第三单元《分数除法》教材分析.docx

1、第三单元分数除法教材分析第三单元分数除法教材分析本单元在分数的意义和分数乘法的基础上编排，重点教学分数除法的知识。包括分数除法的计算法则；已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题；“比”的意义、性质，按比例分配等内容。本单元一共编排11道例题，具体安排见下表：例1分数除以整数例2、例3整数除以分数例4分数除以分数例5已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题例6分数连除、分数乘除混合运算例7、例8比的意义、比和除法的关系例9比的基本性质例10化简比例11按比例分配的实际问题单元整理与练习在本单元之前，学生已经学会了分数加、减法和乘法的计算，他们继续学习分数除法，就掌握了分数的四则计算

2、。分数除法的计算法则历来是教学的难点，并不是学生不会按照法则进行计算，而是法则的得出很不容易。改进除法法则的教学方法，使形成法则的过程符合小学生的认知特点，充分发挥他们的积极性与能动性，是本单元教材的一个亮点。从表格里可以看到，除法计算法则的教学安排很细致，先是分数除以整数，再是整数除以分数，然后是分数除以分数，逐步形成包摄性很强的法则。分数除法一般转化成分数乘法计算，转化的方法是乘除数的倒数，例1到例4都教学这样的转化。前两道例题在操作中开展形象思维，体会转化是合理的；后两道例题通过猜想与验证，理解转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是学生被动接受，而是主动建构的过程；不仅是形成

3、知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。在分数除法里教学比的知识，是本单元教材的又一个亮点。小学数学把两个数的比看作这两个数相除。显然，在教学除法时可以安排比的教学。比与除法有关，除法与分数有关，那么比与分数应该也有联系。数学教学专家认为，分数和比的融合能够加强对分数的认识，从分数联想它能反映的比，丰富了分数的含义，扩展了解决分数问题的思路和途径。比的基本性质和分数基本性质很相似，利用分数性质可以约分或通分，利用比的性质可以化简比，其中的内在联系以及技能的相互对应，能够优化学生的认知结构，提高他们学习能力。改进传统分数除法应用题的教学，也是本单元教材的亮点。联系分数乘法的意义，分析

4、“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的数量关系，很容易列方程解答。这就不再把分数乘法问题与分数除法问题作为两类完全不同的问题去识别，而是突出它们最本质的数量关系，作为同一数量关系的两种不同情况，分别列算式和列方程解答。这也就充分利用了数学的基础知识与基本方法，能够有效减轻学生的学习负担。（一） 教学分数除以整数和整数除以分数，鼓励学生在图画上平均分，从操作中感悟算法分数除以整数、整数除以分数，是分数除法中比较简单的两种情况。教材希望学生初步体会，分数除法可以通过被除数乘除数的倒数进行计算。为了有利于学生获得这种体会，例1到例3都选择可以操作的素材。例1用图画呈现4/5升果汁，让学

5、生在图上把它平均分成2份，并算出结果。一部分学生在操作中看到4/5平均分成2份，每份是2/5，列出算式4/522/5。“蘑菇”卡通的思考代表了这部分学生的想法，它的“把4个1/5平均分成2份”清楚地解释了4/52的意思。另一部分学生在直观情境的支持下，得出把4/5平均分成2份，每份是4/5的1/2。“辣椒”卡通把这样的思考用式子的变换表示出来，就是4/524/51/2。显然，前一种算法与分数除法的计算法则有距离，后一种算法才是分数除法的一般算法。教学例1，要在学生独立探索的前提下，突出“辣椒”的算法。这是他们第一次感悟分数除法与分数乘法的联系，对本单元教学分数除法计算有定向作用。接着例1的“试

6、一试”计算4/53。从表面上看，似乎只是把除数“2”变成“3”，其实它的计算里有很丰富的教学内容。如果采用上面提到的“蘑菇”卡通的算法，由于商的分子不是整数，无论是表示还是化简都很麻烦。如果采用4/51/3这种方法，能够很快得到结果。挖掘“试一试”的教学内容，要注意三点：一是让学生经历选择算法的过程，在具体的计算实践中体会例1的两种算法，只有一种适用“试一试”的题。二是让学生完成教材安排的填空，再次经历分数除以整数转化成分数乘分数的过程，并作出对转化的解释，更清楚地懂得把4/5平均分成3份，就是求4/5的1/3。三是让学生说说分数除以整数可以怎样计算，以进一步加强转化意识与方法。“练一练”的三

