数学类保送生强化自学活动各门课程内容提要.docx

1、数学类保送生强化自学活动各门课程内容提要For personal use only in study and research; not for commercial use这里发布的是数学类保送生强化自学活动各门课程详细计划的删节版。 欢迎大家这个和北大、清华、复旦，乃至于普林斯顿、哈佛数学系的课程大纲做对比。 数学分析(A)-1 1，逻辑符号、集合与集合的初等运算、函数与映射、集合的势、公理集合论。 2，实数的公理系统、上下确界、自然数集、有理数集、无理数集、数学归纳法、Archimedes原理、数直线、实数的q进制表示、Dedekind分割。 3，闭区间套定理、有限覆盖定理、极限点定理、

2、可数集、Cantor定理。 4，数列极限的定义及其性质、极限的算术运算、夹逼原理、Cauchy列、Cauchy准则、Weierstrass定理、自然对数底e、Bolzano -Weierstrass定理，数列的上下极限。 5，Heine归结原理、极限的算术运算、滤子极限、Cauchy准则、复合函数与单调函数的极限、无穷大与无穷小量及其阶。 6，函数连续性的定义、间断点、连续函数的性质、中间值定理、最大值定理、一致连续、Cantor-Heine定理、单调函数与反函数的连续性。 7，用滤子基对Heine定义的函数极限进行推广、函数的上下极限。 8，微分学的物理背景、微分与导数的定义、可微函数、微分

3、与导数的几何意义、导数的计算、高阶导数。 9，Fermat定理、Rolle定理、有限增量定理、lHospital法则、带Peano余项的Taylor公式、Roth定理、带Schlomilch-Routh余项的Taylor公式、Lagrange余项与Cauchy余项。 10，函数单调性的条件、函数的内极值点、Young不等式、Holder不等式、Minkowski不等式、凸函数、Jensen不等式、函数作图 11，用微分学研究自然科学的一些例子。 12，原函数与不定积分、原函数的计算方法、椭圆积分。 数学分析(A)-2 1，积分的物理与几何背景、Riemann积分的定义、Riemann可积函数、

4、可积函数空间、Lebesgue定理、Riemann积分积分区间的可加性、积分的估计、积分中值定理、一些重要的积分不等式。 2，变上限的积分、Newton-Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。 3，广义积分的定义、广义积分的基本性质、广义积分的变量替换与分部积分公式、广义积分收敛性的判别法、有多个奇异点的广义积分、广义积分的主值。 4，作为度量空间的Rn、Rn中的开集和闭集、Rn中的紧致集、Rn中的范数、作为Euclid空间的Rn。 5，Euler定理、拓扑等价、Euclid空间中映射的连续性、同胚、闭曲面的分类定理、拓扑不变量

5、。 6，拓扑空间与度量空间的定义、开集、闭集、边界、拓扑基、Hausdorff空间、子拓扑、度量空间与拓扑空间的直积、第二可数空间。 7，连续映射、连续映射与同胚、Peano曲线、Tietze扩张定理、拓扑空间的紧致性、Heine-Borel定理、紧致空间的性质、Bolzano-Weierstrass性质、Lebesgue引理、局部紧空间、Lindelof定理。 8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的

6、映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。 9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbert空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。 10，有限增量定理、连续可微映射、中值定理、映射的高阶微分与偏导数、高阶微分的运算、映射的Taylor公式、映射的局部极值、切平面、法向量、切向量。 11，隐映射定理、微分同胚、逆映射定理、秩定理、函数相关性、Morse引理。 12，Rn中的k维子流形、切

7、空间的定义、条件极值、Lagrange乘子法。 数学分析(A)-3 1，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、 Cauchy判别法、DAlembert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy- Maclaurin积分判别法。 2，Leibniz级数、Abel判别法、Dirichlet判别法、级数的重排、Riemann定理、Mertens定理、二重级数、二重级数与累次级数之间的关系、二重绝对收敛级数的重排、无穷乘积、无穷乘积收敛的必要条件、无穷乘积的绝对收敛、Euler

8、公式。 3，函数列的收敛集、含参变量的函数族、收敛与一致收敛、Cauchy准则、复数域的收敛与复数项级数、幂级数、Cauchy-Hadamard公式、 Abel定理、函数的幂级数表示、幂级数的解析性、Weierstrass优级数判别法、Abel-Dirichlet判别法。 4，二重极限可交换的条件、函数族的极限函数的连续性、幂级数的和函数的连续性、Dini定理、函数族极限函数的可积性、函数族的极限函数的可微性、幂级数的和函数的可微性、Cesaro和、Tauber定理。 5，完全有界与等度连续、Arzela-Ascoli定理、Weierstrass逼近定理、Stone-Weierstrass定理

