专升本高数复习.docx

1、专升本高数复习第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1了解极限的概念（对极限定义 -等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。 会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求 极限。4熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关 系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2会求函数的

2、间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用复习考试要求1熟练掌握用洛必达法则求 “0

3、 =”、“=-=”型未定式的极限的方法。2掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、 减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。3理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法， 会解简单的应用题。4会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求1理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4熟练掌握不定积分的分部积分法。5掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定

4、积分及其应用复习考试要求1理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的基本性质3理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式。5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 的旋转体的体积。第四章多元函数微分学复习考试要求1了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。2了解二元函数的极限与连续的概念。3理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导

5、数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5会求二元函数的无条件极值和条件极值。6会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步复习考试要求1了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概念及其分布函数。7理解离散性随机变量的意义及其

6、概率分布掌握概率分布的计算方法。8会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1了解极限的概念（对极限定义 一：等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。 会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求 极限。4熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作Xn，数列中

7、每一个数称为数列的项，第 n项Xn为数 列的一般项或通项，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1）,（等差数列）（2） （等比数列）（3） m （递增数列）（4） 1, 0, 1, 0,匚，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）厂。对于每一个正整数n,都有一个人与之对应，所以说数列xn可看作自变量n的函数xn=f （n）,它的定义域是全体正整数，当自变量 n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函 数值就排列成数列。在几何上，数列Xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 X1,X2,X3，耳,。2数列的极限定义对于数列Xn，如果当n-K时，Xn无限地趋于一个确定的常数 A，

8、则称当n趋于 无穷大时，数列Xn以常数A为极限，或称数列收敛于 A，记作 n心I比如：詁卜无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列Xn,如果当n-K时，Xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列Xn 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。比如：1，3， 5,，(2n-1),1,0, 1, 0,-1数列极限的几何意义：将常数 A及数列的项 E內依次用数轴上的点表示，若数列Xn 以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A，即点Xn与点A之间 的距离|x n-A|趋于0。比如：掳卜i无限的趋向0 幷无限的趋向1(2)数列极限的性质与运算法则1数列极限的性质定理1.1 (惟一性)

9、若数列Xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2 (有界性)若数列X n收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1,0, 1, 0, 有界：0, 12.数列极限的存在准则定理1.3 (两面夹准则)若数列Xn,y n,z n满足以下条件：(1)(2)定理1.4若数列xn单调有界，则它必有极限。3.1.5数列极限的四则运算定理定理(1) (2)(3)函数极限的概念1.当X X0时函数f ( X)的极限(1)当XX0时f ( X)的极限定义对于函数y=f (X),如果当X无限地趋于X。时，函数f (X)无限地趋于一个常数 A,则称当XTXo时，函数f (x)

10、的极限是A，记作 唇严或f(x)t a (当xtx0时)例 y=f (x) =2x+1XT 1,f ( x)T ?x1x T 1(2)左极限当XTx0时f ( X)的左极限定义对于函数y=f (x),如果当x从X0的左边无限地趋于X0时，函数f (x)无限地趋 于一个常数A，则称当xtX0时，函数f (x)的左极限是A，记作或 f (X0-0) =Ax1X=DX=Q/-I例子：分段函数 ，求轉朋,削血解：当x从0的左边无限地趋于0时f (x)无限地趋于一个常数1。我们称当XT0时， f (x)的左极限是1,即有当x从0的右边无限地趋于0时，f (x)无限地趋于一个常数-1。我们称当XT0时，f

11、 (X)的右极限是-1,即有显然，函数的左极限右极限 与函数的极限 之间有以下关系：定理1.6当XTX。时，函数f (x)的极限等于A的必要充分条件是 反之，如果左、右极限都等于 A，贝泌有XT 1 时 f(x) T ?XM W卜害,当XT 1时，f (x)的左极限是2,右极限也是2。XT 1f(X)T 2对于函数2当xtx时，函数f (x)的极限(1)当XTX时，函数f (X)的极限y=f(x)x tx f(x) t ? y=f(x)=1+ $x乂 f(x)=1+ 1定义对于函数y=f (x),如果当xtx时，f(x)无限地趋于一个常数 A，则称当xtx 时，函数f (x)的极限是A，记作阳

12、幽叫或f( x)t A (当xtx时)(2)当xt + *时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当xt + X时，f(x)无限地趋于一个常数 A，则称当xt + *时，函数f (x)的极限是A，记作氐a这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中 nT + 乂的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出xt + X,且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。 y=f(x)x t + x f(x)x t?XT + X, f(x)=2+ t 2例：函数 f (x) =2+e-x，当 xt + x时，f(x) t?解：f (x) =2+e-x=2+,XT + X, f (x)

