1、经典奥数时钟问题同名7948经典奥数时钟问题(同名7948)时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点:时针每小时走30度分针每分钟走6度分针走一分钟(转6度)时,时针走05度,分针与时针的速度差为55度。请看例题:【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:A1次 B2次 C3次 D4次【解析】时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为次,还要验证:根据角度差/速度差 =分钟数,可得 90/55= 16又4/1160,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/55 = 49又1/1160,表示经过49又1/11分钟,时针与分针
2、第二次垂直。经验证,选B可以。【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为A10点15分B10点19分C10点20分D10点25分【解法1】时针1011点之间的刻度应和分针2025分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以答案为A。【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为05(3)度,以0点为起始来算此时时针的角度为05(3)+1030度。所谓“时针与分针成一
3、条直线”即05(3)+10306(+6)=180度,解得=15分钟。 著名数学难题:时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系,产生了许多有趣的数学问题,下面介绍几例,并研究它们的解法。例1 在钟表正常走动的时候,有多少个时针和分针重合的位置?它们分别表示什么时刻?解:钟表上把一个圆分成了60等分,假如时针从12点开始走过了x个刻度,那么分针就要走过12x个刻度,即分针走了12x分钟。两针在12点重合后,当分针比时针多走60个刻度时,出现第一次分针和时针重合;当分针又比时针多走60个刻度时,出现第二次分针和时针重合;直至回到12点两针又重合后,又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示,即为:
4、12xx=60m,其中m=1,2, 度为1小时,对分针来说1个刻度就是1分钟。所以,12点以后出现第 出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出,它们 如果用m=11代入,解得x=60,出现第十一次重合的时间是12点,这样就回到了开始的时刻,可见,以上共有11次出现两针重合的时间。例2 已知:挂钟比标准时间每小时慢2分钟;台钟比挂钟每小时快2分钟,闹钟比台钟每小时慢2分钟,手表比闹钟每小时要快2分钟。试问:手表走时是否标准,若不标准时,判断是快还是慢,快多少或慢多少?为什么?解:(1)标准时间走60分钟时,挂钟时间走58分。(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟,所以挂钟走60分钟时,台
5、钟走62分钟。设当标准时间走60分时,即挂钟走58分,台钟走x1分钟,则 (3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟,所以台钟走60分钟时,闹钟走58分钟。设当标准时间走60分,台钟走x1分时,闹钟走x2分,则 (4)因为手表比闹钟每小时快2分钟,所以闹钟走60分钟时,手表走62分钟。设当标准时间走60分时,闹钟走x2分,手表走x3分,则 答:手表走时不准,走慢了,每小时慢0.133分,即大约慢8秒。例3 一个指在九点钟的时钟,分针追上时针需多少分钟?解:设在钟盘面上时针转过x格后,它与分针重叠,这时分针转动了(45x)分,由于分针转动的速度是时针的12倍,所以有方程 例4 时钟的分针和时针在24小时
6、中,形成过多少次直角?解:因为时针1小时转动30,所以1分钟转动0.5,分针每分钟转动6设x分钟后,时针与分针成直角,则有方程x(60.5)=90 针24小时会有多少次差90的倍数呢?设有n次,则 由此解得n=88在这88次中,时针与分针所成角度分别为90,180,270,360,其中180,360不合要求,因此总共有44次直角。(注:我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5 时钟的分针和时针现在恰好重合,那么经过多少分钟后,可以成为一条直线? 直线上。也可这样解:设经x分钟后两针在一直线上,这时分针转动了x分的刻度,而时 例6 在早上不到6点时,某人看了一下手表,发现分针与时针很接近,
7、还差3分钟就重合了,问此时是什么时间?解:设此时是5时x分,在手表面上,因为分针1分钟转动6,时针1小时转动30,则1分钟转动0.5,时针从0点到5点x分转动了(1500.5x)度,分针从0分到x分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合,即还差36=18,所以有方程1500.5x6x=18解之,得x=24所以,此时为5时24分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家,他是相对论的奠基人,他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床,他的一位朋友来探望他,为解除他的烦闷,他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在12点整,这时把长短针对调一
8、下,它们的位置还是合理的。但是,在6点整时,如果把长短针对调,就成了一个笑话,因为这时短针正指在12,而长针正指在6,这种情况不可能发生。那么,钟表的长短针在什么位置,它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间?爱因斯坦悠然地对他朋友说,这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣,只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来,在纸上画了一个草图,然后写出了问题的解答,所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢?第一类情况,当时针与分针重合时,它们可以对调。这种情况在例1中已经解决,总共在钟面上有11个位置。除此以外还有没有其他可能呢?设时钟走了x个刻度,分针走了y个刻度,仿
