1、第一章 12命题及其关系充分条件与必要条件1.2命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲考情考向分析1.理解命题的概念2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度.1命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互
2、为逆否命题,它们具有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp概念方法微思考若条件p,q以集合的形式出现,即Ax|p(x),Bx|q(x),则由AB可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系提示若A B,则p是q的充分不必要条件;若AB,则p是q的必要条件;若A B,则p是q的必要不充分条件;若AB,则p是q的充要条件;若AB且AB,则p是q的
3、既不充分也不必要条件题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“对顶角相等”是命题()(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件()(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真()题组二教材改编2P8T3下列命题是真命题的是()A矩形的对角线相等B若ab,cd,则acbdC若整数a是素数,则a是奇数D命题“若x20,则x1”的逆否命题答案A3P5引例命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是_答案两直线不平行,同位角不相等4P12T3“x30”是“(x3)(x4)0”的_条件(填“充分
4、不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠5设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案C解析xyx|y|(如x1,y2),但当x|y|时,能有xy.“xy”是“x|y|”的必要不充分条件6已知p:xa是q:2x3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_答案(,2解析由已知,可得x|2xa,a2.题型一命题及其关系1某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是()A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福 D不拥有的人们不幸福答案D2已知下列三个命题:若一
5、个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;若两组数据的平均数相等,则它们的方差也相等;直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是_答案3有下列四个命题:“若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题;“面积相等的三角形全等”的否命题;“若m1,则x22xm0有实数解”的逆否命题;“若ABB,则AB”的逆否命题其中真命题为_(填写所有真命题的序号)答案解析“若xy1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy1”,显然是真命题,故正确;“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故正确;若x22xm0有实数解,则44m0,解得m1,所以“若m1,则x
6、22xm0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故正确;若ABB,则BA,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故错误4设mR,命题“若m0,则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_答案若方程x2xm0没有实根,则m0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假题型二充分、必要条件的判定例1
7、(1)已知,均为第一象限角,那么“”是“sin sin ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析取,成立,而sin sin ,sin sin 不成立充分性不成立;取,sin sin ,但”是“sin sin ”的既不充分也不必要条件(2)已知条件p:x1或xx2,则綈p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由5x6x2,得2x3,即q:2x3.所以qp,pq,所以綈p綈q,綈q綈p,所以綈p是綈q的充分不必要条件,故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法:根据pq,qp进行判
8、断,适用于定义、定理判断性问题(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题跟踪训练1 (1)(2018福建省莆田一中月考)王安石在游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的()A充要条件 B既不充分也不必要条件C充分不必要条件 D必要不充分条件答案D解析非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件(2)设p:x1,q:log
9、2x0,则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由x0,所以p对应的集合为(0,),由log2x0知0x1,所以q对应的集合为(0,1),显然(0,1) (0,),所以p是q的必要不充分条件题型三充分、必要条件的应用例2 已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件,求m的取值范围解由x28x200,得2x10,Px|2x10由xP是xS的必要条件,知SP.则当0m3时,xP是xS的必要条件,即所求m的取值范围是0,3引申探究若本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件,则PS,
10、方程组无解,即不存在实数m,使xP是xS的充要条件思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验跟踪训练2 (1)设p:|2x1|0);q:0.若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为_答案(0,2解析由|2x1|0),得m2x1m,x0,得x1.p是q的充分不必要条件,又m0,0a1或xa綈p是綈q的必要不充分条件,或0a.方法二命题p为A,命题q为Bx|axa1綈p是綈q的必要不充分条件,p是q的充分不必要条件
11、,即A B.或0a.素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程,数学表达严谨清晰1已知命题p:若a1,则a21,则下列说法正确的是()A命题p是真命题B命题p的逆命题是真命题C命题p的否命题是“若a1,则a21”D命题p的逆否命题是“若a21,则a1,命题p为假命题,A不正确;命题p的逆命题是“若a21,则a1”,为真命题,B正确;命题p的否命题是“若a1,则a21”,C不正确;命题p的逆否命题是“若a21,则a1”,D不正确故选B.2已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D否定
12、答案B解析命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题3(2018天津)设xR,则“”是“x31”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由,得0x1,则0x31,即“”“x31”;由x31,得x1,当x0时,即“x31”“”所以“”是“x31”的充分不必要条件故选A.4(2018西安模拟)设a,bR,则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20可知a20,则一定有ab0,即ab;但ab即ab0时,有可能a0,所以(a
13、b)a20不一定成立,故“(ab)a20”是“a0,则x0且y0”的否命题;“矩形的对角线相等”的否命题;“若m1,则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题;“若a7是无理数,则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A BC D答案C解析的逆命题“若x0且y0,则xy0”为真,故否命题为真;的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题;的逆命题为“若mx22(m1)xm30的解集为R,则m1”因为当m0时,解集不是R,所以应有即m1.所以是真命题;原命题为真,逆否命题也为真6若实数a,b满足a0,b0,则“ab”是“aln abln b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充
14、要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)xln x,显然f(x)在(0,)上单调递增,ab,f(a)f(b),aln abln b,故充分性成立;aln abln b,f(a)f(b),ab,故必要性成立,故“ab”是“aln abln b”的充要条件,故选C.7已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析方法一数列an是公差为d的等差数列,S44a16d,S55a110d,S66a115d,S4S610a121d,2S510a120d.若d0,则21d20d,10a
15、121d10a120d,即S4S62S5.若S4S62S5,则10a121d10a120d,即21d20d,d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充分必要条件故选C.8已知p:xk,q:(x1)(2x)0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A2,) B(2,)C1,) D(,1答案B解析由q:(x1)(2x)0,得x2,又p是q的充分不必要条件,所以k2,即实数k的取值范围是(2,),故选B.9有下列几个命题:“若ab,则a2b2”的否命题;“若xy0,则
16、x,y互为相反数”的逆命题;“若x24,则2xsin B”是“ABC为钝角三角形”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充要解析因为cos Asin B,所以cos Acos,因为角A,B均为锐角,所以B为锐角,又因为余弦函数ycos x在(0,)上单调递减,所以AB,所以AB,所以ABC为钝角三角形;若ABC为钝角三角形,角A,B均为锐角,则C,所以AB,所以Acos,即cos Asin B.故“cos Asin B”是“ABC为钝角三角形”的充要条件12已知集合A,Bx|1xm1,mR,若xB成立的一个充分不必要条件是xA,则实数m的取值范围是_答案(
17、2,)解析因为Ax|1x3,即m2.13已知,(0,),则“sin sin ”是“sin()”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析因为sin()sin cos cos sin sin sin ,所以若sin sin ,则有sin(),故充分性成立;当时,有sin()sin 0,而sin sin 112,不满足sin sin ,故必要性不成立所以“sin sin ”是“sin()”的充分不必要条件14(2018山东济南一中月考)已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x,则m的取值范围是_答案解析解不等式|xm|1,得m1xm1.由题意可得 (m1,m1),故且等号不同时成立,解得m.15已知p:实数m满足3am0),q:方程1表示焦点在y轴上的椭圆,若p是q的充分条件,则a的取值范围是_答案解析由2mm10,解得1m,即q:1m.因为p是q的充分条件,所以解得a,所以实数a的取值范围是.16已知集合A,Bx|xm22,p:xA,q:xB,p是q的充分条件,则实数m的取值范围是_答案解析由yx2x12,0x2,得y2,A.又由题意知AB,2m2,m2.m或m.
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