13、=2+；T 2所以(3)当xt-x时，函数f (x)的极限定义对于函数y=f (x),如果当xt-x时，f(x)无限地趋于一个常数 A，则称当xt- x时，f (x)的极限是A，记作xT f(x) T?则 f(x)=2+(xv 0)x x，-X + xf(x)=2+ 士 T 2例：函数 J，： ，当 x -X时，f ( x)T?解：当 x -X时，-x + X卜zT 2,即有由上述xx, x + X, x -X时，函数f ( X)极限的定义，不难看出：xx时f ( x) 的极限是A充分必要条件是当x+ X以及x-X时，函数f (X)有相同的极限A。 例如函数 ，当X -X时，f (X)无限地趋

14、于常数1,当X + X时，f (X)也无限地 趋于同一个常数1,因此称当XX时 的极限是1,记作其几何意义如图3所示。f(x)=1 +y=arcta nxI*皿不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当XT4时，f（x）的极限存在，当xf + *时，f（ x）的极限也存在，但这两 个极限不相同，我们只能说，当 xfx时，y=arctanx的极限不存在。x）=1 +y=arcta nxI：颈w不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当xf -*时，f （x）的极限存在，当xf + *时，f（x）的极限也存在，但这两 个极限不相同，我们只能说，当 xf*时，y=arct

15、anx的极限不存在。（四）函数极限的定理定理1.7 （惟一性定理）如果 存在，则极限值必定惟一。定理1.8 （两面夹定理）设函数冲在点加的某个邻域内（讨可除外）满足条件：（1）曲注血皿，（2）懊旳=忸如则有 。注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理1.9如果斥掀一用询则（1）（2）|响Mi蛆耐如心堆肉,；（1（3） 上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（3） 用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存 在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。K TOO另外，上述极限的运

16、算法则对于 的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷大量1无穷小量（简称无穷小）定义对于函数 如果自变量x在某个变化过程中，函数 顶的极限为零，则称在该变 化过程中，为无穷小量，一般记作 常用希腊字母，来表示无穷小量。定理1.10函数 以A为极限的必要充分条件是:可表示为A与一个无穷小量之和。注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋 于为零。（2） 要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷 小量。（3） 个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程 中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如

17、：- 振荡型发散I* 1（4） 越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当 x越变越大时，叫就越变越小，但 它不是无穷小量。（5） 无穷小量不是一个常数，但数“ 0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为 塚。 2无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量 （或乂）时， 的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，：的为无穷大量。记作 yf注意：无穷大（乂）不是一个数值，“乂”是一个记号，绝不能写成 或 。3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果 w为无穷大量，则鸟为无穷小量；反之，如果 旳为 无穷小量，且用

18、“，则/为无穷大量。当六无穷大卜无穷小当厂为无穷小丘.=7无穷大4.无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的 乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即 “勺（1）如果 则称是比较高阶的无穷小量，记作 ；（2） 如果 则称 与为同阶的无穷小量；（3） 如果 则称与为等价无穷小量，记为;（4） 如果卜尹则称n是比戸较低价的无穷小量。当 S西 等价无穷小量代换定理：如果当时E帀*，S3均

19、为无穷小量，又有二且二存在，贝y I：二訐二F。 处宀均为无穷小又有述这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无 穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当-时，sinx x;ta n x;arcta nx x;arcs im x;（六） 两个重要极限1重要极限I重要极限I是指下面的求极限公式令 : = I =这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的 氏型的极限问题。 其结构式为：:;宀凤）2.重要极限H重要极限H是指下面的公式：其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：重要极

20、限I是属于 型的未定型式，重要极限H是属于“ ”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七） 求极限的方法：1利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；5利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式（3）（4）例1.无穷小量的有关概念（1） 9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A严扣+B化7r-3答cA.吨咲发散-3r-J z-3 1 1D.疋肓+硏5用內舄（2）0202当 时，-与x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价

21、的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 答B 解:当与x是极限的运算：0611=.t+1J 3 .j Ims _j t. rt .,j + 3血匕 冷电 解：例4.当时求忖型的极限答（1）0308 一般地，有例5.用重要极限I求极限（1） 9603下列极限中，成立的是 Ai曲竺 -1 bL. -1C.FD怛啤答B（2） 0006：d；、答3n（i-l.j hn-f-li j nn-u I解：瓢TTk =出需E -烈:卞厂 云例6.用重要极限H求极限(1)0416计算 答 解析解一：令J! -KC解二:03060601(2)0118计算卜亠答例7用函数的连续性求极限0407 1解:测讥心答0例8.用等

