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1、习题7解1习题7 7.1 晶体具有哪些宏观特征？这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系？ 答：（单）晶体外形为凸多面体，常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的，即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。 晶体外形上的规则性反映着内部分子（原子）间排列的有序。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。 7.2 图为一个二维的晶体结构，每一个黑点代表一个化学成分相同的原子。请画出原胞和布喇菲格子。 解：原胞应有以下特点： （1）对

2、于二维结构应有二个独立方向； （2）在每个方向取完整的一个周期； （3）作为重复单元其面积最小。 所以原胞的取法不是唯一的，这里画出两种 原胞1 原胞2 取法。 从结构图看出，黑点间不是等间距的，一个完整周期中有两个黑点。这就是说，虽然黑点代表的原子的化学成分相同，但在晶体中的地位不同，故区分为两类粒子，只要取出一类粒子的位置作为结点的位置就可以了，所以布喇菲格子由下图所示： 7.3设晶格常数（立方体晶胞边长）为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？距离多大？ 2 答：简立方分别为6个和12个，距离为a和a；面心立方分别为12个和6个，距离为a2 2 1 3和a；体心

3、立方分别为8个和6个，距离为a和a。 2 7.4具有笛卡尔坐标(n,n,n)的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果 123(a) n全为奇数或者n全为偶数的点的集合； iin (b) 满足为偶数的点的集合。 ii 答：(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0)，以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标(n,n,n)全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。同理，以(1,1,1)为起点向三个坐123标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标(n,n,n)全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。两123套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。 n (b) 为偶数则有两种情

4、况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个奇数。前者构成面心立方（边ii长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。所n 以为偶数的坐标点的集合构成面心立方。 ii 7.5 试证：体心立方格子的倒格子为面心立方格子。 aaa证：体心立方正格子基矢 ()， a -i j ka (i-j k)a (i j-k). 12322222aa因为 ()a a (2j 2k) j k 23421故原胞体积 3 a a a a 1232 2a a2倒格子基矢 ()23b j k 1 a 2a a2a a22类似可得，

5、()()3112b k ib i j 23a a aaa4与面心立方基矢的()，比较可知，上面倒格子是边长等于a j ka (k i)a (i j) 123222a面心立方。 7.6将原子想象成刚球，刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否紧密的量度。试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。 4dd a3解：（1）简立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积3a ()，晶胞体积为，平均一个 32 2 4d晶胞有1个原子，故33 q ()/a 326 34d3（2）体心立方最近邻原子距离da3a，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个 () 232 4d3晶胞有2个原子，故33 q 2

6、 ()/a 382 24d3（3）面心立方最近邻原子距离da3a，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一 () 232 4d2个晶胞有4个原子，故33 q 4 ()/a 362 34d3（4）金刚石最近邻原子距离da33 ，一个晶胞有8个原子，故 q 8 ()/a 43216 7.7设原胞基矢、相互正交，求倒格子基矢。什么情况下，晶面(h k l)与晶轴h k l 正aaa123交？ 解：因为正交，可设aai、，且原胞体积。所以 a aja ak aaa112233123 222222 ， b a a ib a a jb a a k 123231312 a a a231 晶轴h k l沿，而晶

7、面(h k l)的法线方向为。如果晶面(h k l)与晶R ha ka laK hb kb lb123123 轴h k l 正交，则与平行，即有。而 KRR K 0 aaaaaa 332112 R K i2kl( ) j2hl( ) k2hk( ) aaaaaa321321所以晶面(h k l)与晶轴h k l 正交的充要条件是 a a a123 或由RK知，得 /R/K R/K R/Ka a axxyyzz123 7.8 找出四方体(a=bc)和长方体(abc)的全部对称操作。 解：（1）设两底面为正方形，侧面为长方形。则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中，两组对棱

8、中心连线各构成一个2 G 次轴。考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作 E 3 + 21 + 21 + 1=8 由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8 F C 个，故共有16个对称操作。 D B 3 O A （2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操作数为 2（31 + 1）=8 7.9 试求金刚石结构中共价键之间的夹角。 解：金刚石结构没见教材图7.1-11，碳原子B原子周围4个碳原子是A、A、A、A，各点11234aaaaaaaaa坐标：A (0,0,0),B (,)A (,0,)A (,0),)A (0,，。， 11342444222

