数学建模野兔.docx

1、数学建模野兔 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 关键词 种群繁殖 野兔 数学建模 稳定收获 异常现象 Logistic模型 生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=96.55894319694.508536.905686.005125.56

2、4955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。 并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如

3、鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。实习目的 学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。 问题重述 1、兔子的自然死亡。2、兔子天敌的种群变化。3、各种疾病的蔓延。4、人类的捕杀与破坏 问题剖析野兔生长问题。野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。然而通过读数据的观察发现。野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素：1、兔子的自然死亡。2、兔子天敌的种群变化。3、各种疾病的蔓延。

4、4、人类的捕杀与破坏。考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟模型假设上述野兔生长问题，我们假设：1、假设兔子不受到人类活动影响2、假设兔子没有收到传染性疾病影响3、假设兔子天敌不变那它是可以用logistic模型来模拟的分析与建立模型对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。 第一单调增区间T=0T=1T=2T=312.319694.5

5、08536.90568 第二单调减区间T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807 第三单调增区间T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。 模型求解 对于logistic连续模型，设微分方程为 ，, （1）其中参数a，b 需要通过拟合得到。（1） 的解为. （2）设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组 (3)这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得 (4)消去a 后得b 满足的方程 (5)解得

6、 . (6)代入(4) 的第一式得a 满足的方程 (3) 结论1、在T=0 到T=3 之间增长规律为logistic模型：.2、在T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic模型：.3、在T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic模型：.4、在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.模型检验本模型在模拟野兔的生长方面通过不同的时期段进行拟合，较为充分的体现在不同环境下的生长的情况，能够根据不同的环和情况，选择不同的阶段的模型来对野兔的生长情况进行模拟！这样对野兔的繁衍有着更好的监控提供依据和科学的预测！但是本模型

7、也不是完全能够模拟，智能提供较为全面的拟合，一旦环境改变为模型没有包括的情况则此时的模型就不可以对野兔的生长进行有效的拟合，简而言之就是不可以用此模型来预测野兔的繁衍！在这种情况情况下只能抽样等的实验方法才可确定。模型的优缺点优点：1 针对“野兔生长”问题，成功地建立解决这类难题的数学模型，并可立即运用到实践中去；2 仅用2个特征参数即圆满解决了较为复杂的分类问题。而且模型假设条件少，因而能准确地反映实际情况，可靠性高；3 采用解析法分析，逐渐深入，提高了准确性；4 突出特征，假设合理，避免了在一些细节问题上的纠缠；5 采用局部地区的野兔为样本，便于操作，省时省力，可操作性高；6 采用四个假设

8、，不多不少，恰好能满足题目要求；7 分区间拟合，准确度高；8 利用Logistic模型可以表征种群的数量动态。9. 能够根据不同的环和情况，选择不同的阶段的模型来对野兔的生长情况进行模拟10. 对野兔的繁衍有着更好的监控提供依据和科学的预测缺点：1. 变量不是很足，影响准确度；2. 数学模式单一，不能很好的对所研究的题目进行表达；3. 野兔样本数量不够，所研究的范围不够宽广；4所取样本有局限性，并不能很精确的代表整个野兔群的生长状况；5. 本模型也不是完全能够模拟，智能提供较为全面的拟合；6.环境改变为模型没有包括的情况则此时的模型就不可以对野兔的生长进行有效的拟合；7. 不能在整个时间段进行

9、拟合，要在每个单调区间上进行拟合；模型的改进方向及推广1、模型的推广:（1） 本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到的结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据；（2） 在求解第二问的时候，充分利用Leslie矩阵稳定性理论来求解应该让多少母野兔进行避孕注射，这些理论在差分方程中都是经典的理论，经得起许多事实的考验；（3） 第三问的求解中运用了计算机模拟方法来模拟移出野兔属于哪个年龄段，这样不仅求解方便、简洁（只需要把算法程序写好就可以得到结果），得到的结果与实际也更接近；（4） 第三问用计算机模拟得到数据后，又用理论去验证，这样使得结果更具有说服力；2、模型需要改进的地

