数学与应用数学毕业论文赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析.docx

1、数学与应用数学毕业论文赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析xx大学毕业论文赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析专业名称：数学与应用数学班 级： 学生姓名： xx 指导教师： xx 完成时间： 摘 要概率论是一门研究随机现象规律的数学分支，概率论与以它作为基础的数理统计学一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着重要的作用。概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展得到发展。本文从概率论与赌博的密切的发展联系到在彩票中数学的应用，阐述概率论在这两方面给我们的启示，并通过实例分析，弄清赌博与彩票陷阱的本质。本文大

2、体上分为引言、赌博中的概率问题、彩票陷阱的分析。引言中主要阐述概率论的起源及发展；在概率论与赌博部分中，阐述了概率与赌博的发展联系并通过实例来分析赌博中的概率问题；在彩票陷阱的分析中，主要通过彩票的获奖概率分析彩票陷阱的原理及如何看清彩票陷阱的本质。整篇论文的目的是为了深刻的阐述在赌博与彩票中的数学问题，通过典型事例对其深刻理解，把握规律。关键词 概率论；赌博；彩票陷阱；应用ABSTRACTProbability theory is a math branch which focuses on the rules of random phenomenon. Both probability t

3、heory and mathematic statistics which is based on probability theory has important effect on many fields, such as natural science, social science, engineering, military science, industrial and agricultural production and so on. People pay more attention to probability theory because it has precisene

4、ss on its theory and be taken as a widely use math branch. As the development of the technology, probability theory will be more developed. In this paper, it will through the analysis of the facts to discuss the essence of gambling and lottery trap in different ways. For example, according to the co

5、nnection between probability theory and gambling, this paper put lottery into the application of math and expatiate the revelation on probability theory. The paper divided into several parts, such as introduction, probability problem in gambling, and the analysis in lottery trap. In the introduction

6、 part mainly talk about the beginning and development of probability theory. In the probability theory and gambling part, expounding the connection of probability and gambling and analyzing the probability problem in gambling. In the analyzing of the lottery trap, it is mainly through the probabilit

7、y of bearing the palm in lottery to analyze the element in lottery trap and how to understand the essence in it. The purpose of the paper is deeply expatiating the math problem in gambling and lottery. It deeply understands the math problems through typical facts in order to hold the rules.Key words

8、 probability theory；gambling；lottery trap；application目录一、引言1二、赌博中的概率问题2（一）主要结论2（二）扑克牌分析32.1洗牌问题42.2桥牌游戏42.3升级游戏52.4抽牌问题6（三）其他例题分析63.1骰子游戏63.2轮盘游戏7三、彩票陷阱的分析8（一）定义8（二）彩票的基本分析82.1传统型92.2 乐透型10（三）抽奖陷阱的分析12四、总结14参考文献16赌博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析一、引言概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随

9、机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费马向一法国数学家帕斯卡提出下列的问题：现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局就算赢了，当赌徒A赢a局a s，而赌徒B赢b局b m,假定选票的一切排列次序是等可能的,则在计票过程中,A的票数始终领先的概率为(n-m)/(n+m)。2.推论若连续投掷一枚硬币,其正面出现的概率总是p,则P首次相等的时刻=2n =3.定理1若一个赌徒在每次赌局中分别以概率p及(1-p)赢得一元或输掉一元,开始有n元,则他输光之前恰好赌了n+2i局的概率是。证明:首先对n+2i局中赢得局数取

10、条件,利用全概率公式P恰好赌n+2i局输光= 恰好赌n+2i局输光|在n+2i局中赢k局P在n+2i局中赢k局=恰好赌n+2i局输光|在n+2i局中赢i局P在n+2i局中赢i局=4.定理2(“赌徒输光”问题)甲乙两个赌徒进行一系列的赌博,在每一局中,甲获胜的概率为p(0 p1),甲输的概率为q =1-p,假设各局赌博的结果是相互独立的,且没有和局,开始时甲有a元,乙有b元,其中a与b均为自然数,在每一局结束后,失败者付给获胜者一元钱,赌博一直进行到有一个人全部输光为止,则甲输光的概率为则乙输光的概率为1-,结果表明,当甲乙两人的赌博本领相当时,甲乙两个输光的概率分别为b/a+ b和a/a+ b