9、照例1有方程 当两针对调后,就变成时针走了y个刻度,分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了n圈,又可得方程 把m,n看成已知数解这个方程组,得 由0x,y60,m,n为正整数,可知m,n只能取从0到11,总共有144组解。其中当m=0,n=0与m=11,n=11时,两针都是在12这个位置, 当m=n时,就是第一类情况中的11个重合的位置。当mn时,可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。对一个卧病之人,爱因斯坦的思维仍这样敏捷,不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答:时钟问题常见种类与解法 1、二点到三点钟之间,分针与时针什么时候重合?分析:两点钟的时候,分针指向12,时
10、针指向2,分针在时针后5210(小格)。而分针每分钟可追及1(小格),要两针重合,分针必须追上10小格,这样所需要时间应为(10)分钟。解: (52)(1)1010(分)答:2点10分时,两针重合。2、在4点钟至5点钟之间,分针和时针在什么时候在同一条直线上?分析:分针与时针成一条直线时,两针之间相差30小格。在4点钟的时候,分针指向12,时针指向4,分针在时针后5420(小格)。因分针比时针速度快,要成直线,分针必须追上时针(20小格)并超过时针(30小格)后,才能成一条直线。因此,需追及(2030)小格。解: (5430)(1)5054(分)答:在4点54分时,分针和时针在同一条直线上。3
11、、在一点到二点之间,分针什么时候与时针构成直角?分析:分针与时针成直角,相差15小格(或在前或在后),一点时分针在时针后515小格,在成直角,分针必须追及并超过时针,才能构成直角。所以分针需追及(5115)小格或追及(5145)小格。解: (5115)(1)2021(分)或(5145)(1)5054(分)答:在1点21分和1点54分时,两针都成直角。4、星期天,小明在室内阳光下看书,看书之前,小明看了一眼挂钟,发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后,巧得很,时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间,小明听到挂钟一共敲过三下。(每整点,是几点敲几下;半点敲一下)请你算一算小明从几点开始看书
12、?看到几点结束的?分析:连半点敲声在内,一共敲了三下,说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针:第一次成一条直线时刻是:(030)(1)3032(分)即12点32分。第二次成一条直线时刻是:(5130)(1)3538(分)即 1点38分。第三次成一条直线的时刻是:(5230)(1 )4043(分)即 2点43分。如果从12点32分开始,到1点38分,只敲2下,到2点43分,就共敲5下(不合题意)如果从1点38分开始到2点43分,共敲3下。因此,小明应从1点38分开始看书,到2点43分时结束的。5、一只挂钟,每小时慢5分钟,标准时间中午12点时,把钟与标准时间对准。现在是标准时
13、间下午5点30分,问,再经过多长时间,该挂钟才能走到5点30分?分析:1、这钟每小时慢5分钟,也就是当标准钟走60分时,这挂钟只能走60555(分),即速度是标准钟速度的 。2、因每小时慢5分,标准钟从中午12点走到下午5点30分时,此挂钟共慢了5(1712)27(分),也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分,按标准时间还要走27分,因它的速度是标准时钟速度的,实际走完这27分所要时间应是27。解: 5(1712) 27 (分) 2730(分)答:再经过30分钟,该挂钟才能走到5点30分。解题关键:时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格,按“分”分
14、为60小格。每小时,时针走1大格合5小格,分针走12大格合60小格,时针的转速是分针的,两针速度差是分针的速度的,分针每小时可追及。例1:从5时整开始,经过多长时间后,时针与分针第一次成了直线?5时整时,分针指向正上方,时针指向右下方,此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格),如果要成直线,则分针要超过时针30个小格,所以在此时间段内,分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知,此段时间为55/(11/12)=60分钟,也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2:从6时整开始,经过多少分钟后,时针与分针第一次重合?6时整时,分针指向正上
15、方,时针指向正下方,两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合,也就是两者之间间隔变为0,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3:在8时多少分,时针与分针垂直?8时整时,分针指向正上方,时针指向左下方,两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直,有两种情况,一个是第一次垂直,此时两者间隔为15个小格(分针落后时针),也就是分针比时针多走了25个小格,此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直,此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针),也就是分针比时针多走了55个小格,此段时间为55/(11/12)=60分钟,时间变为9
16、时,超过了题意的8时多少分要求,所以在8时300/11分时,分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出,求解此类问题(经过多少时间,分针与时间成多少夹角)时,采用上述方法是非常方便、简单、快捷的,解题过程形象易懂,结果正确率高,是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格,而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有:求某一时刻时针与分针的夹角,两针重合,两针垂直,两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个