7、道题是有层次的。第1题继续体会分数除以整数可以转化成分数乘法的合理性。教材用画图的方法把6/7平均分成3份，表示1份是多少。要让学生体会这个平均分既是把6/73，也是求6/7的1/3是多少。第2题练习分数除以整数向分数乘法的转化，聚焦在乘除数的倒数上。第3题是分数除以整数的计算，帮助学生巩固知识、掌握方法，初步形成技能。例2教学整数除以分数。这里的除数都是1/2、1/3、1/4等分子都是1的分数。选择这样的除数，是为了便于通过操作解决问题，感受整数除以分数的计算方法。这道例题的教学大致分三步进行：第一步是列出整数除以分数的算式。分数除法的意义和整数除法相同。例题创设把4个橙子平均分的问题情境，

8、从整数除法的数量关系带出整数除以分数的算式。问题（1）每人分2个橙子，可以分给几人，列出除法算式是42，数量关系是“橙子的总数每人分的个数可以分给的人数”。问题（2）（3）依次为每人分1/2个、1/3个、1/4个，求可以分给几人的数量关系与42相同，可以通过类比推理列出算式41/2、41/3、41/4，呈现了例题要教学的计算内容。第二步是看图计算41/2，初步感悟算法。由于每人分1/2个，因此教材把4个橙子按1/2个、1/2个地画，一共画了8个1/2。一部分学生会像“番茄”卡通那样，从图画里看到可以分给8人，于是写出除法算式的商，即41/28（人）。另一部分学生会像“萝卜”卡通那样，从1个橙子

9、分给2人，得出4个橙子可以分给428（人）。教学不能因得到问题的答案而停止，而要继续研究41/2的算法。由于41/2和42都是求4个橙子可以分给几人，得数都是8，所以它们能组成等式41/242。教材要求学生想一想“1/2和2有什么关系”，引导他们观察等式，研究等式从左边到右边的变化，初步发现整数除以分数可以变成这个整数乘分数的倒数。得到等式并看到变化是这一步教学的主要任务，一定要让学生明白等式是怎样得到的，以及等式所蕴含的数学内容。第三步通过画图操作，计算41/3和41/4。这一步以41/2的画图经验为基础，要求学生独立进行。在计算41/3时，把代表1个橙子的圆三等分，表示每人吃1/3个。从图

10、上可以看出1个橙子给3个人吃，4个橙子给431/2（人）吃。据此写成等式：41/34（3）。用同样的操作和思考，还能写出等式：41/44（4）。寻找整数除以分数的算法是例题的教学任务。教材要求学生看着上面写出的几个等式，思考“括号里的数与除数有什么关系”，引导他们继续关注分数除法改写成分数乘法的要领。（二） 继续教学整数除以分数和分数除以分数，鼓励学生猜想、验证，确认算法例3仍然是整数除以分数。不过它的除数不是几分之一那样的分数，而是几分之几的分数。如果说例2是整数除以分数的特殊情况，那么例3涉及整数除以分数的一般情况了。例4是分数除以分数。它的计算方法能够统摄前面教学的分数除以整数和整数除以

11、分数，因而更加具有概括性。教材编排例3和例4，目的是要得出分数除法的计算法则。例3和例4所设计的学习方式与例1和例2不同。例1和例2让学生在平均分物体的活动中感受分数除法可以转化成分数乘法，例3和例4让学生猜想并验证分数除法可以通过分数乘法来计算。例3和例4的编写有以下一些共同的特点：第一，两道例题都有示意图，在图上能够得到实际问题的结果，也就是能够直观看出除法算式的商是多少。例3用一根直条表示4米彩带，其中每1米都平均分成3份，还涂色表示出1个2/3米。学生可以在表示4米的直条上数出一共有6个2/3米，于是得到42/36（段）。例4画出了量杯的示意图。看着杯子上的刻度，能够知道9/10里面有

