实验空间图形的画法基础实验.docx

1、实验空间图形的画法基础实验项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验2 空间图形的画法(基础实验)实验目的 掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数的图形. 该命令的基本格式为Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项其中fx,y是的二元函数, x1,x2表示x的作图范围, y1,y2表示y的作图范围. 例如,输入Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2则输

2、出函数在区域上的图形(图2.1) 图2.1与Plot命令类似, Plot3D有许多选项. 其中常用的如PlotPoints和ViewPoint. PlotPoints的用法与以前相同. 由于其默认值为PlotPoints-15, 常常需要增加一些点以使曲面更加精致, 可能要用更多的时间才能完成作图. 选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角), 其默认值为ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时, 该命令的基本格式为ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,

3、u1,u2,v,v1,v2,选项其中xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式. u1,u2是作图时参数u的范围, v1,v2是参数v的范围.例如，对前面的旋转抛物面, 输入ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2 Pi同样得到曲面的图形(图2.2). 图2.2由于自变量的取值范围不同, 图形也不同. 不过, 后者比较好的反映了旋转曲面的特点, 因而是常用的方法.又如, 以原点为中心, 2为半径的球面. 它是多值函数, 不能用命令Plot3D作图. 但是, 它的参数方程为因此,只要输入ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv

4、,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi便作出了方程为的球面(图2.3).图2.3.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2,选项其中xt,yt,zt是曲线的参数方程表示式. t1,t2是作图时参数t的范围.例如, 空间螺旋线的参数方程为 输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,RGBColor1,0,0,t,0,8 Pi则输出了一条红色的螺旋线(图2.4). 图2.4在这个例子中，请读者注意选项RGBColor1,0,0的位置.用于作空间曲线时, Pa

5、rametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30, 选项ViewPoint的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:无论在平面或空间, 先作出一系列的图形, 再连续不断地放映, 便得到动画.例如, 输入调用作图软件包命令12则作出了12幅曲面图, 选中任一幅图形, 双击它便可形成动画.实验举例一般二元函数作图例2.1 (教材 例2.1) 作出平面的图形,其中.输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2则输出所作平面的图形（图2.5）. 图2.5如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2,PlotRan

6、ge-0,6观察图形. 其中作图范围选项为PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块水平平面（图2.6）. 图2.6例2.2 (教材 例2.2) 作出函数的图形.输入kx_,y_:=4/(1+x2+y2)Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-30,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1则输出函数的图形2.7. 观察图形, 理解选项PlotRange-0,4和BoxRatios-1,1,1的含义. 选项BoxRatios的默认值是1,1,0.4.图2.7例2.3 (教材 例2.3) 作出函数的图形.输入命令Plot3D-x*y*Exp

7、-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3,PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic;则输出所求图形（图2.8）. 图2.8例2.4 (教材 例2.4) 作出函数的图形.输入Plot3DCos4x2+9y2,x,-1,1,y,-1,1,Boxed-False,Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False则输出网格形式的曲面图2.9, 这是选项Shading-False起的作用, 同时注意选项Boxed-False的作用.图2.9二次曲面例2.5 (教材 例2.5) 作出椭球面的图形.这是多值函数, 用参数方程作图的命令Para

8、metricPlot3D. 该曲面的参数方程为().输入ParametricPlot3D2*Sinu*Cosv,3*Sinu*Sinv, Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出椭球面的图形（图2.10）. 其中选项PlotPoints-30是增加取点的数量, 可使图形更加光滑. 图2.10例2.6 (教材 例2.6) 作出单叶双曲面的图形.曲面的参数方程为()输入ParametricPlot3DSecu*Sinv,2*Secu*Cosv, 3*Tanu,u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2 Pi,PlotPoints-30则输出单叶双曲面的图形（图2.11）

9、. 图2.11例2.7 作双叶双曲面的图形.曲面的参数方程是其中参数时对应双叶双曲面的一叶, 参数时对应双叶双曲面的另一叶. 输入sh1=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,Pi/1000,Pi/2,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;(*DisplayFunction-Identity是使图形暂时不输出的选项*)sh2=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,-Pi/2,-Pi/1000,v,-Pi,Pi,Displa

10、yFunction-Identity;Showsh1,sh2,DisplayFunction-$DisplayFunction(*命令Showsh1,sh2是把图形sh1,sh2放置在一起, DisplayFunction-$DisplayFunction是恢复显示图形的选项*)输出为图2.12.图2.12例2.8 可以证明: 函数的图形是双曲抛物面. 在区域上作出它的图形.输入Plot3Dx*y,x,-2,2,y,-2,2,BoxRatios-1,1,2,PlotPoints-30输出图形略. 也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形, 输入ParametricPlot3r*C

11、ost,r*Sint,r2*Cost*Sint,r,0,2,t,0,2 Pi,PlotPoints-30输出为图2.13比较这些图形的特点.图2.13例2.9 (教材 例2.7) 作出圆环,()的图形.输入ParametricPlot3D(8+3*Cosv)*Cosu,(8+3*Cosv)*Sinu,7*Sinv,u,0,3*Pi/2,v,Pi/2,2*Pi;则输出所求圆环的图形（图2.14）. 图2.14例2.10 画出参数曲面的图形.输入命令ParametricPlot3DCosu*Sinv,SinuSinv,Cosv+LogTanv/2+u/5,u,0,4*Pi,v,0.001,2;则输