10、方:（1） 因为假设了野兔性别是严格地1：1关系，而实际中不一定那么地严格是这样，所以如果能够把各个年龄段野兔的性别比例分别计算，那么模型的结果可能更接近实际；（2） 在进行计算机模拟时，最开始的随机数的产生个数只有几十个，这几十个随机数不能很好的反映各个年龄段的野兔所占的比重，这样势必会对结果造成一定的误差.（3） 环境改变为模型没有包括的情况则此时的模型就不可以对野兔的生长进行有效的拟合。（4）本模型也不是完全能够模拟，智能提供较为全面的拟合。分析不确定因素的影响（1）最初一两年避孕母野兔发情期增多，与未避孕母野兔产生竞争求偶的公野兔，使部分能怀孕的母野兔不能怀孕。而避孕的母野兔每月发情一

11、次，会扰乱了正常求偶的母野兔，这样会造成未避孕母野兔的繁殖率出现下降，避孕的母野兔数量应该减少。（2）随着时间的增长，如果持续使用避孕药，会使野兔的年龄结构发生变化，野兔的结构呈老龄化，所以随着时间的增长，要保证野兔群的稳定，避孕药的使用量必定会逐年减少直至禁用。对数学建模的理解数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微

12、的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。数学建模应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来

13、，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。编辑本段意义数学建模数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过

14、程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，实验和解释实际现象等内容。我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍

15、认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。应用数学模型应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象

16、力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路

17、，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机

18、有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生 积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“

19、短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑的辅导的作用。 课外小知识 野兔又叫山兔、草兔，因为它的毛色与草色相似而得名，种类较多，形态相似，习性相同。野兔的繁殖力很强，能适应不同的生活环境，所以分布很广，毛色棕褐，也有红棕色和暗褐色的、腹毛白色或污白色，前肢短后肢长、视觉佳、视野大，耳朵长，能作侧向扭动，听觉十分灵敏，能高度适应环境，隐藏自己。野兔喜欢生活在有水源有树木的混交林内、草原地区砂土荒漠区，尤喜栖于多刺的杨槐幼

20、林中，凡具备以下三个条件的地带，野兔数量多，否则就少；l、具备藏身的多刺洋槐幼林，生长有小树的荒滩等。2、既能嘹望，又不太影响奔逃的地带，茂密的高林带地区高草妨碍它的嘹望和奔逃，陡坡不利于它的活动。3、食物的附近有水源，豆类农田和萝卜白菜的菜地附近的荒坡，野兔常常很多，水对野兔的影响很重要，所以缺水地区野兔很少。野兔没有固定的栖息地，育仔期除外。平时过着流浪的生活。春、夏季节在茂密的幼林和灌木丛中生活，秋、冬季节，百草凋零，野兔喜欢藏在土疙瘩，或其它认为合适的地方。它用前爪挖成浅浅的小窝藏身，这种小窝，长约30厘米，深10厘米以下，刚好将前后肢放进，身子则露出外边，前浅后深，以簸箕状，脊背比地

21、平稍高，凭保护色的作用而隐形，受惊逃走或觅食离去，方便、迅速。野兔生性机警，听觉和视觉灵敏，逃跑迅速，隐藏严密，繁殖力强，敌害虽多，但能捕到它的动物很少，它昼伏夜出，特别喜欢走多次重复已经走过的固定老路。从黄昏开始，整夜活动，有时天明尚未归宿，白天天色阴暗或细雨蒙蒙、路断人稀时，也出来活动。它食性复杂，随栖息地环境而定，一般喜食嫩草、野菜和某些灌木的叶，冬吃草根，在农田附近活动的野兔，盗食白薯、蔬菜和刚出土的豆苗，黄豆苗、蚕豆苗、大豆苗危害尤重。它每年产仔三、四胎，每胎56只，它最不愿到潮湿处。对这次小组数学建模的总结数学建模收获很多，让我们明白：一、虽然每个人能力有大小，水平有高低，但不管怎

22、样都应该尽全力，永不放弃（包括一丝放弃的想法）。二、建模考验的不全是知识，还有毅力、沟通能力、团队合作能力、创新能力等。 三、数学建模中三个队友之间应该相互理解，相互鼓励，相互包容，绝不能因为意见不同而产生敌对情绪！团结合作和尊敬队友，建模是三个人的竞赛，不是一个人的表演赛。同时不管你的队友水平高低，都要尊敬对方。在一个团结奋进积极的氛围下合作解决问题是非常重要和必要的。四、做任何你认为对的事情如果一旦决定下来，就应该一直做下去，不跟风，不动摇，再次，合理安排时间和作息。如果一开始就一味地做题，也不休息。最后会非常劳累并且精神状态不佳。该休息还是要好好休息啊。建模只是个比赛，不是打仗。五、这次