12、3个3/10，也就是9/103/103。第二，两道例题都要验证分数除法可以转化成分数乘法。学生通过例1和例2的学习，知道分数除以整数以及整数除以几分之一，可以通过相应的分数乘法进行计算。他们遇到整数除以分数和分数除以分数这些新的计算，会很自然地想到也用分数乘法来解决。但是，这种想法是不是正确，还需要验证和确认。例3要求学生想一想：等式42/343/2成立吗？其中左边除法式子的商在直条图上已经看到，是6；右边乘法式子的积可以通过计算得到，也是6。这就证明了等式是成立的。教学例4，学生对分数除法转化成分数乘法的心向已经相当强烈，一边在示意图里看出9/103/10的商，一边让他们按照9/103/10

13、9/10（ ）/（ ）这样的线索填一填、算一算，于是得到与示意图相同的结果，从而确认分数除法转化成分数乘法的猜想成立。第三，两道例题都小结算法。例3安排学生比较41/2、41/3、41/4以及42/3这些除法转化成乘法的等式，在小组里交流整数除以分数的计算方法，体会分数除法变成乘法，应该用被除数乘除数的倒数。例4总结算法的视野比较开阔，不只是分数除以分数，还要联系前面学习的分数除以整数、整数除以分数，找到所有分数除法在计算时的共同策略和相同的转化方法。然后用甲数和乙数分别表示被除数和除数，用“等于甲数乘乙数的倒数”准确而简明地表达了分数除法转化成分数乘法的要领，即分数除法的计算法则。尽管例题大

14、力改变分数除法的教学方法，学生体会和掌握算法还是会有困难的。为此，教材在例4后面的“练一练”里仍然编排两个内容的练习：一个内容是看图并计算，即先在示意图上直观看出3/5里面有几个1/5，有几个3/10，再计算分数除法351/5，3/53/10，又一次体会分数除法可以转化成乘法。另一个内容是分数除法转化成乘法的专项技能，重点放在乘除数的倒数上。练习七里编排了三个计算的题组。第2题是分数除以整数和分数乘整数的比较，如1/42和1/42，3/41/2和3/41/2等。学生通过计算可以体会到分数除法应转化成乘法才能得到结果，分数乘法可以直接约分、相乘。第7题是整数除以分数和整数乘分数的比较，如63/4

15、和63/4，184/9和184/9等，学生通过计算能体会到分数除法和分数乘法的算法不同。第1/2题是分数除以分数的比较。每组两题的被除数与除数刚好调换，如2/34/5和4/52/3，4/35/6和5/64/3等，学生通过计算能加强对“乘除数的倒数”的体验。第10题的五道分数除法算式，有些题的商比被除数小，有些题的商比被除数大，有些题的商与被除数相等。教材希望学生发现：除数大于1，商小于被除数；除数等于1，商等于被除数；除数小于1，商大于被除数。这些规律与分数乘法里的规律刚好相反。分数乘法中，一个乘数大于1，积大于另一个乘数；一个乘数等于1，积等于另一个乘数；一个乘数小于1，积小于另一个乘数。第

16、11题要求学生应用上述规律，不经过计算，直接判断乘法算式或除法算式的大小。如4/71/34/7和4/71/34/7等。这些判断有助于学生发展数感。（三） 运用分数乘法的数量关系，解决传统的分数除法实际问题在教学分数除法的计算法则以后，教材编排例5解答传统的分数除法实际问题。但是，解题方法不是过去的列除法算式，而是通过列方程和解方程得到问题的答案。列方程解答分数除法问题的最大好处是，不把它与分数乘法问题对立起来。解题所依靠的不是辨类型、识题型，而是基础的数学知识和基本的数学思想。本单元解决传统分数除法问题的思想方法，还会影响以后解决百分数除法问题。例5的教学重点是为什么用方程解答，以及怎样列出方