17、钟表一圈有60个小格,这里计算就以小格为单位。1分钟时间,分针走1个小格,时针指走了1/60*5=1/12个小格,所以每分钟分针比时针多走11/12个小格,以此作为后续计算的基础,对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例4:从9点整开始,经过多少分,在几点钟,时针与分针第一次成直线?9时整时,分针指向正上方,时针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线,也就是两者之间间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走15个小格,此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5:一个指在九点钟的时钟,分针追上时针需要多少分钟?9时整时,分针指向正上方,时
18、针指向正右方,两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针,也就是两者之间间隔变为0个小格,那么分针要比时针多走45个小格,此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6:时钟的分针和时针现在恰好重合,那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合,也就是两者间隔为0个小格,如果要成一条直线,也就是两者间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走30个小格,此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1. 十点与11点之间,两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)?( )A. 10时21 分 B. 10时22 分 C.10时21 D.10时21 分2 现在是下午3点,从现
19、在起时针和分针什么时候第一次重合?3。分针和时针每隔多少时间重合一次?一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次?4。钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是多少度?5。在4点与5点之间,时针与分针什么时候成直角?6.9点过多少分时,时针和分针离“9”的距离相等,并且在“9”的两边?【参考答案详解】1. 答案A满足. 分针:6度/分 时针0.5度/分,十点时,两针夹角为60度,设需要时间为x分,则如图有60-0.5x=180-6x,x= 分,即10时分两针成直线。答案A满足。2. 现在是下午3点,从现在起时针和分针什么时候第一次重合?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分3点整,时针在分针前面15格,所
20、以第一次重合时,分针应该比时针多走15格,即90度, 用追及问题的处理方法解:90/(6-0.5)度/分=16 分钟,所以下午3点16 分钟,时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次?一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合,分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为:360/(6-0.5)=720/11分,一昼夜有:2460=1440分,所以两针在一昼夜重合的次数:1440分/(720/11)分/次=22次4. 钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是多少度?解析:分针:6度/分 时针0.5度/分5点零8
21、分,时针成角:530+80.5=154度,分针成角:86=48度,所以夹角是154-48=106度。5 在4点与5点之间,时针与分针什么时候成直角?解析:整4点时,分针指向12,时针指向4。此时,时针领先分针20格。时,分两针成直角,必须使时针领先分针15格,或分针领先时针15格。因此,在相同时间内,分针将比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分, (20+15)/(1-1/12)=38 分,即4点38 分。6. 9点过多少分时,时针和分针离“9”的距离相等,并且在“9”的两边?解析:设经过X分,0.5X=270-6X ,解得X
22、=540/13分,所以答案是9点过41 分。行测数学运算:时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算:时钟问题基本知识点:1.设时钟一圈分成了12格,则时针每小时转1格,分针每小时转12格。2.时针一昼夜(24小时)转2圈,分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30,时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,成180也是22次。【例1】清晨5点时,时钟的时针和分针的夹角是多少度?()A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度答案D解析清晨5点时,时针和分针相
23、差5格,则530150。【例2】中午12点整时,钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时,时针与分针还要重合了多少次?()A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午12点到晚上12点,时针走了1圈,分针走了12圈,比时针多走了11圈。因此,时针与分针重合了11次。选择B。解二根据基本知识点:由于时针和分针24小时内重合22次,所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议,会议开始时看了手表,会议结束时又看了手表,发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分?() #中国公务员考试信息网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43答案A解析
24、根据题意,会议开了1个多小时,那么分针应该转了1圈多不到2圈,时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”,所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时,时针12小时转一圈,那么T小时应该转了T/12圈;分针1小时转一圈,T小时应该转了T圈,那么T+T/122,得到T24/13小时,约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为几点几分?()A. 10点15分 B. 10点19分 C. 10点20分 D. 10点25分答案A解析代入B、C、D,很明显,这三个时刻的