9、222 aaaaaa不难看出：， BA i j kBA i j k 1112444444 a3a2故BABA ()BA BA ，所以两者夹角为 ，而 1112111244 1 1 1 cosBABA/(BA BA) cos( ) 109.47 10928 111211123 7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波？ 答：格波描写晶体中各原子的集体振动，由于原子的平衡位置构成周期性排列，振动量是原子的位移，所以格波描写的振动点是空间分列点，不同波矢的波动对这些分列点的振动描述可以完全相同。 qa xAe1/2i(qna t)例如，对于一维简单格子，原子振动可写成，色散关系为。 2()|sin

10、()| nm2 2 i(qna t)i(qna 2n t)若，即各原 q q x Ae Ae x，则对应的频率，故位移 nna子的振动完全相同。 7.11周期性边界条件的物理图像是什么？据此对晶格振动可以得出哪些结论？ 答：可以用不同的物理图像解释周期性边界条件：（1）将一维原子链看成一闭合圆环，由于原子很多，故圆环半径很大。原子振动范围比起圆环周长来是很小的，故仍可看作直线振动。而由于圆环的闭合性，第1个粒子与第N+1个粒子实际为同一粒子，故令x x。（2）另一种看法是将许许1N 1多多相同的晶体首尾“相连”，使晶格周期性在边界仍保持成立，并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况相同。 周期性边

11、界条件直接导致格波的波矢只能取一些分列值，波矢取值的数目与晶体原胞数相同。 4 周期性边界条件得出的结论只适用体内粒子，边界处实际粒子的势场缺少周期性，故结论不适用。 q 7.12（1）按周期性边界条件，一维简单格子的格波波矢应取什么值？ NNqq（2）证明一维简单格子满足 ，为原胞数，及为波矢的可能取值。 i(q q)na e Nq,qn 1（1）答：在周期性边界条件下，对于一维有限的简单格子，第一个原胞的原子应和第N1个原xx胞的原子振动情况相同，即 1N 1 xAei(qa t)iqNa 而 ，iq(N 1)a t e 1。因此 ，所以 x AeN 11ll qNa=2（为整数） ( ,

12、)l即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。因为q介于,所以 介于 aaNNNN，即 ( ,) l l。由此可知，只能取N个不同的值，因而q也只能取N个不同 2222的值。这里N是原胞的数目。 Ni(q q)na（2）证：当时，上式显然成立。 eNq q n 1 当时，上式左边构成等比数列求和，公比i(q q)aq q，利用等比数列求和公式 r eN1 rN 1 a ra ra a 00001 r Ni(q q)Nai2(l l)而 1r e e Ni(q q)na所以由上面两式可知，0 （） e q qn 1综合和两种情况，说明命题是成立的。 q qq q 7.13 在讨论三维自由电子

13、的能态密度时，如果晶体为长方体，边长分别为LLL、，试推312导其能态密度的表达式。 解：对于长方体，三维自由电子的波函数和能量为 2222122(k k k) k i(kx ky kz)xyz 2E (r) (LLL)exyz， 1232m2m 5 其中， k 2 n/L k 2 n/L k 2 n/Lnnn，、都是整数。 y22x11z33312 k k k2/L k k2/L2/L、的取值都是等间隔取值，间隔分别为，。所以，在、yyx3xz12 k构成的空波矢间中代表量子态的点子分布是均匀的。一个点子占有的“体积”是z33 V LLL (2)/(LLL) (2)/V，这里，为晶体的体积。

14、 123123 k 2mE/ k但能量只与波矢大小有关，能量在0E范围在k空间占有的“体积” 44333/2/ (2) k mE 33所以能量在0E范围内的量子态数为 443/2333/23 N / (2mE)/ /(2)/V V(2mE)/h 33对上式微分就得到能量在EE+E范围内的量子态数 3/21/23 N 2V(2m)E E/h 考虑到电子自旋具有向上和向下两种状态，应乘以2，故能态密度为 3/21/23 D(E) N/ E 4V(2m)E /h 120ikx 7.14 准自由电子近似零级近似下的波函数为 k l(x) e l ，其中，为整数。证 kLLL 200明：当 *(x)H(