17、程。学生体会了列方程解题的原因，就掌握了这类实际问题的结构特点；学会了列方程的方法，就把握了数量关系和解题关键。分析数量关系是解决实际问题十分重要的一个步骤。无论是分数乘法问题还是除法问题，都要抓住分数的意义进行分析。例题通过“白菜”卡通提出的问题“大瓶和小瓶的果汁量有什么关系”，引导学生仔细体会“小瓶里的果汁是大瓶的2/3”的含义。联系“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”的经验，写出数量关系式。在“大瓶的果汁量2/3小瓶的果汁量”中，小瓶的果汁量已知，求大瓶的果汁量，显然可以列方程解答。理解这段教材，要注意“列方程解答”是分析数量关系的结果，是通过在相等关系上落实已知与未知而作出的决策。

18、教学要细致地展开“分析数量关系得出相等关系选择解题方法”的过程，让学生知道应该怎样想，学会这样的思考。“试一试”和练习八第2题，都要求学生“先把数量关系补充完整，再解答”。在教学列方程解决实际问题的起始阶段，提出这样的要求是很必要的。能进一步突出解决实际问题要分析数量关系，帮助学生掌握分析数量关系的方法，体会列方程解答的实际问题的特点。其实，解决实际问题都要分析数量关系，包括练习八里的其他实际问题。教材希望学生掌握思考的方法与要领之后，自觉地把数量关系式想在头脑里，自主开展分析数量关系的活动。练习八里还安排了一些对比练习和综合应用。第8、9两题都是分数乘法问题和除法问题的对比题组。“对比”既要

19、比出不同，准确区分它们；也要比出相同，在本质上把它们有机联系起来。分数乘法问题和除法问题，相同在数量关系式上，即都要抓住分数的意义分析数量关系，都能表示成相似的数量关系式，而且同一题组两道题的数量关系式相同。不同表现在数量关系式的已知与所求的数量上，分数乘法问题的已知条件一般都在数量关系式的一边，所求问题在数量关系式的另一边，根据数量关系式能够列出算式。分数除法问题的已知条件不集中在数量关系式的某一边，而是分布在两边，要求的问题也不单独在数量关系式的某一边，所以列方程解答比较方便。第8题有两小题：第（1）题是冬冬家买一袋面粉，重1/5千克。吃了3/5，吃了多少千克？第（2）题是冬冬家买来一袋面

20、粉，吃了3/5，正好是9千克。原来这袋面粉重多少千克？数量关系可以像下面这样分析：1/5千克 ？千克 第（1）题的已知与要求，算式1/53/5一袋面粉的质量35吃了的质量 两题共同的数量关系式？千克 9千克 第（2）题的已知与要求，方程3/5x=9数学教学应该区分不同的问题。但是，过去把分数乘法问题与除法问题对立起来，过分强调区别，往往收不到期望的效果。本单元在数量关系上求同存异，合理组织两类问题的知识结构，用对立统一的观点处理两类问题的关系，已经在教学实践中得到广大教师的认同。练习八第1/3题根据已知的大洋洲面积以及有关的分率，依次算出其他各洲的面积。其中有些应该列算式解答，有些应该列方程解

21、答，综合应用了分数乘法问题和分数除法问题的知识。（四） 教学乘除混合运算，巩固分数除法法则，培养计算能力学生初步掌握分数除法计算法则以后，计算分数连除法和分数乘除混合运算，一般要转化成分数连乘法才能进行。转化时，要正确使用分数除法法则；转化后，要灵活使用分数乘法的技巧。教材编排分数乘除混合运算的教学，能够进一步巩固分数除法的计算法则，提高学生进行分数乘除运算的能力。教材以分数乘除混合运算为例题，把分数连除安排在“试一试”里。这是因为前者转化成分数连乘时，只要把算式的一部分改变成乘法，对概念与技能的要求比后者高。例6解决分数乘、除两步计算的实际问题，通过解题教学分数乘除混合运算。先分步列式解答这

22、道例题，学生可以列出不同的算式。各种解法都分两步计算，其中一步是分数乘法，另一步是分数除法。分步解答能让学生明白，计算分数除法要“乘除数的倒数”，计算分数乘法不需要这样做。这对计算综合算式，掌握分数乘除混合运算是十分有用的。列出的两道综合算式，教材已经计算了一道。示范了计算分数乘除混合式题，一般先转化成分数连乘，再约分、相乘。突出了只能把算式里的除法变成“乘除数的倒数”。教材把另一道综合算式留给学生计算，让他们尝试进行分数乘除混合运算。教学应在计算前组织学生想一想，怎样才能把这个算式变成分数连乘算式。计算后还可以比一比，两道综合算式在计算上有什么相同点，进一步明确计算的策略和转化的方法。学生计

