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1、#秋双学位计算机图形学07415#2004年秋双学位计算机图形学 作业题目 教材 计算机图形学（第二版）第一次P105 3.17 利用中点算法并考虑对称性，推导在区间-10=x=10上，对下列曲线进行扫描转换的有效算法：y=(1/12)*x33.20 考虑对称性，建立中点算法对形式为y=ax2-b的任意抛物线进行扫描转换，参数a,b及x的范围从输入值获得。第二次P106 3.34 利用circle函数，编写一个程序，显示具有合适标记的饼图。程序的输入包括：在某些区间上给定数据分布的数据组，饼图的名称和区间的名称。每部分的标记将是显示在饼图边界外靠近对应饼图部分的地方。第三次10.7 P1394

2、.20 编写一个程序，使用指定的图案对给定的椭圆内部进行填充。 第四次10.14 P1685.12 确定对于任何直线y=mx+b的反射变换矩阵的形式。第四次10.22比较若干条相对于裁剪窗口的不同方向的线段的Cohen-Sutherland和梁友栋-Barsky裁剪算法的算术运算次数。第五次10.296.18 将梁友栋-Barsky算法改称多边形裁剪算法。第六次 11.48.13 设计一个程序，该程序允许用户使用一个笔画设备交互式地画图。第七次 11.1110.9 建立一个将给定的球、椭球或圆柱体变成多边形网格的一个算法。第八次 11.1810.20 给出d=5的均匀周期性B-样条曲线的混合函

3、数。第九次 11.2511.13 设计关于任选平面反射的例程。第十次12.8 编写一个将透视投影棱台变换到规则平行六面体的程序。上机1.实现Cohen-Sutherland多边形裁剪算法，要求显示多边形被每一条窗口边裁剪后的结果。2.编写一个程序，允许用户通过一个基本形状菜单并使用一个拾取设备，将每一个选取的形状拖曳到指定位置，并提供保存和载入的功能。3. 写一篇综述性的调研报告，要求不少于3000字，独立完成。内容可以是计算机图形学理论或算法的研究。如：曲线、曲面拟合算法；几何造型方法的研究。如：分形树、分形山、树木、花草、云、瀑布、粒子系统等等。或任何你感兴趣的领域。4.2004年秋双学位

4、计算机图形学 作业参考答案P105 3.17 利用中点算法并考虑对称性，推导在区间-10=x2时，dy/dx1；定义函数：f(x,y)=y-(1/12)*x3 决策参数pk1)当0x2（区域1）时, P1k = f(xk+1,yk+1/2)，P1 k+1=f(x k+1+1,yk+1+1/2),xk 1= xk+1P1 k+1= P1k + (yk+1-yK)-(1/12)*(3*xk2+9*xk+7)；2)当x2（区域2）时，P2k = f(xk+1/2,yk+1)，P2 k+1=f(x k+1+1/2,yk+1+1), yk 1= yk+1P2 k+1= P2k + 1-(1/12)*(x

5、k+1+1/2)3-(xk+1/2)3；算法描述：1.初始点(0,0)2.计算区域1中的初始决策参数值p10 = f(1,1/2)=5/123.对区域1中，0x2，从k=0开始，完成下列测试：假如p1k2时，进入区域2, 使用区域1的最后点(2,2/3)计算区域2的决策参数值：p20=f(2+1/2, 2/3+1)完成下列测试：假如p2k0，则下一个点为（xk+1,yk+1）并且P2 k+1= P2k + 否则下一个点为（xk,yk+1）P2 k+1= P2k + 15.利用中心对称确定第三象限的点。6.重复区域1中的步骤直到x=2，重复区域2中步骤直到x=10。3.20 考虑对称性，建立中点

6、算法对形式为y=ax2-b的任意抛物线进行扫描转换，参数a,b及x的范围从输入值获得。解答：考虑y=ax2-b的任意曲线都可以由y=|a| x2通过翻转和平移得到，所以先计算y=|a| x2曲线。令|a|=A;dy/dx=2Ax，当0x1/(2A)时，dy/dx1；当x1/(2A)时，dy/dx1；定义函数：f(x,y)=y-Ax2决策参数pk1)当0x1/(2A)（区域1）时, P1k = f(xk+1,yk+1/2)，P1 k+1=f(x k+1+1,yk+1+1/2),xk 1= xk+1P1 k+1= P1k + (yk+1-yK)-A*(2*xk+3)；2)当x1/(2A)（区域2）