15、x)dx 0 k k n时，。 kka0 2inx 证：aH V(x) V Ve，故 0nn 2LL1i(n k k)x 00 a*(x)H(x)dx Vedx （1） kknLn00 6 s 01 L1 isx而积分 edx 1 isLL(e 1) s 0 0isL 2222比较（1）式， s n k k n l lsL 2(nN l l)， aaLL 2 sL2( 1) 0isL即为的整数倍，故s 0nk k ne（为任意整数），。所以，只要，即 aL*()()000则（1）式右边每项积分都为0，故 xHxdx kk0()(4cossin)2 7.15 已知一维晶体中某个能带可写成：A 0

16、Ek Aka ka，其中，00 k 。求：（1）能量的最大值和最小值；（2）能带底部和顶部的电子有效质量。 aadEAakaakakaaAkaka解： ( 4sin 2sincos) 2( 2 cos)sin 00dk2dE2(2coscos2)2 aA ka ka 02dk dEsinka 0 0(1) 令 得，即k 0, 。由（2）式知， dka22dEdE|6022，而， aA | 2aA 0 0k 0022dkdkk ak 0所以处为极大值，E E(0) 4A max0 而 k E E() 4A处为极小值， min0aa2 1dE 122 (2) k m*| | /(6aA) 为能带底

17、部， 0底22adk k a21dE 122 k 0m*| | /(2aA) 为能带顶部， k 00顶22dk 7.16 用能带理论解释金属、半导体、绝缘体在导电性能方面的差异。 7 答：按照能带理论，满带电子不能导电（全部电子对电流的总贡献等于零）而不满带电子可以导电。金属中，除去满带外，还有部分地被填充的能带，后者可以起导电作用。在半导体或绝缘体中，只有满带与空带，但是半导体的禁带宽度较小，一般在2个电子伏特以下，而绝缘体的禁带宽度较大。在极低温度下，两者导电性能都很差。当温度逐渐升高以后，总会有少数电子，由于热激发，从满带跳到邻近的空带中去；使原来的空带也有了少数电子，成为导带；而原来的

18、满带，现在缺了少数电子，成为近满带，也具有导电性。在半导体中，由于禁带窄，电子容易从满带激发到导带中去；而在绝缘体中，禁带太宽，激发的电子数目极少，以至没有可察觉的导电性。 习题8 8.1 纯Ge、Si中掺入族或族元素后，为什么使半导体导电性能有很大的改变？杂质半导体（p型或n型）应用很广，但为什么我们很强调对半导体材料的提纯？ 答：纯Ge、Si中的载流子浓度（即本征载流子浓度n）很低，族或族元素是有效的受主或i施主杂质，即容易电离而提供载流子。即使掺入微量的杂质（例如百万分之一），提供的载流子浓度也远高于n，所以使半导体导电性能有很大的改变。 i 不同的杂质产生的影响很不相同，对半导体掺杂的

19、目的是需要对半导体的性能进行控制。只有在特定的区域掺入特定的杂质才能取得所需的效果，如果半导体材料不纯，就很难控制半导体的性能，也就不能制备所需的器件。 8.2 当E-E为1.5kT、4 kT、10 kT时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电FBBB子占据各该能级的概率。 1解: 费米分布函数 f(E) (E E)/kTe 1FB玻耳兹曼分布函数 (E E)/kT f(E) eFBBE-E为1.5kT时,=0.182,=0.2231； f(E)f(E)FBBE-E为4kT时,=0.01799,=0.01832； f(E)f(E)FBBE-E为1.5kT时,=0.0000453979,=

20、0.0000453999。 f(E)f(E)FBB（注：保留的有效数字的位数只要能显示两种分布的差别即可） 8.3 为费米分布函数，而费米能级f(E,T)又与温度有关，试证 EFE f fdE F T() TdTTT E1f(E,T)证：将写成复合函数，即f(E,T) u (E E)/kT，而，则 FBue 1 8 E uE11d u1()F； ( ) 2 TkkdTTT EkTBBBEEEdE u1d uFF所以 T() T() TT TkTdTTdTT EBE fEd f f fdf udf uF而， 所以 T() E Tdu Tdu E TTdTT E 8.4 解释本征半导体、n型半导体