9、、幂级数在组合数学中的应用。 6，阶梯函数的积分、上函数的积分、一般区间上的Lebesgue可积函数类、Lebesgue积分的基本性质、Levi单调收敛定理、Lebesgue控制收敛定理、Lebesgue 广义积分。 7，含参变量积分的定义、含参变量积分的连续性与可微性、含参变量积分的积分、含参变量广义积分的一致收敛性、含参变量广义积分的一致收敛的判别法、反常积分号下取极限、含参变量广义积分的连续性与可微性、含参变量广义积分的积分。 8，Lebesgue可测函数、可测性与可积性之间的关系、Lebesgue积分号下取极限、交换积分顺序、Lebesgue测度、Lebesgue可测集、平方可积函数集

10、、Riesz-Fischer定理。 9，Beta函数与Gamma函数、Gauss-Euler公式、余元公式、Stirling公式与Wallis公式、卷积、卷积的微分、Delta函数族、用Delta函数族逼近函数、广义函数、广义函数空间、基本解。 10，正交函数系、Pythagoras定理、Fourier级数与Fourier系数、Fourier级数的极限性质、完备正交系、三角级数、三角级数的平均收敛性与逐点收敛、Riemann引理、推广的Fourier引理、局部化原理、Fejer定理、Weierstrass第二逼近定理、三角函数系的完备性、Parseval等式、等周不等式。 11，Fourier

11、变换、Fourier积分、Fourier积分的点状收敛定理、速降函数空间、Fourier变换的运算性质、反演公式、Parseval等式、 Fourier变换与卷积、Fourier变换在数学物理方程中的应用、Possion求和公式。 12，渐进展开、渐进幂级数、Laplace积分、Laplace积分的局部化原理、Watson引理、Laplace积分的渐进展开、稳定相位法。 数学分析(A)-4 1，Rn中的Jordan测度、多重Riemann积分、Riemann可积性、Lebesgue定理、上积分与下积分、Darboux可积性定理、容许集、集合上的Riemann积分、多重Riemann积分的可加性

12、、多重Riemann积分的估计。 2，Fubini定理、重积分的变量替换、变量替换公式、Sard引理。 3，广义多重Riemann积分、广义重积分收敛性的控制判别法、广义重积分的变量替换公式。 4，流形的定义、带边与无边流形、光滑流形、光滑映射、可定向与不可定向流形、曲面边界定向的协调性、第二可数公理、单位分解。 5，切向量、切空间、余切空间、切丛与余切丛、子流形、浸入与嵌入、大范围的隐函数定理。 6，Rn中曲面的面积、向量场、李括号、Frobenius定理、张量场、流形上的微分形式与外微分形式、李导数。 7，微分形式的积分的物理起源、流形上的微分形式的积分、分布在曲面上的质量、体积形式。 8

13、，第一型曲面与曲线积分、第二型曲面与曲线积分、Green公式、Gauss-Ostrogradsky公式、一般的Stokes公式、Riemann流形、Riemann流形上的Stokes公式、李群上的积分。 9，梯度、散度、旋度、Hamilton算子、Laplace算子、正交曲线坐标下的梯度和散度及旋度、向量分析的基本公式。 10，有势场、保守场、同伦、管量场、恰当形式、Poincare引理、无旋场、势函数。 11，Poincare定理、de Rham上同调、de Rham定理。 12，热传导方程的推导、连续性方程的推导、连续介质力学基本方程的推导、波动方程的推导。 代数学-1 1，代数学简史、线

14、性方程组、auss消去法、低阶行列式、集合与映射、二元关系、等价关系、商映射、偏序集。 2，数学归纳法、置换、置换的循环结构、置换的符号、斜对称函数、数论的基本概念、算术基本定理。 3，向量与纯量、线性组合、线性相关与线性无关、基与维数、矩阵的秩、线性方程组的可解性准则、线性映射、线性变换、线性函数、矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的等价类、线性方程组的解空间。 4，作为有向体积的行列式、行列式的基本性质、子式、余子式、行列式的展开。 5，非退化行列式的判定、伴随矩阵、Cramer法则、加边子式法、作为多重线性规范反对称函数的行列式。 6，二元运算、半群、幺半群、群、子群、循环群、群的同构、Cayle

