 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）. 2 | 清华紫光教育机构 tsinghua unis education institution 线 典型习题 x 2x1a33 1=（）。 （x3?13x?13） x?2 5的代数余子式a21?4，则a?1. d3?3 21

6、 2. 设8 =（ ） 清 华 在 ?1 4 6 a 2 b 1 c- d （）2 ?1x2x3. 11x?10x20中x4的系数是（） x ?1 ?x a 2 b 1 c d （） x 1x14. 01x11x10的常数项为（） 1 1 x a 4b 2 c d 0 （d） x 31 x?3y?3z?35设y 01?1，则524=（ ） z 2 1 1 1 1 a 4b 2 c d 0 （c） 1 ?11x?16d1?1x?1?14? 1x?11?1?（ ） x?1 ?1 1 ?1 a 4b x4 c x2 ?1 d x2 ?1(b) 3 | 清华紫光教育机构 tsinghua unis e

7、ducation institution 线 a 1?42 12 1 b?0，则a?（）b?( ) b 72 ?1 a. a? a11 或b?0b. a?a13a33 12 c. b?0 d. a?2a12?2a32?2a22 ?2a13 12 且b?0 (a) a12a22a32 ?2a11?2a21 8. 设a21 a31 a23?m?0,则?2a31?2a33? ?2a23 清 华 在 a .2m b. 2m c. 8m d. -8m(c) x x?1x?4 9. f(x)?2x 2x?12x?3?0的根的个数是（）3x 3x?3 3x?5 a. 0 b. 1 c. 2d.3 (b) x

8、?1 ?10 10 g(x)?1 x?1?0的根的个数是（）0 ?1 x?1 a. ?1,?1,2 b. 1, 1, ?2 c. ?1, 1, 2 d. 1, 1, 2 (c) abc 11. 设a,b,c是方程 x3?2x?4?0 的三个根, 则行列式b ca? ()。c a b a. 0 b. 1 c. -4d.2 (a) 第二讲 矩 阵 一.矩阵概念和运算 1.矩阵的定义和相等. 2.加法,数乘,乘法, 转置,方阵的幂乘的定义及性质. ? 尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等. ? 若a,b是n阶方阵,则ab?ab ? 特殊方阵：上（下）三角阵，对角阵，单位

9、阵。 4 | 清华紫光教育机构 tsinghua unis education institution 线 3.逆矩阵 定义：a,b都是n阶方阵，满足ab?ba?i?e ，则称b是a的逆矩阵。记a?1?b. ? a可逆?a?0 ? ? 公式：a ?1 ? 1a aa?1?a * ?1 可逆矩阵的运算性质 4. 伴随矩阵 清 华 在 ? 定义：a* ?at ij ? ? 基本关系式：aa* ?ai ? 与逆矩阵的关系：a ?1 ? 1* a a ? 行列式：a*?an?1 ?n,r(a)?n ? 秩：r(a* )?1, r(a)?n?1 ? 0,r(a)?n?1 5矩阵方程 ? 设a是n阶方阵，

10、b是n?m矩阵，若a可逆，则矩阵方程ax?b有解，其解为 x?a?1 b ? 设a是n阶方阵，b是m?n矩阵，若a可逆，则矩阵方程xa?b有解，其解为 x?ba ?1 二.初等变换 ? 矩阵的初等行（列）变换： （）交换两行（列）； （）用一个非零常数乘某一行（列）； （）某行（列）的k倍加到另一行（列）上 ? ?ai? i a ?1 ? (初等行变换) 三.矩阵的秩 1.定义 ? 在m?n矩阵a中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的k2 个元素按其原来的次 5 | 清华紫光教育机构 tsinghua unis education institution 线【篇二：2011清华考研小记电气篇

11、】；一分耕耘，一分收获。 报考院校：清华大学电机系 专业：电气工程及其自动化 初试成绩：政治78，英语57，数学140，电路149。总分424。 清华大学电机系有五个方向，所有方向统一招生，每年总名额大概20人左右，其中学术型8人左右，专业型12人左右。若想报考清华工科的，数学一定要好，最好能保证135+，在数学上不能被拉分。专业课一向出的很变态，最好别指望能考多高，我这次考了149，做梦都没想到。英语政治拉分不大，不要因单科被拦着就好。 关于目标，多搜集信息（利用各种渠道），结合自己的实力选择一个合适的学校。其实，名校并不是多难考，看似高高在上，其实都是浮云。只要你肯去拼，并不是没有机会的，