11、,即谁的初始赌本大谁就处于有利地位;当甲乙两人本领不相当时(即pq),通过一些数据统计可以看出,即使在赌本上占有明显优势,若本领差的话,结果仍会很糟糕.。5.定理3若一个赌徒在每一局赌博中以概率p赢一元,以概率q =1-p输一元,假定各局赌博是相互独立的,赌徒开始有i元,则P他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元 =证明:使用条件概率公式有P他在下一局赌博中赢|目前的赌金为i,他最终到达N元=P他在下一局赌博中赢,目前的赌金为i,他最终到达N元/P目前的赌金为i,他最终到达N元=P他目前的赌金为i,最终到达N元|在下一局赌博中赢P在下一局赌博中赢/P目前的赌金为i,他最终到达N元=

12、（二）扑克牌分析接下来我们通过扑克牌的几种玩法，来看一看，在日常的一些赌博过程中的概率论问题：2.1洗牌问题例1.把一副扑克牌52张洗匀，求四张A连在一起的概率。解：洗匀一副扑克牌是指52张牌的各种各样排列出现的机会都一样，将每一个排列看成一个基本事件，则基本事件总数。 当对52张牌依次查看时，找连着的四张A只要找到第一张A就可以了。这第一张A能在第一张到第49张牌的49个位置上出现，故有利场合数为从而所求概率为。例2.洗牌(52张)，求(1)结果“A23K；A23K；AK；AK”出现的概率;2)前13张恰为“A23K”的概率。解:基本事件总数仍为52!(1)此时的排列对牌的花色没有要求，只与

13、牌点数有关，因A的四个位置是固定的(第1 ,14,27,40号牌)，则A的排法有4!种.同样2到K各张扑克牌的排法都有4!种，由乘法原理得有利场合数为种。从而所求概率。(2)前13张牌的每一张都有4种取法，而其余的39张牌可进行全排列。由乘法原理得有利场合数，故概率。2.2桥牌游戏例：打桥牌时把52张牌分给四人，求(1)有人得到13张黑桃的概率;(2)有人得到4张A的概率;(3)一人得到13张黑桃而另一人得到3张A的概率。解：（1）基本事件数为，符合条件的事件数为故。（2）基本事件数为，符合条件的事件数为故（3）先考虑指定四人之一抓到13张黑桃，对此人来说只有一种选法。再指定三人之一抓得3张A

14、,抓牌方法有种.而这两人的选法共有种故. 2.3升级游戏例1.升级游戏(54张牌，底牌为6张)，底牌中有“王”的概率。解：底牌中有王，即在洗牌时将至少一张王牌放置于下方六页牌之中。将54张牌的每一种排列看作一次随机试验，则基本事件总数为符合条件的事件数为故所求概率为。例2.升级游戏，(1)求有人抓得双王的概率;(2)求有一人得到4个A，另一人得双王，其余五人各有五张红桃的概率。解：升级游戏中，每人可得到12张牌，底牌有6张，按结论1求得基本事件。（1）有人得双王的事件有故所求概率为（2）从4人中选出2人(称为前二人)获得4个A和双王共有种选法。这两人确定后，从12张红桃中任选十张分给后两人,共

15、种,此二人的各自另7张牌可在其余36张中选取，方法有种。再将剩余的24张分给前两人和留底牌，分法有种。故所求概率为。2.4抽牌问题例1.从洗匀的扑克牌(52张)中接连抽出二张(抽出的牌不放回).求第二张才抽到红桃的概率。解：设A表第一张未抽到红桃，B表第二张抽到红桃，则，所以第二次抽到红桃的概率为例2.从一付牌中随机抽四张牌是同花顺的概率是多少?解：首先抽到非大小王，然后抽4花色之一种,然后在此种类中抽4连张(10种，可直接数出来, 每种4!种排列，共240）故依次相乘得 ： 本部分通过对四类扑克牌的玩法进行概率分析，对在日常生活中赌博的概率问题有所了解，在这里仅列出具有代表性的几类扑克牌游戏