23、算分数乘除混合运算得到的体会和经验，应该迁移到分数连除计算里。为了促进迁移，“试一试”安排学生填空，把分数连除转化成分数连乘。体会这里可以把所有的除法同时转化成乘法，所有的除数都改变成它的倒数。教材在“试一试”之后，要求学生说说“分数连除或分数乘除混合运算可以怎样计算”，目的是加强对分数除法的认识，帮助学生更好地掌握计算法则。（五） 联系实际事例，通过说、写、认等活动，教学比的意义及相关的知识数学里的“比”表示两个数或者两个数量的“相除”关系。在分数除法里，适时安排比的教学，能够发展对除法与分数的认识，进一步沟通知识之间的联系，也能为解决按比例分配的问题作知识准备。用比表示两个具体数量的关系时

24、，一般有两种情况：一种是两个同类数量间的相除关系，另一种是两个不同类数量间的相除关系。教材编排两道例题，分别教学这两种情况，以引导学生逐步感悟比的含义。教学比的意义有大量资源可以利用，如几种物品的份额关系、常见数量关系等。教材联系学生的生活和已有经验，从丰富而有趣的事实里提取有关比的内容，帮助学生逐渐形成比的概念。例7图文结合，呈现了2杯果汁和3杯牛奶，问学生“可以怎样表示两个数量之间的关系”。这是一个比较开放的问题，学生一般会从两个数量“差”和“倍”的角度上思考。教材只呈现“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”和“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”，因为这些都是新知识的生长点。其实，也在提醒课堂教学不

25、要滞留于相差关系上。例题告诉学生，“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”还可以说成“果汁与牛奶杯数的比是2比3”，记作23；“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”还可以说成“牛奶与果汁杯数的比是3比2”，记作32。这些讲述初步体现出分数与比的关系，让学生感受“分率”还可以表示成“比”。例题联系写出的两个比，讲述了“比号”“比的前项”“比的后项”等知识。学生接受比的读、写方法以及各部分名称并不难。例题的教学重点是两个同类数量比的含义，应该联系“果汁杯数是牛奶的2/3”通过“23”计算，“牛奶杯数是果汁的3/2”通过“32”计算，把比与除法联系起来，以进一步突出两个同类数量相比的含义。练习九第1题要求看图写出

26、红色方格与白色方格个数的比，写出白色方格与红色方格个数的比，让学生联系写出的两个比，体会甲、乙两个数量相比可以是甲和乙比，也可以是乙和甲比，写比时要看清谁和谁比，谁是前项、谁是后项。例8给出小军和小伟走900米山路各用的时间，让学生分别计算两人的速度，引起对“路程时间速度”的回忆。教材告诉学生，也可以用比表示路程和时间的关系，并且写出了“小军走的路程与时间的比是9001/5”“小伟走的路程与时间的比是90020”，让学生感受两个不同类数量之间的除法关系也可以用比表示。教材不希望学生被动且肤浅地接受例题写出的两个比。教学应该突出路程和时间的比，是根据路程除以时间写出来的，是路程除以时间的意思，比

27、的结果是速度。在两道例题的感知基础上，“白菜”卡通要求学生思考“例7和例8中，两个数相除的关系可以怎样表示？”通过除法写成比，体验两个数相除与这两个数相比的实质性联系。从而理解比的意义，形成“两个数相除又叫作两个数的比”的概念。学生理解了比的意义，就会很自然地把比的前项除以后项，接受并理解比值的含义。教材指出比值是比的前项除以后项的商，要求学生说出例7和例8中各个比的比值，不仅内化关于比值的知识，还又一次感受了比的意义。接着，例8要求学生把35依次改写成除法式子和分数。把比写成除法式子是根据比的意义，把除法式子写成分数是根据分数与除法的关系。写成的连等式里还有比和分数的关系：从形式上看，比和分