23、活动的开展，让我看到了我们当中有些学生求知欲旺盛的一面。以前总是听一些老师抱怨学生没有上进心，对学习丧失动力等等的话语。不过，我发现在这次活动中，有一部分学生确实是对数学感兴趣，并真正愿意参加类似活动的。六、经常有同学问，图书馆里怎么找不到类似的书籍，总是告诉他们说这门课是一门数学专业课，我们学校没有数学专业等等的话语，但心里总有一种想法。我们是不是应该购买一些建模方面的书籍了呢，如果我们学生在图书馆里都找不到他所学的这门课，不知道他会怎么想，反之，如果他在数学类的图书中每每看到数学建模这四个字，举办这项活动时，学生的踊跃性应该会更强，活动中，我们学生能经常性的阅读一下这些书籍，活动的效果应该

24、会更好。七、深刻理解题中每句话甚至每个字的暗含意思。只有真正理解问题了才能提出解决问题的正确方法。同时为了能在竞赛中取得好成绩，了解和学习下面知识是很有必要的：1）一门编程语言：Matlab、C、C+等.2）运筹学：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、决策论、对策论、排队论、存储论、可靠性理论等。3）小波分析、神经网络、模糊数学和遗传算法。4）模式识别和图像处理。 结束语 只要你感兴趣和做好充足准备，你会收获一大笔“财富”。真可谓：一次参加、终身受益。是的,这是一个征程!希望加强与巩固数学知识的掌握,希望在数学建模能学到更多,所以我们选择了数学建模,而选择了数学建模其

25、实也就意味着我们选择了行动,选择了奋进,选择了为梦想而战的激情。广大建模爱好者热情似火，踊跃参加，因为他们懂得：这研讨学习的过程正是通往成功彼岸的奋斗之路！万丈高楼平地起。成功的那一刻，豪情万丈，激情满怀；登顶的那一瞬，万众瞩目，百转千回。可是没有辛勤耕耘，何来累累硕果？荣誉固然非常令人向往，但若缺少了知识储备与能力培养的过程，那竞赛获奖岂不成了无本之木，无源之水？数学建模知识的学习是一个系统的工程，需要我们耐得住寂寞，始终如一，坚持到底。在百忙之中抽出时间参加数学建模研讨，说明数学建模真的是我们的兴趣所在，但是我们的热情一定要持久。开始时刻，也许有人会感觉深奥难懂也许有人会感觉枯燥无聊，但是

26、没关系，只要你努力去做了，只要你坚持下来了，只要高楼的地基打坚固了，宏伟的大厦终将巍巍屹立！我们终将摘得胜利的果实！万事开头难，数学建模知识的学习是这样，我们研讨班的成长亦如此，也许我们的开展形式还不完美，也许我们的时间安排还不完善，但是我们在努力，我们在奋斗，因为我们在憧憬，憧憬着我们的美好未来，崇敬着建模的灿烂明天！ 朋友们，我们只愿我们的付出能为你的建模成长之路带来帮助，同时我们的辉煌也离不开你们的大力支持。希望大家有什么意见或者建议多向我们提出，让我们携起手来，共同祝愿我们协会的明天会更加光明！最后，想说的是，类似的活动学院应该多做一些，每个专业都有它独有的特色，也都有它独有的活动，如

27、果把我们的学生积极引导起来，他们应该会爱上他所学的这门课，爱上他所学的这个专业，进而爱上学习这个终身受用的朋友。附录： 求参数a，b的MATLAB程序：Function a，b， q=hare(p，t)% 输入单调的连续三年数量p和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b和下一年的数量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2)q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T)）;在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，

28、3）分别计算得到二组a，b值0.99999629543280 0.09999899065418 1.00000189673056 0.10000006995945 在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547 在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299当取a, b为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.参考文献：1 赵 静 数学建模与数学实验（第2版）M.北京：高等教育出版社 20032 周晓阳 数学实验与Matlab M.武汉：华中科技大学出版社 20023 郑 谏 当代数学的若干理论与方法 M.上海：华东理工大学出版社 20024 李尚志 数学建模竞赛教程 M.江苏：江苏教育出版社 1996