15、y定理、群的同态与自同态、环、同余类、剩余类环、环的同态、整环、域、域的同构与自同构、域的特征、素域、复数域、本原根、复数的几何、交比。 7，一元多项式环、多元多项式环、唯一析因环、环中的最大公因与最小公倍、环中元素的互素、整除性的判定、Euclid环、既约多项式、本原多项式、Gauss引理、Eisentein判别法。 8，整环的分式域、有理函数域、最简分式、Bezout定理、多项式函数环、Laglrange与Newton插值公式、多项式环的微分法、Vieta公式、对称与斜对称函数、Wilson定理。 9，对称多项式环、多称多项式的基本定理、待定系数法、等幂和、Newton公式、多项式的判别式

16、、结式、复数域的代数封闭性、代数基本定理、Strum定理、多项式根的近似算法、整系数多项式的有理根。 10，一般域上的线性空间、子空间、线性相关、线性无关、向量组的秩、基与维数、不同基之间的过渡矩阵、线性空间的同构、子空间的交与和、维数定理、直和、补空间、商空间、线性函数、对偶空间、线性无关的判别法。 11，线性映射、线性映射的矩阵表示、像与核、线性算子、线性算子代数、极小多项式、矩阵的相似、线性算子的行列式与迹。 12，不变子空间、特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间、几何重数与代数重数、可对角化算子的判别法、不变子空间的存在性、共轭线性算子、商算子。 代数学-2 1，范畴、函子、Ham

17、ilton-Cayley定理、Jordan标准型、根子空间、循环子空间、循环矩阵、矩阵的有理标准型。 2，多项式矩阵、多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的相抵、Smith标准型、行列式因子、不变因子、初等因子组、特征方阵与Jordan标准型的关系、实方阵的实相似。 3，多重线性映射、双线性型、矩阵的相合变换、双线性型的秩、左根基、对称双线性型与斜对称双线性型、二次型、二次型的规范型、化二次型为规范型的方法、实二次型、惯性定理、正定二次型与正定矩阵、Jacobi方法、Sylvester定理、斜对称二次型的规范型、Pfaff型。 4，Euclid空间、内积、标准正交基、Gram-Schmidt正交化

18、过程、Euclid 空间的同构、正交矩阵、正交群、辛空间、辛群、辛算子、酉空间、Hermite型、酉矩阵、酉群、赋范线性空间、按模收敛、绝对收敛。 5，内积空间上的线性算子、化二次型为主轴形式、把两个二次型同时化为规范型、保距算子的规范形式、极分解、奇异值分解、Schur定理、Witt扩张定理、复结构、复化线性空间、实化线性空间、实化线性算子、复化算子、最小二乘法、球面多项式、加权正交。 6，线性算子的范数、线性群的单参数子群、谱半径、仿射空间、仿射映射、仿射空间的同构、仿射子空间、仿射坐标系、仿射同构、Euclid度量、Gram行列式、有向体积。 7，仿射群、Euclid空间的运动群、保距变

19、换群、凸集、Minkowski空间、伪欧氏空间、Lorenz群、仿射空间上的二次函数、化二次函数为规范型、Euclid空间上的二次函数。 8，二次曲面、二次曲面的中心、仿射空间中二次曲面的规范型、二次曲面的分类、Euclid空间中的二次曲面、射影平面、高维射影空间、齐次坐标、仿射几何与射影几何的关系、代数簇、射影群、交比与重比、射影空间中二次曲面的分类、直线与射影二次曲面的相交。 9，张量的概念、张量的坐标、张量积、张量的卷积、对称与斜对称张量、张量空间、外代数。 10，正规子群、左陪集与右陪集、代表元、Lagrange定理、循环群的结构、群作用、轨道、稳定子群、正规化子、可迁群、齐次空间。

20、11，典型群、满同态、四元数代数、置换群、对称。 12，商群、同态基本定理、群的同构定理、换位子群、群的直积与半直积、生成元、自由群、可解群、单群。 代数学-3 1，Zassenhaus引理、Jordan-Holder定理、带算子的群、自同态环、自同构类群、Sylow定理、特征子群、Abel群、有限生成的Abel群、Frobenius-Stickelberger定理、有限Abel群的基本定理。 2，良序集、Zorn引理、选择公理、态射、自然变换、环的理想、商环、同态基本定理、环的同构定理、理想的运算、局部化、素理想。 3，Gauss整数、主理想环、极大理想、唯一因子分解环的多项式扩张、环的直和