21、、p型半导体，它们的主要特点是什么？ 答：本征半导体：无杂质、无缺陷的理想半导体，满足n=p，电导率很低，费米能级近似在禁带中央； n型半导体：掺施主杂质的半导体，电子是多数载流子，即np，费米能级偏向导带； p型半导体：掺受主杂质的半导体，空穴是多数载流子，即pn，费米能级偏向价带。 nn e 8.5 有二块n型硅材料，在某一温度T时，第一块与第二块的电子浓度之比为/（自12kT然对数的底）。已知第一块材料的费米能级在导带底以下2，求第二块材料中费米能级的位置，B并求出两块材料空穴密度之比。 (E E)/kT (E E)kT解：（1）由公式n/n en Ne，得， F1F2BCFBC12ln

22、(/)解出费米能级 E E kTnn F1F2B12nn e已知E E 2kTE E kT E 3kT/，故 CF1BF2F1BCB12(E E)/kT （2）由公式 (E E)/kTp/p e 1/e，得F2F1Bp NeFVB12V16 3 8.6 室温下，硅的本征载流子密度为En 1.5 10m，费米能级为，现在硅中掺入密度ii20 3为的磷，试求：（1）电子浓度和空穴浓度；（2）费米能级的位置。 10m解：（1）磷为施主杂质，nN远大于，故多子浓度约等于掺杂浓度 iD20 3n N 10m D 9 212 3而 p n/n 2.25 10miE E kTln(n/n) 8.8kT 0.

23、23eV（2） FiBiB 8.7 室温下，本征锗的电阻率为47cm，试求本征载流子浓度。若掺入锑杂质，使每106个锗原子中有一个杂质原子，计算室温下电子浓度和空穴浓度。设杂质全部电离。锗原子的浓度为4.410/cm,试求该掺杂锗材料的电阻率。设/Vs，/Vs，且认为不22322=3600cm=1700cm pn随掺杂而变化。 ()解：（1）因 qn ， iinp 1/472.5110()13 3i故 n cm i 19 q( )1.6 10 (3600 1700)np104.4104.410() 62216 3（2）锑为施主， N cmD4.410() 16 3室温下杂质基本上都电离，多子浓

24、度 n N N cmDD2n10 3相应地 ip 1.42 10cm n110.039() 电阻率 cm q(n p)npNNkT 8.8若 =510cm, =110cm，取n=2.510cm，=0.026eV，求室温下 Ge15-317-313-3DAiBV突变 p-n结的。 DkTNNln0.35 (V)BAD解: V D2qni8.9有锗p-n结，设p区的掺杂浓度为N，n区掺杂浓度为N，已知N=10 N，而N相2ADDAA当于10个锗原子中有一个受主原子，计算室温下接触电位电位差V。若N浓度保持不变，而N8DAD增加10倍，试求接触电位差的改变。取锗原子密度4.410cm。 222-3N

25、解：（1) =104.410cm=4.410cm，N=10 N=4.410cm -822-314-3216-3ADAkTNNBADV ln 0.269 (V) D2qni 10 （2）0.026(lnln)0.12(V) V V N N D2D1D2D1N，N 8.10一个硅p-n结二极管具有下列参数：= 10/cm= 510/cm，=1s，163183 D A np电子和空穴的迁移率分别为500cm/(Vs)和180cm/(Vs)，p-n结的面积222。在室温300KA 0.01cm下的本征载流子浓度为1.510/cm，试计算室温下（1）电子和空穴的扩散长度；（2）正向电流103为1mA时的

26、外加电压。（取kT=0.026eV）。 BkT2解：（1）B0.02650013(/) D cms nnqkT 0.0261804.68(/)2 BD cms ppq 33.6110() L D cmnnn 32.1610() L D cmppp2102n(1.5 10)43i（2）2.2510(1/) p cm n016N10D2102n(1.5 10)3i 45(1/) n cm p018N5 10A4 DpDn 13 454.68 2.25 10pn0np0 19 I Aq 0.01 1.6 10 s 3 3LL2.16 103.61 10 np 14 7.83 10(A)qV/kT由电