16、中的概率问题。扑克牌游戏法多种多样，可设计更多不同的概率问题。（三）其他例题分析3.1骰子游戏规则说明：一般采用三枚骰子和一个骰盅，简单分为大小两门，规定4 点至10点为小，11点至17点为大。若押小开小，押小者可获一倍彩金，押大者则输，赌注（现金筹码）归庄家；若押大开大，则类推。若庄家摇出全骰（即三枚骰子现出一样的点数），赌徒无论押大押小皆输。分析：I：首先分析若庄家摇出全骰（即三枚骰子现出一样的点数）的概率：各点数组合共有种，全骰共有6种，其概率为：再分析小的概率，逐个分析：4点有（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）三种组合，则其概率为5点：有（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1

17、）（2，1，2）（2，2，1）（3，1，1）六种组合，则其概率为6点有（1，1，4）（1，2，3）（1，3，2）（1，4，1）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）（4，1，1）九种组合，则其概率为7点有（1，1，5）（1，2，4）（1，3，3）（1，4，2）（1，5，1）（2，1，4）（2，2，3）（2，3，2）（2，4，1）（3，1，3）（3，2，2）（3，3，1）（4，1，2）（4，2，1）（5，1，1）则其概率为以此类推8点的概率为9点的概率为10点的概率为则小的概率为则由此可知大的概率为。在实际的赌博过程中，会因为庄家的技术等原因改变概率的分布，在此就不做考虑了。3

18、.2轮盘游戏规则介绍及分析：轮盘是一种十分刺激的游戏。它由一个轮盘、一个象牙制小球以及一张赌桌构成。轮盘以转轴为中心转动，并且分成 38 个（美式轮盘）细长沟道。36 个沟道分别编号为 1 至 36，一半是红色一半是黑色。另外两个绿色沟道分别标为 0 和 00。 玩家按照赌桌上的赌区下注。一旦赌桌上的赌注总额超过最小赌注，小球就会被掷进轮盘。小球进入任何一个沟道并停止卷动之后，输赢即确定下来。无论哪一轮游戏，玩家所下的赌注均不能超过最大赌注。 骤眼看轮盘上数字的排列是完全随机的！较明显是红色和黑色单双数的比例是不同的，其实数字的分布排列是经过小心处理的，而轮盘上每一格的光滑度及大小都是一样的，

19、多数一对的数字都有另一个数字相隔，这对数字总和是37或39。赌场优势 美式轮盘有38 个号码，如果你赌一个号码，赢的几率是37：1，如果你投1元赢了，赌场赔你37元，你共有38元，这样就是公平的游戏；实际上赌场只赔你35元，你共有36元，2元留在赌场的口袋里，这就是赌场的优势，即2/385.26。 所以以上美式轮盘规则，投注赌场优势是5.26%，除了0-00-1-2-3的投注组合，因为其赌场优势为7.89%。但在实际的生活中，由于种种的人为因素，概率往往不符合例题的分析，作弊等现象屡禁不止，所以人们常说：“十赌九输”，就是在说明在人为因素介入的情况下，往往最终获胜的是庄家，而玩家才是真正的受害

20、人。三、彩票陷阱的分析（一）定义彩票陷阱又称作抽奖陷阱是指用概率极小的中奖吸引消费者，以后去更大的利益，受害者通常是消费者。与古典概率问题联系紧密。但在当今我国社会中彩票被用来进行慈善事业，在这里我们只考虑其概率不研究它的陷阱设置。（二）彩票的基本分析近年来,“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使得越来越多的人加入到“彩民”这一行列.目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种,下面对这两种类型彩票的具体购买方式和中奖方式进行叙述:2.1传统型2.1.1玩法和设奖方式传统型彩票玩法比较简单,2元买一注,每一注填写一张彩票。每张彩票由一个6位数字和一个特别号码组成。每位数字均可填写0、1、9这1

21、0个数字中的一个;特别号码为0、1、2、3、4中的一个。每期设六个奖项,投注者随机开出一个奖号一个6位数号码,另加一个特别号码即04中的某个数字。中奖号码规定如下:彩票上填写的6位数与开出的6位数完全相同,而且特别号码也相同特等奖;6位数完全相同一等奖;有5个连续数字相同二等奖;有4个连续数字相同三等奖;有3个连续数字相同四等奖;有2个连续数字相同五等奖。每一期彩票以收入的50%作为奖金。三、四、五等奖的奖金固定,特、一、二等奖的奖金浮动。例如,如果一等奖号码是123456,特别号为0,那么各等奖项的中奖号码和每注奖金,如下表所列:奖级中奖号码每注奖金特等奖1 2 3 4 5 6+0(奖金总额