25、3分钟之前都还是10点多,因此时针在钟面上的“10”与“11”之间,而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了,即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道,钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间,所以这三个选项对应的时间与条件不符,所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题,可选用公式TT0+111T0,其中:T为追及时间,即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间,即假设时针不动,分针和时针“达到条件要求”的时间。 例5 从钟表的12点整开始,时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是()。A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D.
26、 61分钟 答案C解析从12点整往后,时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T045(分钟),根据公式,其间隔时间TT0+T0/1149(分钟)。【例6】(国家2006一类-45、国家2006二类-45)从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?()A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次答案B解一从12时到13时,时针旋转了30;分针旋转了360。分针与时针所成的角度从0变化到330(其中包括90和270),因此有2次成直角的机会。选择B。解二根据公式:从12点开始算,时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟,追及时间为15+1511=16411、45+45
27、11=49111分钟,所以垂直两次。【例7】(广东2008年)时针与分针在5点多少分第一次垂直?()A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分答案B解析根据公式:时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟,追及时间为10+1011=101011分钟,所以选择B。 强华公务员 【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间?()A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分答案B解一根据公式:时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟,代入公式算得追及时间为 30+3011=32811分钟,所以选择B。解二根据基本知识点:时针与分针24小
28、时内垂直44次,所以垂直间隔为:246044=32811分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时,其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”,按比例计算。【例9】(国家2005二类-46)有一只钟,每小时慢3分钟,早晨4点30分的时候,把钟对准了标准时间,则钟走到当天上午10点50分的时候,标准时间是多少?()A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分答案C解析标准比:标准时间走60分钟时,慢钟走57分钟。此时,慢钟从4点30分走到10点50分,一共走了6小时20分,合380分钟,假设标准时间走了x分钟,那么:x380=6057,可得:x400(分钟)。说明标
29、准时间比慢钟快400-38020分钟,慢钟走到了10点50分,实际上应该是11点10分了。【例10】(国家2005一类-46)一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示10点整时,慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少?() A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分答案D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为13。假设现在是9点x分(快钟显示10点整,慢钟显示9点整),那么(60-x)(x-0)13,解得:x45。所以标准时间是9点45分。 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,
30、生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有: 求时间差: 例:从上午五点十五分到下午两点四十五分之间,共有多少时间? A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分 解析:这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢(快)表在几小时后显示什么时间? 例:有一只钟,每小时慢3分钟,早晨4点30分的时候,把钟对准了标准时间,则钟走到当天上午10点50分的时候,标准时间是( )。 A11点整 B11点5分 c1l点1O分 D11点15分 解析:慢表显示经过的时间是:10:50-4:30=6小时20分钟=380分钟,实际经过的时间应该是:380(60-3)/60=400分钟=6小时40分钟,答案为C:4:30+6:40=11:10。 例:一个快钟每小时比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示10点整时,慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是( )。 A9点15分 B 9点30分 c9点35分 D 9点45分 解析:这是2个不准确的时钟问题,也是这种问题的一个延伸。 我
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