27、流-电压方程 (1)得： I Ie BskTIB ln( 1) 0.605(伏) V qIs 8.11 简述雪崩击穿、隧道击穿的机理。 习题9 9.1试从（9.1-10）式解出（9.1-11）式，并求良导体（）和劣导体（）的 简化结果。 解：将（9.1-10）分开写成成两个式子： 22n K 2nK (1)，(2) 00 1n()0422两式消去得：K K 400 11 22解出KK，并注意只能取正值，得： 112222(3) K () () 1 () 1 220000 1代入（1）式解得： 1()122(4) n 20 1（1）良导体，由(4)和(3)得 22 (5) n K () 2200

28、 11 （2）劣导体，()122 ，或 (6) K 1 K 22 200 而2，或 (7) n n 00 9.2半导体对光的吸收有哪几种主要过程？哪些过程具有确定的长波吸收限？写出对应的波长表达式。哪些具有线状吸收光谱？哪些光吸收对光电导有贡献？ 答： 半导体对光的吸收主要有本征吸收、激子吸收、杂质吸收、自由载流子吸收、晶格振动吸收等。 1.24本征吸收具有确定的长波吸收限：或( ) h h Em 00gE (eV)g杂质吸收也具有确定的长波吸收限：若电子吸收光子跃迁到导带，或空穴吸收光子而跃迁到价带，满足；若电子从电离受主能级跃迁入导带，或空穴从电离施主能级跃迁入价带，满足 h EI。 h

29、E E0I激子吸收具有线状吸收光谱；在低温下，也能观测到杂质吸收的线状结构。 本征吸收、杂质吸收都可以产生自由载流子，对光电导有贡献。 9.3区别直接跃迁和间接跃迁（竖直跃迁和非竖直跃迁）。 直接跃迁：电子吸收光子产生跃迁时波矢保持不变，在此过程中没有声子参与； 间接跃迁：电子吸收光子产生跃迁时波矢也会变化，非直接跃迁过程是电子、光子和声子三者同时参与的过程。 由于间接跃迁的吸收过程，一方面依赖于电子与电磁波的相互作用，另一方面还依赖于电子与晶格的相互作用，是一种二级过程。发生这样的过程，其概率要比只取决于电子与电磁波相互作用的直接跃迁的概率小得多。因此，间接跃迁的光吸收系数比直接跃迁的光吸收

30、系数小很多。 9.4什么是光电导？光电导有哪几种类型？ 答：光吸收使半导体中的载流子浓度的增大现时使样品电导率增大，这种由光照引起半导体电 12 导率增加的现象称为光电导。 光电导有本征光电导和杂质光电导两种类型。光照使价带中的电子因吸收光子而跃入导带，产生自由电子和空穴使电导率增加，此为本征光电导；光照也能使束缚在杂质能级上的电子或空穴受激电离而产生杂质光电导。 9.5解释光生伏特效应。写出光电池的伏安特性方程，说明开路电压和短路电流的含义。 答：光照射非均匀半导体时，光生电子和空穴由于内建电场的作用会向两边分离，因而在半导体内部产生电动势（光生电压）；如将半导体两端短路，则会出现电流（光生

31、电流）。这种由内建电场引起的光电效应，称为光生伏特效应。 光电池的伏安特性方程：qV/kT(1) I I I I Ie BLFLs在p-n结开路情况下（负载电阻），两端的电压即为开路电压R ；如将p-n结短路VOC（），这时所得的电流为短路电流V 0，短路电流实际等于光生电流，即。 II ISCSCL 9.6什么是半导体发光？简要说明p-n结电致发光的原理。 答：半导体材料受到某种激发时，电子产生由低能级向高能级的跃迁，形成非平衡载流子。这种处于激发态的电子回复到较低的能量状态时，以光辐射的形式释放出能量。或者说，电子从高能级向低能级跃迁，伴随着发射光子，这就是半导体发光。 正向偏压下，p-n结势垒区和扩散区注入了大量少数载流子。如果辐射复合的概率很大，那么非平衡少数载流子不断与多数载流子复合（或带与带之间的直接跃迁，或通过杂质对的跃迁形成的辐射复合），辐射复合伴随着发光，这就是p-n结注入发光的基本原理。 LS 9.7一棒状p型半导体