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1、求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题只要连接这两点与直线的交点即为所求13.4 课题学习 最短路径问题基础知识if車技能f 厂 一 .亠 r nr-rr I】I f J rz jr I s j f i j r ji t? x j j V f；1 .最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A，B分别是直线I异侧的两个点，在I上找一个点C,使CA + CB最短，这时点 C是直线I与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另

2、一个 点，则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A, B分别是直线I同侧的两个点，在I上找一个 点C,使CA + CB最短，这时先作点B关于直线I的对称点B贝山点 C是直线I与AB 的交点.Br为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一 点 C,连接AC,BC,BC，证明AC+ CBVACtB如下：证明：由作图可知，点 B和B关于直线对称，所以直线I是线段BB的垂直平分线.因为点C与C在直线上，所以 BC= BC, BC=BC在ABC 中,AB iAC+C,所以 AC+ B CAC + C ,所以 AC+ BCvAC -CB.【例1 在图中直线I上找到一点M ,使它到A, B两点的

3、距离 和最小.分析：先确定其中一个点关于直线I的对称点，然后连接对称点 和另一个点，与直线I的交点M即为所求的点.解：如图所示：(1)作点B关于直线I的对称点B ;(2)连接AB 交直线于点M .(3)则点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题 .基本方法塘本fig力JJ J fl K iM F A N f F A J Hf K A X l N ifJ JJ2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为 一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路， 不论题目如何 变化，

4、运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和 最小这个核心，所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对 称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用 的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而 忽略题意要求，审题不清导致答非所问.3.利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一 条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最 大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处 构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明， 通常根据最大值或最小值的情况取其中一个

5、点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时， 可以通过平移河岸 的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所 连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不 在一条直线上的两条线段转化到一条直线上， 从而作出最短路径的方 法来解决问题.【例2如图，小河边有两个村庄 A, B,要在河边建一自来水 厂向A村与B村供水.A.E F(1)若要使厂部到A, B村的距离相等，贝S应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A, B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A, B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等”，

6、又要在河边，所以作 AB的垂直平 分线，与EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间 线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与 EF的交点即为所求.解：(1)如图1，取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线， 交EF于P,贝S P到A, B的距离相等.也可分别以 A、B为圆心,以大于2AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与 EF的交点P即为所求.如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A，连接AB交EF于P，则P到A, B的距离和最短.【例3】 如图，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座与两岸垂直的桥

7、，应如何选择桥的位置才能使从 A地到B地的路程最短?思路导引：从A到B要走的路线是A M N B,如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要 AM + BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移 MN到AC,从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位 置，MN即为所建的桥.解：（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽.连接BC与河岸的一边交于点N.（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点 M 则MN为所建的桥的位置.思维拓展0/新应川 fV石Bi F说i 彳石:i fj-.A ivc x7前亍俑*; yriSr;4 .生活中的距离最短问

8、题由两点之间线段最短（或三角形两边之和大于第三边）可知，求距 离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法 转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条 线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段， 如图，AO + BO =AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本 方法.【例4】（实际应用题）茅坪民族中学八班举行文艺晚会，桌 子摆成如图a所示两直排（图中的AO, BO）, A0桌面上摆满了橘子, 0B桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然 后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路 程最短?ClA 0irB图

9、a解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点Ci，作D点关于OB的对称点Di, 连接CiDi，分别交OA, OB于P, Q,那么小明沿C-P-Q-D 的路线行走，所走的总路程最短.5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的 关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点， 然后连接对称点和另一 个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求.根据垂直平分线的性质 和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.【例5如图所示，A, B两点在直线I的两侧，在I上找一点

10、C,使点C到点A、B的距离之差最大.B分析：此题的突破点是作点A（或B）关于直线I的对称点A（或B）, 作直线A B（AB）与直线I交于点C,把问题转化为三角形任意两边之 差小于第三边来解决.解：如图所示，以直线I为对称轴，作点A关于直线I的对称点 A,AB的连线交I于点C,则点C即为所求.理由：在直线I上任 找一点C（异于点C），连接CA, CA, CA,CB.因为点A, A关于 直线I对称，所以I为线段AA 的垂直平分线，则有CA= CA,所以 CA CB=CA -CB= A B.又因为点 C在上，所以 C A = C A 在8 BC 中,C A C B= C A -CBvA B,所以 C A -C BvCA CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来 说明最值问题是常用的一种方法.