12、关键在于你的努力。大学平时的基础固然重要，但并没有决定性的作用。我除了高数成绩还行（99/98），线代（70）和概率（73）都不咋的，电路也就八十多分。不要因为平时成绩一般，就怀疑自己的学习能力。毕竟当初都没怎么用心学习，具体情况大家都懂的。既然准备考研了，就不能再马马虎虎，吊儿郎当了，踏踏实实的复习才是正道。 关于复习的一些方法和技巧，可以多向学长或老师打听，网上的信息没用的居多、有价值的太少，自己要学会掂量取舍；至于各大考研辅导机构，都是卖狗皮膏药的，没一个是好的，不过每年上当的人总是很多，就跟最近“抢盐事件”似的。我当时论坛上搞了一些，又找了几个考的不错的学长聊了几次，感觉得到的帮助还是

13、很大的，可以少走好多弯路。当然了，他人的经验不可能完全适合自己，要结合个人情况做相应的调整。 建议有计划的复习。对整个复习过程要有一个大体的规划，对于在每个阶段要复习到什么程度，自己要清楚。在每个阶段也都要做细小的计划，我当时对每一周要完成的任务都做了计划，不过由于本人太懒了，从来没有一次是完成的，于是就一直顺延，延到最后，不少东西都没来得及看就去考试了。 关于住宿，到时大四的宿舍会很乱，过的是美国时间，干扰太大。复习期间要保证良好的休息，好的环境是必不可少的。建议找一些志同道合的住到一起，有条件的可以在外面租房住。复习期间最好能有一个固定的环境，和一些固定的研友，在一个固定的地方，最好不要一

14、天一个地方打游击，抱着那么多书太累，而且万一找不到座，会严重影响情绪，当天就别再想怎么看书了。几个人一起复习，互相有个照应，最好不要一个人，太孤单。介于本人较懒，就找了几个比较勤奋的哥们一起，对自己有个督促，感觉效果甚好。 关于辅导班，再次申明，最好不要报。数学、英语辅导班上课占用了大量的时间，自己的复习时间被严重压缩，课上的效率又低，所以没有多少用，还会干扰自己的复习思路。政治辅导班，那几个破人就会吹牛，好像自己是哲学泰斗、马恩传人似的，脸皮厚得都能防核辐射。 关于情感问题，在复习期间最好淡定点，静下心去复习。也别想着一箭双雕啥的。 复习大概分三个阶段， 36月、基础：本学期专业课程的学习不

15、能马虎，对复试还是用得着的，最好在大三下将选修必修课修完，大四上不用再去上课。利用这学期的空闲时间复习数学和英语的基础部分，电路和政治暂时不看。 79月、强化：这一阶段最重要。数学看全书，电路看课本。政治不看。 1012中旬、提高：多做多练。数学做400题、真题，两遍以上。电路做红宝书、试题选编、真题，两遍以上。政治看书、做选择题。 12中旬考前：复习个人笔记。适当做题，保持状态。 数学一 推荐资料： （必备）李永乐复习全书+真题+400题 （选备）高等数学（没必要用最新版的），同济大学出版社 线性代数，我用的是清华版，感觉题目有点难度，不建议使用 概率与统计（第三或第四版都行），浙江大学出版

16、社 陈文灯复习全书 冲刺135分（李永乐编） 最后冲刺5+3（李永乐编） 3、4、5、6月。 利用空闲时间，将三门的基础教材都看了一遍，课后习题选做了一些，巩固知识点。此阶段，没必要做太多题目，只要基本掌握知识点即可，不要挖的太深，把精力留在后头再用。高数、线代、概率三个部分加起来内容太多，复习完后面，前面的基本上忘光，这很正常。每个部分复习完后，梳理一下知识点，把公式定理之类的简单整理出来，第一次笔记做的简单一点即可，以后慢慢补充。虽然市面上有卖数学公式手册，没必要买，自己写的才有感觉。 7、8、9、10月。 李的书写的比较简单，不过有的地方太简单了反而显得幼稚；陈的书比李的难，有点偏怪，搞

17、数学竞赛可以参考，用来考研的话不太合适。个人感觉，数学底子一般的，专看李的书足矣，陈的书会让你头大；底子好的可以两者兼看，以李为主、陈为辅，比较一下，自然会有新的收获。李的不足可由陈的得到弥补，陈的微积分、中值定理部分写的很好，线代很烂，而李的线代不错。 用大约两个月的时间将李的全书看一遍，例题仔细看，各章习题简单做一下。争取掌握每个知识点，不会的查看课本，太难的地方做个标记，留着以后再搞。每个部分复习完，做个小结，补充整理笔记，再看下一部分。看完李的全书后，对所有知识点基本有了点印象，可以考虑把整理出的知识点简单复习一遍，加深印象，或者直接下一步。 接着针对性的复习，看陈的全书，重点看高数部