7、时，P2k = f(xk+1/2,yk+1)，P2 k+1=f(x k+1+1/2,yk+1+1), yk 1= yk+1P2 k+1= P2k + 1 - A*(xk+1+1/2)2-(xk+1/2)2；算法描述：1.输入a,b和x范围xmin, xmax，令A=|a|。2.令MAX=max |xmin|, |xmax |, 在范围-MAX,MAX中作曲线3.初始点为(0,0),计算区域1中的初始决策参数值p10 = f(1,1/2)4.对区域1中，0x1/(2A)，从k=0开始，完成下列测试：假如p1k1/(2A)时，进入区域2, 使用区域1的最后点(x0,y0)为初值计算区域2的决策参数

8、值初值：p20=f(x0+1/2, y0+1)完成下列测试：假如p1k0，则下一个点为（xk+1,yk+1）并且P2 k+1= P2k + 否则下一个点为（xk,yk+1）P2 k+1= P2k + 16.利用中心对称确定第二象限的点。7.如果MAX1/(2A),那么重复区域1中步骤，计算到x=MAX，无须计算区域2；否则重复计算区域1中步骤，直到x=1/(2A),进出区域2,重复计算区域2中步骤，直到x=MAX。8.截取xmin, xmax中的部分，如果a0,那么就将计算所得点(x,y)变换到(x,-y)。9.将上面所得曲线点(x,y)移到(x,y-b)P106 3.34 利用circle函

9、数，编写一个程序，显示具有合适标记的饼图。程序的输入包括：在某些区间上给定数据分布的数据组，饼图的名称和区间的名称。每部分的标记将是显示在饼图边界外靠近对应饼图部分的地方。解答：define TWO_PI 6.28Typedef structInt number; /数据组中元素的个数Char20 ChartName;Data_t* pdata; /指向数据组的指针pieChart_array;Typedef structFloat dataChar20 SecName;Data_t;Void pieChart(pieChart_array dataArray)wcPt2 pts2,cente

10、r;float radius = WINDOW_HEIGHT/4.0float newSlice, total=0.0, lastSlice=0.0;int counter;center.x=WINDOW_WIDTH/2;center_y=WINDOW_WIDTH/2;/画圆pCircle(center,radius);/求总数for(counter=0;counterdata;pts0.x=center.x;pts0.y=center.y;/求每个区间的数据和的大小并画线，标明区间名for(counter=0;counterdata/total+lastSlice;pts1.x=center

11、.x+radius*cosf(newSlice);pts1.y=center.y+radius*sinf(newSlice);pPolyline(2,pts);/设置文字的对齐方式if (newSliceTWO_PI*3/4)setTextAlignment(right,normal);elsesetTextAlignment(left,normal);text(pts1, (dataArray.pdatacounter)- SecName);lastSlice=newSlice;/画饼图名称pts0.x=center.x;pts0.y=center.y+ radius+4;text(pts0

12、, dataArray.ChartName);4.20 编写一个程序，使用指定的图案对给定的椭圆内部进行填充。参见 课本p119第四次10.14 P1685.12 确定对于任何直线y=mx+b的反射变换矩阵的形式。解答：假设直线与x轴的夹角为, tag = m直线y=mx+b的反射变换可以通过一下过程得到：a)在y方向上平移 b b)旋转 -c)对x轴做反射d)旋转 e)在y方向上平移 b整个过程如下式：也即是：化简得：又： ，即，所以：第六次10.22比较若干条相对于裁剪窗口的不同方向的线段的Cohen-Sutherland和梁友栋-Barsky裁剪算法的算术运算次数。参考 课本 p182第

13、七次10.296.18 将梁友栋-Barsky算法改称多边形裁剪算法。解题思路：使用一种多边形裁减算法，将其中边的裁减改为使用梁友栋-Barsky算法第六次 11.48.13 设计一个程序，该程序允许用户使用一个笔画设备交互式地画图。参考课本 p224第七次 11.1110.9 建立一个将给定的球、椭球或圆柱体变成多边形网格的一个算法。略第八次 11.1810.20 给出d=5的均匀周期性B-样条曲线的混合函数。公式在课本 p265第九次 11.2511.13 设计关于任选平面反射的例程。设计思路：1、对原来点做旋转变换，使反射平面与一个坐标平面重合；2、对变换后的反射平面作点的反射变换；3、

14、将反射点做反旋转变换，恢复到真正的反射点的位置。第十次12.8 编写一个将透视投影棱台变换到规则平行六面体的程序。参见课本 p355课上讨论：11.11 自然样条曲线。练习参考答案一、填空1假设投影中心为Pc(0,0,0),投影平面为z=2,三维空间中的点P(x,y,z)在投影平面上的透视投影为点Pp(xp,yp,2),则xp=(1),yp=(2)。 Xp=2x/zYp=2y/z2投影平面是XOY平面，投影方向是（a,b,c），其中，a、b、c都不为0，则平行投影变换矩阵是(3)。1 0 -a/c 0 0 1 -b/c 00 0 0 00 0 0 1或1 0 -a/c 0 1 -b/c 0 0