22、价无穷小代换定理求极限答00317解:当V TQ一r叩！例9.求分段函数在分段点处的极限炉+ L * 0（1）0307设少伽切则在的左极限 一I答1解析严屉加制岀少“门答 1（2）0406设二,则出咻解析叩勺-幌畑帆心】例10求极限的反问题（1）已知电则常数解析解法一： ，即-， 解法二-（2 4-Jt）-5，彳得 : = -p（2）若臥茹求a,b的值. 解析型未定式. 当 XTL 时，呃tFi!-.i- t=t jm r = Lr于是 -1） 1+1 ，得=:.即卩- - - - - 厂 -所以卜27|.04020017卩U _3，则 k= .（答:In2）解析d+-/ / wJT前面我们讲

23、的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的 概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关 系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2会求函数的间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容（一）函数连续的概念1函数在点Xo处连续定义1设函数y=f（x）在点Xo的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 x （初值 为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量厶

24、y也趋近于0,即则称函数y=f（x）在点x0处连续。函数y=f （x）在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=f （x）在点X。的某个邻域内有定义，如果当XTX。时，函数y=f （x） 的极限值存在，且等于x0处的函数值f （x0），即定义3设函数y=f (x),如果肿心上，则称函数f (x)在点xo处左连续；如果., 则称函数f (x)在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f (x)在点x0处连续, 则f (x)在点X。处左连续也右连续。2.函数在区间a, b上连续定义如果函数f (x)在闭区间a, b上的每一点x处都连续，则称f (x)在闭区间a, b上连续，并称f (x)为a

25、，b上的连续函数。这里，f (x)在左端点a连续，是指满足关系：xw【，在右端点b连续，是指满足关 系，即f (x)在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3函数的间断点定义如果函数f ( X)在点X。处不连续则称点X。为f (x) 一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f (X)在点X。处有下列三种情况之一：(1)在点X。处，f (x)没有定义；(2)在点X。处，f (x)的极限不存在；(3)虽然在点x0处f (x)有定义，且 咄：存在，但则点X0是f ( X)一个间断点。1-1 剧I 1*曲2，则f (x)在A.x=0,x=1处都间断B.

26、x=0,x=1处都连续C.x=O处间断，x=1处连续D.x=O处连续，x=1处间断解：x=0 处，f (0) =0v f (。-。)工 f (0+0)x=0为f (x)的间断点x=1 处，f (1) =1f (1-0) =f (1+0) =f (1) f (x)在x=1处连续答案C97。3设s(厂：，在x=0处连续，则k等于A.0 B. C. D.2 分析：f (0) =kt f (0) =f (0-0) =f (0+0)a=1 答案1(2)函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续 函数的性质。定理1.12 (四则运算)设函数f (x),

27、 g (x)在X0处均连续，则(1)f (x) g (x)在 x 处连续(2)f (x) g (x) 在 x 处连续(3)若g (x)工0,则牌在x处连续。定理1.13(复合函数的连续性)设函数 u=g (x)在x=x处连续，y=f (u)在u=g (x) 处连续，则复合函数y=fg (x)在x=x处连续。在求复合函数的极限时，如果u=g (x),在x0处极限存在，又y=f (u)在对应的“加：处 连续，则极限符号可以与函数符号交换。即定理1.14 (反函数的连续性)设函数 y=f (x)在某区间上连续，且严格单调增加(或 严格单调减少)，则它的反函数x=f-1 (y)也在对应区间上连续，且严

28、格单调增加(或 严格单调减少)。(3)闭区间上连续函数的性质在闭区间a, b上连续的函数f (x),有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1.15(有界性定理)如果函数 f (x)在闭区间a, b上连续，则f (x)必在a, b 上有界。定理1.16(最大值和最小值定理)如果函数 f (x)在闭区间a, b上连续，则在这个区 间上一定存在最大值和最小值。定理1.17 (介值定理)如果函数f (x)在闭区间a, b上连续，且其最大值和最小值分 别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数C,在a, b上至少存在一个E,使得 推论(零点定理)如果函数f (x)在闭区间a, b上连续，且f (a)与f (b)异号，则 在a, b内至少存在一个点E,使得f (E)=0(4)初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数 在其定义的区