18、分，此时没必要买全书，只买陈的高数讲义部分即可，看旧的也可，差别不大。李还有一本线代讲义，感觉还不错，比他全书的讲得要好些。概率部分，把李或陈的全书部分再看一遍即可。还是那句话，每个部分复习完，做个小结，补充整理笔记，再看下一部分。 此部分在10月底能否完成无所谓，没必要太在意时间出入，自己把握。 10、11、12月。 此阶段需要大量的做题来巩固知识点。10月底开始做十年真题，最好严格按照考试时间（8:30-11:30）来完成，忘记的知识点不要再看书，做题时标记下、回头多注意。做往年试卷一般都感觉很简单，一个多小时就搞定了，不过不要高兴太早，后面有的是打击。每做完一套对一下参考答案，仔细分析答

19、案的解题过程，题目评析，清楚每个题所考察的知识点。此过程重点是评阅试卷，而不是简单的做一遍，因为这些题目不会再次同样出现在你的考卷上。真题由近年的开始，往前做。最近两年的不要做，留着以后当模拟卷用。真题做完一遍后，认真总结，结合前面标记的题目查漏补缺。 然后开始做400题。此十套题目比真题难度略大，三小时内难以完成，没必要像真题那样认真对待。个人感觉，400题虽然号称模拟卷，但它只是模仿上一年的考题思路及难度去出题的，所以对于下一年的考卷并没有传说中那么大的预测能力。当时做完400题，备受打击，信心全无，有种撞墙的冲动。有不少不会的题目，自己一定要认真琢磨，实在不会找人讨论。400题每道题考察

20、的知识点都很多，并且不再仅是考察知识点的堆积而是注重它们间的联系，所以必须得熟练掌握各个知识点的本质，才能将其串起来，也就是所谓的融会贯通。 把真题、400题再做一遍，差不多就到12下旬了。冲刺135分，还有较老的真题，可做可不做。数学需要大量的做题，但是不需要题海战术。把经典的题目多做几遍收获将更多。 12、1月 最后几周，没必要再大量做题了，每天适当做一些，练练手感不要太生疏即可。可以考虑买一下李永乐的最后冲刺5+3，随便做做。我当时买了，不过由于时间原因，一题未做。看看自己整理的笔记，大体翻一番全书，差不多就可以考试了。 英语 我花在英语复习上的时间算是最多的，本以为复习的还行，呵，最后

21、才考了57分，我就不多谈了，伤感情。有些时候，付出了未必就有收获。 政治 没怎么太重视，没报辅导班，没背大题，最后买了那么多的模拟卷都没做几套。选择题是大头，50分，一定要多做多练，考好了总分就上来了。后面的大题在于平时的积累，不是一天两天就能背出来的，平时多关注国家大事，多学点官腔套话。 电路 电路考的还不错，我就多说几句废话。 推荐资料： 电路原理.第二版.江缉光.清华大学出版社 电路原理学习指导与习题集.徐福媛.清华大学出版社.（传说中的红宝书）电路原理试题选编.第二版.清华大学出版社.（红黄皮） 历年真题 卡西欧fx-991es plus.可以算矩阵、复数、解高次方程。 清华电路的题目

22、一般比较正规，不会太偏太怪。不过题目很多，课本上的知识点基本上一个不漏，十多道大题，计算量特大，3小时内不怎么深入思考，一直很顺利的做，勉强完成。所以必须对各种题型熟练掌握，读两遍题后基本上就该能反映出该如何解答。而且吧，题目中的参数往往故意给的很挫，算出的结果连自己都不敢相信。建议买个好点的计算器，虽然贵点，但可以省去不少功夫。个人感觉当年试题与近两年的试题有不少相似之处，或者是考察的知识点相同。由于3年内的真题一向不外漏，多是回忆版的，有能力的就多活动、多打听。 7、8月 复习清华的主教材，从头到尾，仔细看一遍，由于大二时学的电路内容太少，连清华的一半都不到，好多地方都是预习而不是复习。课

23、后习题选择性做一些，巩固知识点。不会的就标记下，由于没有详细答案，就没必要在那里太纠结，以后再来解决。书本看完后，将各章内容梳理一下，整理笔记。 9、10、11月 看课本主要是熟悉一下基本概念。接下来看红宝书，要学会解题方法及技巧。红宝书的例题很经典，每个题都值得仔细分析。后面的习题太多了，又没有详细的答案，选做吧，做奇数的或偶数的即可。感觉不错的题目，有必要多回味的就标记下，以后多看几遍。红宝书看完后整理一下知识点，补充笔记。 接着做试题选编。书中的题目都是从历年考卷中抽取的，值得仔细研究一下，尤其是作者的分析过程，有的题目给出了多种解答思路，务必都掌握。把所有题目都做一遍，感觉好的题目也要

