中考难点破解难点优质课 四 定点 定值 探索性问题.docx

1、中考难点破解难点优质课 四 定点 定值 探索性问题听课手册 破解难点优质课 四 定点 定值 探索性问题破解难点一定点问题1.参数法:参数法解决定点问题的思路:(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.案例(选取六年全国卷)关键步2017全国卷 设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过

2、C的左焦点F.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),【关键1:用参数表示P,Q的坐标及向量,】=3+3m-tn, =(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,所以=0,【关键2:根据(1)中点P的轨迹方程,在=1的前提下,证明=0】即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【关键3:利用平面内过一点作一条直线的垂线的唯一性,即得直线l过点F】2.由特殊到一般法:由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的

3、特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.案例(选取六年全国卷)关键步2017全国卷 已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P41,中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即

4、(2k+1)+(m-1)=0,解得k=-.【关键2:设出直线l的方程并与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理及条件找到直线l中两个参数的关系】当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).【关键3:将k与m的关系再回代变形,得到直线过定点】例1 2018安徽淮南二模 已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P(m,5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(4,t),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MDME,判断直线DE是否过定点,并说明理由.总结反思 对于满足一定条件的

5、曲线上的两点的连线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,证明直线或曲线过定点,一般有两种方法:分离参数法,一般可以根据需要选定参数R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1(x,y)2+f2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)为关于x,y的二元一次关系式),由上述原理可得方程组从而求得该定点;特殊探求法,一般先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,再证明该定点在该直线或该曲线上(将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立).变式题 已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方

6、程;(2)设P是椭圆C的右顶点,过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为-,求证:直线AB恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.例2 2018南昌模拟 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P,直线l与椭圆交于A,B两点(A,B两点不是左、右顶点),当直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上.(1)求椭圆C的方程.(2)若以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,则直线l是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.总结反思 定点问题可通过取特殊值来确定“定点”是什么,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定点问题与证

7、明问题类似,在求定点之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点显现.破解难点二定值问题1.直接消参求定值:常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示;(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.案例(选取六年全国卷)关键步2017全国卷 设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y

8、1=,y2=,x1+x2=4,【关键1:设出点的坐标,代入抛物线方程】于是直线AB的斜率k=1.【关键2:点差法求斜率】(续表)案例(选取六年全国卷)关键步2017全国卷 在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2x-.【关键1:求出点的坐标及直线方程】由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐

9、标为-,-,半径r=.【关键2:求圆心坐标及半径】故圆在y轴上截得的弦长为2=3,【关键3:消元求弦长】即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.2015全国卷 已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(2)设直线l:y=kx+t(k0,t0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).【关键1:设出直线的方程与点的坐标】将y=kx+t代入+=1得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-8=0.故xM=,yM=

10、kxM+t=.【关键2:直线方程与椭圆方程联立消元,用参数表示点的坐标】于是直线OM的斜率kOM=-,即kOMk=-.【关键3:用参数表示直线的斜率】所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.从特殊到一般求定值:常用处理技巧:(1)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;(2)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.案例(选取六年全国卷)关键步2015四川卷 如图,椭圆E:+=1(ab0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1.(1)求椭圆E的方程.(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在

11、常数,使得+为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(2)(i)当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.此时,+=+=-2-1=-3.【关键1:分类讨论,证明当AB斜率不存在时+为定值】(ii)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以x1+x2=-,x1x2=-.【关键2:当直线斜率存在时,联立直线方程与椭圆方程,用参数表示交点的坐标】从而+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k

12、(x1+x2)+1=-2.所以,当=1时,-2=-3.【关键3:构造+关于k,的表达式,得到当=1时+的值】此时,+=-3为定值.故存在常数=1,使得+为定值-3.例3 2018湖北荆州中学月考 已知动圆过定点A(2,0),且在y轴上截得弦MN的长为4.(1)求动圆圆心的轨迹E的方程.(2)设B(1,0),过点A斜率为k(k0)的直线l交轨迹E于P,Q两点,PB,QB的延长线分别交轨迹E于S,T两点.若PQB的面积为3,求k的值;记直线ST的斜率为kST,证明:为定值,并求出这个定值.总结反思 求解代数式为定值的问题,常依题意设变量,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简计算,并在计算推

13、理的过程中消去变量,即可得出定值.变式题 已知抛物线C:y2=2px(p0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点F的距离为.(1)若M,过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q,求的值.(2)若直线l2与抛物线C相交于A,B两点,与圆N:(x-a)2+y2=1相交于D,E两点,O为坐标原点,OAOB,试问:是否存在实数a,使得|DE|的长为定值?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.破解难点三探索性问题探索性问题的解法:先假设存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,推证满足条件的结论,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.

14、要注意的是: (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不确定,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.案例(选取六年全国卷)关键步2016全国卷 在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t),【关键1:设出直线方程】代入y2=2px得y2

15、-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,【关键2:联立直线方程与抛物线方程,求出交点的坐标】即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.【关键3:根据方程的解得到直线与曲线C的公共点情况】例4 2018山西太原一模 已知椭圆C:+=1(ab0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线y=kx(k0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.总结反思 (1)对于存在性问题,通常

16、先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,将不确定性问题明朗化,然后推出结论;(2)由于解析几何问题的解答中一般要涉及大量的计算,因此在解题时要注意运算的合理性和正确性.变式题 2018安徽六安一中月考 已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且=,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.完成专题突破训练(四)