21、、中国剩余定理、模、子模、模同态、商模、正合列、模的第一同构定理、循环模、直积与直和、自由模、环的整元素。 4，主理想环上的有限生成模、Neother归纳原理、Artin模、Neother模、Krull定理、模的同构定理、投射模、内射模、模的张量积。 5，域的扩张、代数扩张、超越扩张、分裂域、Kronecker定理、可分多项式、有限域扩张、有限域的子域、有限域的自同构、Mobius反演公式、分圆多项式。 6，代数闭域、域扩张的自同构、Galois群、Artin引理、Galois扩张、Galois理论主定理、尺规做图问题、三等分角问题、倍立方问题、分圆扩张、不可约性判别法、Brauer定理、De

22、dekind定理、Artin定理、正规基。 7，循环扩张、交换扩张、可解扩张、范数和迹、Speiser定理、Artin-Speiser定理、方程可用根式解的判别法、表示、表示空间、表示模。 8，酉表示、Maschke定理、多面体群、Schur定理、特征标、对称群的表示、Young图、Young表、不可约表示、交换群的表示、特征标群、Frobenius互反定理。 9，SU(2)群和SU(3)群的表示、表示的张量积、特征标环、有限群中的刚性与有理性、结合代数、商代数、中心单代数、Wedderburn-Artin定理、可除代数、Wedderburn定理、代数的线性表示、Burnside定理。 10，

23、矩阵Lie群、矩阵紧Lie群、矩阵Lie群的同态与同构、特殊线性群的极分解、Lie群、Lie代数、Lie代数的表示。 几何学 1，点线面的相互关系、方向和角度与平行、恒等和叠合与对称、向量的加法和减法、向量与数量的乘法、内积、外积、混合积、向量对于给定基底的坐标。 2，一般笛卡尔坐标、空间曲面和空间曲线的方程、坐标变换、平面方程、平面对于坐标系的位置、平面的相互位置。 3，直线方程、直线和平面的相互位置、两条直线的相互位置、二次曲面分类、椭圆面、双曲面、抛物面、锥面和柱面。 4，二次曲面的直母线、二次曲面的直径和直径平面、二次型的变换、不变量。 5，曲线直径、曲面和曲线的中心、曲线的对称轴、曲

24、面的对称平面、双曲线的渐近线、双曲面的渐近锥面、曲线的切线、曲面的切平面。 6，正交变换、仿射变换、仿射变换的基本不变量、仿射变换下的二次曲线和二次曲面、射影变换、齐次坐标、无穷远点、射影变换下的二次曲线和二次曲面、极点和配极。 7，Euclid几何中的平面与直线、Euclid平面与复数、Euclid空间与仿射空间、仿射簇。 8，仿射直线与仿射平面的公理化模型、平面上的线性方程、凸几何、仿射几何的基本定理、仿射空间、有限维凸几何、Caratheodory与Radon引理、Helly定理。 9，射影几何、射影直线与平面、Pappus与Desargues定理、n维射影空间简介、二次平面曲线的分类、

25、四次方程、Pascal定理。 10，圆与球、球面几何、n维球的几何、Riemann椭圆几何、Lobachevsky几何的Klein模型、线性分式变换与球极投影、Lobachevsky几何的其它模型、初等双曲几何。 11，Euclid几何和Riemann椭圆几何及Lobachevsky几何的同构性、复射影空间、影变换的不动点、调和四重点与调和四重线。 古典微分几何 1，Descartes坐标系、坐标变换、Euclid空间中的曲线、梯度、余向量、Riemann度量、伪Riemann度量、Minkowski度量。 2，正则曲线与Frenet曲线、平面曲线、具有常曲率的平面曲线、空间曲线、曲率与挠率的

26、关系。 3，Frenet方程、局部曲线论的基本定理、Minkowski空间、Minkowski空间上的Frenet方程、闭曲线、缠绕数、旋转度、凸曲线及其分类、四顶点定理。 4，狭义相对论的数学模型、Poincare群、Lorenz变换、曲面元、曲面的第一基本形式、曲面的定向、曲面上的诱导度量。 5，Gauss映射、Weingarten映射、曲面的第二与第三基本形式、主曲率、旋转面、Beltrami-Enneper定理、直纹面。 6，可展曲面、Weingarten曲面、极小曲面、共形参数化。 7，Weierstrass表示、Minkowski空间上的曲面、超曲面、球面上的度量。 8，Lobac

27、hevsky度量、Lobachevsky几何的Poincare度量模型与Klein度量模型、Minkowski空间中的类空曲面的曲率、复变换群、复解析函数、Riemann曲面、共形坐标。 9，Beltrami方程、球面度量与Lobachevsky度量、常曲率空间、矩阵空间中的曲面、矩阵的指数映射。 10，四元数、共形度量、共形变换、Liouville定理、方向导数、共变导数、联络、 Christoffel符号、Gauss公式、Weingarten方程。 11，平行向量场、测地线、平行移动、最短路径定理、Gauss绝妙定理、Gauss方程、Codazzi-Mainardi 方程、曲率张量、局部曲