28、数可以相互改写；从本质上看，比和分数都有“除”的意味。两个数的比表示两个数相除，分数的分子可以除以分母。为了深化对比、除法、分数三者关系的认识，教材还安排学生整理出“前项”“被除数”“分子”的对应联系，“后项”“除数”“分母”的对应联系，“比值”“商”“分数值”的对应联系。并且从除数和分母不能是0，得出比的后项不能是0。随着这些对应联系的挖掘与整理，学生头脑里比的概念会更加清楚、更加深刻、更加牢固。既然比和分数有联系，比能改写成分数，因此两个数的比可以写成分数的形式。教材以23为例，指出这个比也可以写成2/3，强调写成的仍然是比，仍然读作2比3。把比写成分数的形式，有利于比和分数的相互转化。在

29、需要时，可以把比看成分数，或者把分数看成比，从而活跃思维，这在后面解决实际问题时会有很好的应用。“练一练”紧扣比的基础知识而设计。学生解答这些习题一般不会有困难。在写出比和求比值以后，可以让他们说说各个比值的具体含义。如比值10/9表示鸡的只数是鸭的九分之十，比值9/10表示鸭的只数是鸡的十分之九，比值3.5表示笔记本的单价是3.5元。学生作出这些解释时，会主动地体会各个比的意义，加强比的概念。（六） 把比值相等的比组成等式，发现比的基本性质，并利用性质化简比例9教学比的基本性质，设计的学习方式和学习活动与教学分数基本性质很相似。这是因为比的性质和分数性质很相似，学生已经理解了比与分数的关系，

30、有认识分数基本性质的经验，完全有能力发现比的基本性质。教材安排了两条认识比的性质的活动线索。一条是让学生分别求出45、1620、5050、4050四个比的比值，并把比值相等的3个比写成连等式45=1620=4050，在连等式上看到比的前项与后项变化，而比值不变的现象。另一条是联系分数基本性质，想想比会有什么性质。前一条以归纳推理为主，后一条以类比推理为主。教材把两条线索恰到好处地结合使用，既让学生在实际例子中看到比的性质的现象，又让他们把比的性质纳入自己已有的知识结构里，能够提高新知识的教学效率与效益。教材里写出的比的基本性质，应该是学生的发现、理解与表述。利用比的基本性质可以化简比，例9为化

31、简比作些准备。通过比较45、1620和4050，看到45比另两个比简单，它的前项与后项都是整数，而且只有公因数1，不能再化简了。教材让学生认识最简整数比，体会最简整数比的含义，把握住最简整数比的两个基本特点。教材还指出，应用比的基本性质，可以把一些比化成最简单的整数比。学生学习这段内容，会联系最简分数，以及利用分数基本性质约分等知识。这是有益的联想，能使他们进入化简比的最近发展区。例10教学化简比。三个小题分别化简整数组成的比、分数组成的比和小数组成的比。用虚线框突出化简各个比的关键步骤，并且分别提出“为什么同时除以（或乘）这个数”的问题，引导学生理解化简比的思路与要领。化简前、后项都是整数的

32、比，一般把比的前项与后项同时除以它们的最大公因数，能够较快地得到最简单的整数比。如1/218（1/26）（186）中的“6”是1/2和18的最大公因数。当然，在化简1/218时，前项与后项先同时除以2，再同时除以3，也是可以的。化简两个分数或者两个小数组成的比，一般先化成整数比，再化成最简单的整数比。如5/63/45/6123/412，这里的“12”是5/6和3/4的公分母，比的前项与后项都乘它们的公分母，是为了把分数比化成整数比。再如1.80.09（1.8100）（0.09100），比的前项与后项都乘100，是为了把小数比化成整数比，而且是着眼于0.09变成整数考虑的。例题写出1218化简的结果是23，突出必须是最简单的整数比。而把5/63/4的结果留给学生写，体验“同时乘公分母”才能把分数比化成整数比。让学生接着完成1.80.09的化简，从中理解化成的1809不是最简整数比，还要继续化简。配合例9和例10的“练一练”第1题主要练习比的性质，根据比的前项（或后项）