22、-固定奖金)65%注数88万元(保底)500万元(封顶)一等奖1 2 3 4 5 6(奖金总额-固定奖金)15%注数二等奖1 2 3 4 52 3 4 5 6(奖金总额-固定奖金)20%注三等奖如:2 3 4 5等共3组300元四等奖如:4 5 6等共4组20元五等奖如:4 5等5组5元2.1.2中奖概率以一注为单位,计算每一注彩票的中奖概率。特等奖前6位数有106种可能,特别号码有5种可能,共有1065=5000000种选择,而特等奖号码只有一个,因此,一注中特等奖的概率为:；一等奖前6位数相同的,只有一种可能,故中一等奖的概率为:；二等奖有20个号码可以选择,故中二等奖的概率为:；三等奖有

23、300个号码可以选择,故中三等奖的概率为:；四等奖有4000个号码可以选择,故中四等奖的概率为:；五等奖有50000个号码可以选择,故中五等奖的概率为:。合起来,每一注总的中奖率为:这就是说,每1000注彩票,约有54注中奖(包括五等奖到特等奖)。2.2 乐透型2.2.1玩法和设奖方式同样也是2元一注,每一注填写一张彩票,从01、02、33这33个号码中,选取7个号码。每一期开出7个号码,以及一个特别号码。中奖号码如下表所示：奖级基本号码特别号码每注奖金一等奖(顺序不限)(奖金总额-固定奖金)75%注数二等奖 (顺序不限)(奖金总额-固定奖金)10%注数三等奖(顺序不限)(奖金总额-固定奖金)

24、15%注数四等奖(顺序不限)500元六等奖(顺序不限)10元七等奖(顺序不限)(顺序不限)5元2.2.2中奖概率也是以一注为单位,计算一注中奖的概率。为简单起见,我们建立一个摸球模型:假设袋子里有33个球,其中有7个红球,1个黄球和25个白球。红球为中奖号码,黄球为特别号码,白球为其他号码。于是,每一注彩票,就相当于一次从袋子中摸出7个球来,如果摸出7个红球,即为一等奖;摸出6个红球、一个黄球,即为二等奖;摸出6个红球、一个白球,即为三等奖;摸出5个红球、一个黄球、一个白球,即为四等奖;摸出5个红球、两个白球,即为五等奖;摸出四个红球、一个黄球、两个白球,为六等奖;摸出4个红球、3个白球,或者

25、3个红球、一个黄球、三个白球,为七等奖。因此,各个奖级选中的概率为：一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖合起来,每一注中奖的概率为：P=0.041784 8=4.17848%4.18%,即每10 000注彩票中,约为418注中奖(包括各个奖级)。由上面对两种彩票玩法中奖概率的分析可见，中奖概率极低，如果参与者被高额的奖金所吸引，其不断的投入只能换回很少的回报，一个理智的人不应该将中彩票作为自己发家致富的手段。（三）抽奖陷阱实例分析上面是对彩票及其中奖概率的分析，下面我们来看一看免费抽奖中的陷阱设制。我们通过实例对具体问题进行具体分析。下面是一个搞免费抽奖的地摊，玩家很多。其具体方法是:在一个碗中放有20个红白各半的小玻璃珠,参与者从碗中随意抓出10个小玻璃珠来,如抓到:1、10个颜色全同,即10个全红或10个全白,可得一等奖,奖金300元;2、9个颜色全同,即9个红色、1个白色或9个白色、1个红色,获二等奖,奖金30元;3、8个颜色全同,即8个红色、2个白色或8个白色、2个红色,获三等奖,奖金3元;4、7个颜色全同,即7个红色、3个白色或7个白色、3个红色,获四等奖,奖金2元;5、6个颜色全同,即6个红色、4个白色或6个白色、4个红色,获五等奖,奖金1元;6、5个颜色全同,即5个红色、5个白色,则罚款5元。乍一看来,这类抽奖非常优惠:一是免费抽奖,多抽