12、出所求图形(图2.15).图2.15曲面相交例2.11 (教材 例2.8) 作出球面和柱面相交的图形.输入g1=ParametricPlot3D2 Sinu*Cosv,2 Sinu*Sinv,2 Cosu,u,0,Pi,v,0,2 Pi,DisplayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3D2Cosu2,Sin2u,v, u,-Pi/2,Pi/2,v,-3,3,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求图形（图2.16）. 图2.16例2.12 作出锥面和柱面

13、相交的图形.输入g3=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r,r,-3,3,t,0,2 Pi,DisplayFunction-Identity;Showg2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图2.17.图2.17例2.13 画出以平面曲线为准线, 母线平等Z轴的柱面的图形.写出这一曲面的参数方程为取参数s的范围为0, 8. 输入命令ParametricPlot3Dt,Cost,s,t,-Pi,Pi,s,0,8则输出所求图形(图2.18).图2.18例2.14 (教材 例2.9) 作出曲面及面所围成的立体图形.输入g1=Para

14、metricPlot3Dr*Cost, r*Sint,r2,t,0,2*Pi,r,0,1,PlotPoints-30;g2=ParametricPlot3DCost*Sinr,SintSinr,Cosr+1,t,0,2*Pi,r,0,Pi/2,PlotPoints-30;Showg1,g2则输出所求图形（图2.19）. 图2.19例2.15 (教材 例2.10) 作出螺旋线()在面上的正投影曲线的图形.所给螺旋线在面上的投影曲线的参数方程为.输入ParametricPlot2t,10Cost,t,-2Pi,2Pi;则输出所求图形（图2.20）. 图2.20注:将表示曲线的方程组, 消去其中一个

15、变量, 即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程, 不考虑曲线所在平面, 它就是投影柱面方程; 对于参数方程, 只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例2.16 (教材 例2.11) 作出默比乌斯带(单侧曲面)的图形.输入Clearr,x,y,z;rt_,v_:=2+0.5*v*Cost/2;xt_,v_:=rt,v*Costyt_,v_:=rt,v*Sintzt_,v_:=0.5*v*Sint/2;ParametricPlot3Dxt,v,yt,v,zt,v,t,0,2 Pi,v,-1,1,PlotPoints-40,4,Ticks-False则输出所

16、求图形（图2.21）. 观察所得到的曲面, 理解它是单侧曲面. 图2.21空间曲线例2.17 (教材 例2.12) 作出空间曲线的图形.输入ParametricPlot3Dt*Cost,t*Sint,2*t,RGBColor1.0,0,0.5,t,0,6 Pi则输出所求图形（图2.22）. 图2.22例2.18 绘制参数曲线的图形.输入命令ParametricPlot3DSint,2Cost,t.2,t,0,12;则输出所求图形(图2.23).图2.23例2.19 绘制参数曲线的图形.输入命令ParametricPlot3DCost2,1/(1+2*t),ArcTant,t,0,8;则输出所求

17、图形(图2.24).图2.24动画制作例2.20 平面正弦曲线的运动.输入TablePlotSinx+t*Pi,x,0,6 Pi,t,0,2,1/8则作出了16幅具有不同相位的正弦曲线(输出图形略). 双击屏幕上某一幅画, 则可形成动画. 下面是动画的最后一幅图（图2.25）.图2.25例2.21 (教材 例2.13) 作模拟水波纹运动的动画.输入调用软件包命令50,AspectRatio-0.5,ViewPoint-0.911,-1.682,2.791,Frames-12则输出12幅具有不同相位的水面图形, 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下图是第一幅图（图2.26）.图2.26

18、例2.22 (教材 例2.14) 用动画演示由曲线绕z轴旋转产生旋转曲面的过程. 该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为其参数方程为输入Fori=1,i1,AxesLabel-X,Y,Z;则输出连续变化的30幅图形. 双击屏幕上任意一幅图, 均可观察动画效果. 下面是生成旋转曲面的过程中的第23幅图（图2.27）.图2.27例2.23 将一张薄膜贴在的方框上, 薄膜振动的函数取为其中t为参数, 作出图形随t的变动而引起薄膜振动的动画.初始位置是通过t的不同值得到多幅画面, 然后将这些图形连续地一张张显示出来, 即可达到运动的动画效果. 输入命令-8,8,t,0,1.75,0.25;则输出相应动画

19、. 下面动画的最后一幅图（图2.28）. 图2.28实验习题1.用Plot3D命令作出函数的图形, 采用选项PlotPoints-40.2.作出函数的图形.3.用Plot3D命令作出函数在上的图形, 采用选项PlotPoints-60.4.二元函数在点(0,0) 处不连续, 用Plot3D命令作出在区域上的图形(采用选项PlotPoints-40).观察曲面在(0,0)附近的变化情况.5.一个环面的参数方程为试用命令ParametricPlot3D作出它的图形.6.一个称作正螺面的曲面的参数方程为试用命令ParametricPlot3D作出它的图形.7.用命令Plot3D作双曲抛物面,其中(用选项BoxRatios-1,1,1, PlotPoints-30).8.用命令ParametricPlot3D作出圆柱面和圆柱面相交的图形.9.用命令ParametricPlot3D作出抛物柱面和平面相交的图形.10.用命令ParametricPlot3D作出圆柱面和圆柱面相交所成的空间曲线在第一封内的图形.11.用命令ParametricPlot3D作出球面和柱面相交所成的空间曲线的图形.