24、标记一下。做完后整理知识点，补充笔记。 接下来可以做一下往年真题。较老的试卷用处不大，做一下近几年的就好，尤其是最近的年份价值最大，如果你有本事能搞到的话。试题选编第一版后附了99、00、01三年的真题，第二版后附了05、06、07三年的真题。网上可以买到20年内的试卷和答案。感觉没必要买，有不少题目印刷错误，至于答案，更是错了一半以上，易题计算错、难题不会做。07年以后的试题，难度明显大增，08年的我做了4个多小时，做完后压力巨大。 做真题时，仿照考试要求，定好时间，在白纸上答题，草稿纸上演算。要注意训练解题速度，慢慢练、逐渐加快。我大概做了10份，然后从试题选编中一题一题的找到标准答案。

25、11、12月 接下来，做第二遍红宝书，做例题，把习题中第一遍未做的给做了，若之前做完了的可以考虑选做一些。之前标记的题目重点看。 试题选编也要再做第二遍。之前标记的题目重点看。此时再把感觉很简单的题目划去，以后不须再看了。做完后整理一下笔记。看第三遍试题选编，把未划去的题目再看一遍，若能熟练掌握的就划去，否则留着。重复几遍，基本上就不再有剩的题目了。有不懂的地方找人讨论或请教老师。 1月 适当做题，保持状态。看看红宝书，笔记，还有标记的题目。准备考试。 总成绩=初试成绩+英语口语（100x0.5）+专业笔试（100x1.5）+面试（100x3） 满分1000，按总成绩排名，依次录取。 因此，复

26、试很重要，感觉初试考的还不错的，最好早做复试准备。我当时考完后就光顾着玩了，成绩出来后也是，没怎么太在意复试，一直到去了北京才发现情况不妙，结果复试果断悲剧，由第1被刷到了十多名。勉强算进了。 .【篇三：一位清华学生的报告】xt一位清华在校生的报告 各位同学好： 今天，我非常荣幸的站在这里给大家做一个关于高中学习方面的报告,下面我将通过一些事例向大家说明我们将会在高中遇到的一些问题及处理办法。我希望大家从我的报告中吸取经验教训，少走弯路，并且为自己树立目标，坚定信心，最终走进理想的大学。 我们如何确定目标，树立理想 我在高一的时候有这样一种困惑：我的目标是考上好大学，但是我要考好大学为了什么，

27、我们为什么一定要走求学这条路? 小时候的答案是“为了中华民族的伟大复兴”，好多家长的答案是“为了光宗耀祖”，好多老师的答案是“为了你们将来的前途”这里我举几个例子证明这个观点：我在清华电子系的一个师兄刘鸿，他通过自己一年的钻研在去年全国大学生挑战杯科技竞赛上获得特等奖第一名，他的专利“人体生物传感芯片被一家企业以300万元买走。看看吧，一名大四的本科生就已经身价百万了，这样的例子在清华很多。 邓小平说：“科学技术是第一生产力”，不错，再给大家举一个个例子：我们都玩过的那种红光激光笔，我前几天在市场上看到最低的一款售价是3元人民币。我们系信息光电子所做的一个项目“绿光半导体激光笔”，现在在美国买

28、一支200美元。事实上成本也就10元人民币，但是我们做来了别人没有，我们就可以决定一切。 我查阅了一下福布斯财富杂志，中国大陆35岁以下的白手起家的亿万富豪100都是靠科学技术起家的。说到这里文科生可能有点不高兴了，都是靠理工科的科技，我们文科生怎么办啊?别急，我这里还有一个例子：这位同学是清华经管学院朱镕基教授的博士生一文科生，现在是中国招商银行的副行长，今年只有29岁。他因为在一个月时间内解决了河北一个城市建行的十几年的呆帐坏帐，被朱镕基院长破格提拔。他获得重用所依靠的就是自己的出色的专业知识和专业技能。 我们现在应该明白自己今天的努力是为了什么了，我们也应该坚定信念来争取考上一流的大学了

29、。现在的问题是我们要考什么样的大学? 现在好多同学可能心里没有什么概念，你们的成绩的确也可以考上不错的大学，但是不同大学之间的差距我们必须心里有数。名牌大学的学风、师资力量、科研经费是一般的重点大学没有办法相比的。全国排名三十名之后的大学对于你们来说就太差了所以我希望大家都把自己的目标定的高一点。不要怀疑自己的能力，举我自己的例子，我在高一入学的时候曾经排在年级140多名，后来有一次还到过200名。但是我从来都认为我将来一定会走进清华，并且向这个目标不懈的努力。我现在的大学同学好多都有我这样的经历。信念是一种非常奇妙的东西，当你从骨子里认定你是清华的水平，像自己的行动上就会处处表现出准清华的素质。现在我想大家对自己的未来都应该心里有数了，那么我们现在应该做些什么呢？ 我在高中遇到的几个问题以及解决方法 (一)偏科问题 这里我总结出我在高中时代遇到的几个很烦的问题，当时怎么也