28、面论的基本定理、Gauss曲率、测地平行坐标。 12，曲面的同构、Maurer-Cartan方程、测地曲率、Gauss-Bonnet定理。 13，曲面的大范围性质、Riemann与伪Riemann空间中的张量、伪微分同胚的单参数群、向量场的指数映射。 数理逻辑引论 1，字母表、一阶逻辑语言的项与形式、项与形式的归纳、自由变量与语句。 2，结构与解释、联结词的标准化、满足关系、推论关系、叠合引理与同构引理。 3，形式化与可形式化。 4，代换、矢列式法则、结构法则与联结词法则、可推导联结词法则。 5，量词与相等法则、相容性、Henkin定理。 6，可数情形的公式的无矛盾集的可满足性、完备性定理、L

29、owenheim-Skolem定理、紧性定理。 7，初等类、初等等价结构、二阶逻辑。 8，L_1_系统、L_系统、谓词与映射。 9，偏序集、Boolean代数、滤子、集合的势。 10，选择公理与ZFC公理系统、可判定性与可枚举性。 11，正规算法、Turing机。 12，寄存器机、寄存器机的停机问题、一阶逻辑的不可判定性、二阶逻辑的不完备性。 13，可判定性、Godel不完备性定理。 复分析-1 1，复数域、复平面、复平面上的直线与半平面、扩充平面及其球面表示、幂级数。 2，幂级数、解析函数、Cauchy-Riemann方程、解析函数、共形映射、分式线性变换、Mobius变换、共形映射、对称原

30、理。 3，有界变差函数、Riemann-Stieltjes积分。 4，Cauchy估计公式、解析函数的幂级数表示、整函数、解析函数的零点、Liouville定理、代数基本定理、最大模定理、闭曲线的指标。 5，Cauchy定理、Cauchy积分公式、Morera定理、零点的计算、开映射定理。 6，Goursat定理、奇点的分类、Laurent级数展开、Casorati-Weierstrass定理。 7，留数定理、辐角原理、Rouche定理、最大模原理。 8，Schwarz引理、Hadamard三圆定理、Phragmen-Lindeloff定理、Arzela-Ascoli定理。 9，解析函数空间、

31、Hurwitz定理、Montel定理、亚纯函数空间、Riemann映射定理。 9，Weierstrass因式分解定理、正弦函数的因式分解、Runge定理。 10，单连通性、Mittag-Leffler定理、Schwarz反演原理。 11，函数芽、沿道路的解析开拓、完全解析函数、单值性定理、调和函数、最大值原理、最小值原理、Poisson核、Harnark不等式、Harnark定理。 12，次调和函数与上调和函数、Dirichlet问题、Green函数。 13，Jensen公式、Poisson-Jensen公式、Hadamard因式分解定理。 复分析-2 1，Bloch定理、Picard小定理、

32、Schottky定理、Montel-Caratheodory定理、Picard大定理、共形映射在流体力学上的应用。 2，Pompeiu公式、Schwarz-Christoffel公式。 3，Gamma函数、Laplace变换、渐进级数、渐进展开、Riemann-Zeta函数。 4，Green公式、椭圆函数与双周期性、Liouville定理、因子群、Weierstrass椭圆函数。 5，椭圆函数域、椭圆积分。 6，加性定理、椭圆函数论在椭圆积分上的应用。 7，Abel定理、椭圆模群。 8，模函数、Eisentein级数。 9，模群及其基本域。 10，模形式的代数、Theta函数的Jacobi变换

33、公式。 11，同余群、同余群的模形式、单连通流形上的函数的整体连续。 12，曲面的定义、Riemann曲面、Riemann曲面上的Rieman度量、Laplace-Beltrami算子、Schwarz-Pick定理、双曲度量、测地线。 13，双曲同构的离散群、基本多边形、Riemann曲面上的Gauss-Bonnet公式、Riemann-Hurwitz公式。 微分方程-1 1，微分方程的基本概念、相空间、积分曲线、具有一维相空间的微分方程。 2，具有多维相空间的微分方程、相曲线、后继函数、Poincare映射、小振动、解的存在性与唯一性、Lipscitz条件。 3，可分离变量的方程、Lotka-Volterra模型、平衡位置、一阶线性齐次方程、具有周期系数的一阶线性齐次方程。 4，一阶线性非齐次方程、叠加原理、Green函数、具有周期系数的一阶线性非齐次方