15、 0 3.椭圆的长轴是8，和x轴重合，短轴是6，和y轴重合，椭圆的中心在坐标原点。采用中点画椭圆的算法，在第一象限的椭圆轨迹上的所有的像素位置是（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）。(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(4,0)争议：有同学指出第一象限内的点应该不包括坐标轴上的点。但考虑到本题出题的本意并不在此，所以将会同时认可这两个答案4. 在Cohen-Sutherland算法中，线段EF的两个端点的编码分别为0101和1001,线段EF的可见性为（11）。线段EF的两个端点的编码分别为1001和0110,线段EF的可见性为（12）。完全不可见既不完全可见，

16、也不完全不可见争议：经付峥同学提醒，第(12)空应该为不完全可见，也就是部分可见或完全不可见，如下图所示：5. 字符的表示方法有（13）和（14）两种方式。(15)表示字库的主要缺点是占用大量存储空间，（16）表示字库的主要缺点是表示字符的过程复杂。位图轮廓线(矢量)位图轮廓线(矢量)二、画出Weiler-Atherton算法的流程图，并写出图1的裁剪过程和结果，并用图示说明，并标注需要的记号。细线画的多边形是窗口，粗线画的是待裁剪的多边形图1算法思想规定待裁剪多边形和裁剪窗口的顶点都按照顺（逆）时针方向排列。待裁剪多边形的边与裁剪窗口的边界可能相交，也可能不相交。如果相交的话，交点必然成对出

17、现，即一个交点为多边形的边进入裁剪窗口时的交点，称为入点；另一个交点为多边形的边走出裁剪窗口时的交点，称为出点。沿着待裁剪多边形的边按照顺（逆）时针方向跟踪，直到遇到与窗口边界的交点为止；如果该交点为入点，那么继续沿着待裁剪多边形的边按照逆时针方向跟踪；如果该交点为出点，那么保存该交点供以后恢复跟踪时使用，并且在出点处沿着裁剪窗口的边界按照逆时针方向跟踪；重复上述过程，直到形成封闭的多边形；如果待裁剪多边形尚未完全遍历，那么就从前面保存的出点处恢复跟踪，继续沿着待裁剪多边形的边按照逆时针方向跟踪，直到待裁剪多边形完全遍历为止。裁剪结果图如下：三、由A（0,0,0）、B（1,0,0）、C（0,1

18、,0）、D（0,0,1）定义的棱锥绕轴L旋转45度，L的方向是（0，1，1）,并且经过C(0,1,0),请求出旋转后A和B的新位置A和B。A=（1/2，（2-sqart（2）/4，（sqart(2)-2）/4）B=(1+sqart(2)/2,(4-sqart(2)/4,(sqart(2)-4)/4)四、请推导将三次参数曲线从Hermit表示转换为Bzier表示的转换矩阵。假设参数多项式曲线的一种表示的几何矩阵为G1、基矩阵为M1，与之等价的另一种表示的基矩阵为M2，要求出对应的几何矩阵G2。因为G1M1T=G2M2T 即G1M1=G2M2所以G2=G1M1M2-1=G1M12将参数多项式曲线的

19、一种表示的几何矩阵转换为另一种表示的几何矩阵的转换矩阵为M12=M1M2-1(1.9.4)从Hermit表示转换为Bzier表示的转换矩阵为MHB=MHMB-1MH1 0 -3 20 0 3 -20 1 -2 10 0 -1 1MB1 -3 3 -10 3 -6 30 0 3 -3 0 0 0 1或：Mgeomh为Hermit几何矩阵，MgeomB为Bezier几何矩阵。P(u)=U.MH.MgeomhP(u)=U.MB.MgeomBMB.MgeomB=MH.MgeomhMgeomB= MB-1。MH.MgeomhMH-B= MB-1。MHMB-1 3 -3 13 -6 3 0-3 3 0 0

20、1 0 0 0MH2 -2 1 1-3 3 -2 -10 0 1 01 0 0 0五、图示四叉树的结构，并写出实现两个用四叉树表示的二维物体的并集的算法。考虑计算物体S和T的并集U：自顶向下同步地访问表示S和T的四叉树。（1）如果S和T的对应节点中有一个为满节点（full），那么在U中加入一个满节点；（2）如果S和T的对应节点中有一个为空节点（empty），那么将与空节点对应的另一个节点加入U中；（3）如果S和T的对应节点都为部分满节点（partially full），那么在U中加入一个部分满节点，再递归地计算S和T中对应子树（各四棵）的并集，最后检查得到的四个子节点，若都为满节点，则删去这四个子节点，并将原来加入的部分满节点改为满节点。