方差概念及计算公式.docx

1、方差概念及计算公式方差概念及计算公式一方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。二方差的性质1设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）

2、；2 D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）；证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。三常用分布的方差1两点分布2二项分布X B ( n, p )引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布）， 3泊松分布（推导略）4均匀分布 另一计算过程为5指数分布（推导略）6正态分布（推导略）正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的

3、特征是相符的。例2 求上节例2的方差。解 根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。S = (x1-x的平均值)2 + (x2-x的平均值)2+(x3-x的平均值)2+.+(xn-x的平均值)2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。用matlab或c语言编写求导程序已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt)

4、 怎样用matlab或c语言求解 asp:SqlDataSource ID=right runat=server ConnectionString= SelectCommand=SELECT top 7 tjid, title FROM rec WHERE (pass = pass) ORDER BY tuijian DESC, date_pass DESC, click DESC 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数； 问

5、题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ， 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的

6、假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x

7、之间 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即：几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数ex 2.正弦函数的展开式 3.函数(1+x)m的展开式 数学应用1.解线性方程组 矩阵分解(A) B,C=返回 chol lu qr svd schur 求解方程AX=B XA=B X=AB X=B/A 恰定 cramer公式,矩阵求逆,gaussian消去,lu法%主要 就用AB不要用inv(A)*B 超定 求最小二乘解 用AB %基于奇异值分解；用pinv(A)*B %基于househo

8、lder变换 欠定 由qr分解求得 非负最小二乘解 X=nnls(A,b,TOL) TOL指定误差，可缺省 零点法求解方程 fzero一元 fsolve多元 x=fzero(fun,x0) x,fval,exitflag=fzero(fun,x0,options,P1,P2,.) 注：x0是猜测的起始点，可用plot先绘fun,用ginput来用鼠标获取零点猜测值 符号方程 X=linsolve(A,B) 等于 X=sym(A)sym(B) %例X=linsolve(A,b); XX=X+k*null(A) S=solve(eqn1,eqn2,.eqnN) solve(eqn1,eqn2,.e

9、qnN，var1,var2,.varN) 返回S是结构数组，引用S.var1 或返回给x1,x2,.,xn 矩阵的特征值和特征向量 D=eig(A) 特征值 V,D=eig(A) V是特征向量 A*V=V*D V,D=eig(A,nobalance) 预先平衡 V,D=eig(A,B) 广义特征值 符号矩阵同数值矩阵 %例中vpa(A)? 对角化 P,D=eig(A) inv(P)*A*P是对角阵 Jordan标准型 V,J=jordan(A) 其他常用 cdf2rdf(V,D) 复转实 funm(A,function)计算函数值 eig hess hessenberg expm 指数 nul

10、l 奇异值分解 零空间 标准正交基 orth 标准正交基 pinv 广义逆 sqrtm 平方根 cond 条件数 rref 阶梯阵 rsf2csf 实转复 det 行列式 subspace子空间夹角 rank 秩 condeig 特征值 条件数 norm 范数2.多项式 P=poly(A) 由给定的根A（根数组，或矩阵之特征值）创建多项式 符号多项式 ploy(A) 返回中用x表示，ploy(A,v) 中用v来表示 ploy2sym(C) 向量转符号多项式 计算 conv(a,b) 乘法 a=1 3 2 1;b=4 3 9 10;c=conv(a,b) q,r=deconv(a,b) 除法 p

11、oly(A) 用根构造 polyder(a) 求导 a=1 3 2 1;polyder(a); polyder(a,b) :polyder(conv(a,b) q,d=polyder(a,b) :b/a的倒数 q分子 d分母 polyfit(x,y,n) 拟合 polyval(p,x) 计算x处 y=. polyvalm(p,X) 矩阵多项式得值 X是方阵 r,p,k=residue(a,b) 分式展开式 r留数 p极点 k直项 a,b=residue(r,p,k) 分式组合 roots(a) 根 因式分解 factor(s) 因式分解 collect(S) 合并同类项 缺省合并x colle

12、ct(S,v) 合并v变量同类项 expand(s) 表达式展开 简化 pretty 将代数式转化为手写格式 即改变表示幂、乘方 * 的样式 simplify 化简表达式，强 如：simplify(sin(x)2+cos(x)2) 结果 1 simple 用simplify collect factor horner等简化函数化简，并选取最短的结果 simple(s) 化简，并显示中间过程 R,How=simples(s) 结果给R，过程给How simple所用的转化运算 combine(trig) 三角运算 convert(exp) 尽量指数化 convert(sincos) 尽量三角式化

13、 convert(tan) 尽量tan化 horner 多项式转为嵌套形式 秦九韶算法 多项式提取 subexpr 代换式中一些部分 Y,s=subexpr(t,s) s是复杂式的代换符号， t是原表达式 ，Y是代换后的式子 subs(S,old,new) 将new代入S中的old3.曲线拟合 多项式拟合 a,S=polyfit(x,y,n) 对数据(xi,yi)拟合n阶多项式 a是系数 S是Vandermonde矩阵进行Cholesky分解。的结构矩阵 ye,delta=polyval(a,x,S) 利用计算结果估计数据带 yi +- delta y 超过五阶不好 非线性最小二乘估计转为线性

14、 4.插值和样条 interp1 interpft interp2 interp3 interpn griddata meshgrid ndgrid spline 一维插值 yi=interp1(x,y,xi,method) 由xy插值xi处， method可选 linear 线性 cubic 三次 spline 三次样条 nearst 最近邻域 二维插值 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) 样条 finder 对样条函数求导 fnint 对样条函数积分 mkpp(pp) 分解出样条各段的数据,依次返回breaks断点位置,coef,pieces,order,dim

15、ppval(pp,xx) 由逐段多项式求值 spline yy=spline(x,y,xx) 三次样条xx处值 或pp=spline(x,y)获得多项式数据;yy=ppval(pp,xx)再由pp计算xx处值 unmkpp 逐段多项式数据形式的重组 5.数值积分微分 一维数值积分 quad simpson法，精度高 quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,.) (被积函数，积分上限，积分下限，tol相对误差，绝对误差，是否图形显示，参数，.) quad8 8样条newton-cotes公式 最常用 trapz 梯形法定积分 cumtrapz梯形法区间积分 sum 等宽矩阵法定

16、积分 cumsum 等宽矩阵法区间积分 fnint 样条的不定积分 多重数值积分 dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 定积分 积分限为函数时 先求G(y)=x2(y),x1(y)f(x,y)dx 再求I=y2,y1G(y)dy 这里用表示豆芽符 数值微分 多项式求导 polyder 差分算积分 diff(X)6.符号微积分 约定变量x 系数a,b 极限 limit(f,x,a) 求x-a时f值、 limit(f,x,a,right) 右极限 limit(f,x,a,left)左极限 导数 diff(f,a,n) 对变量a求n阶积分

17、，a,n均有默认 差分 Y=diff(F数组,n差分阶数,dim指定维数) J=jacobian(f列向量,v行向量) 雅可比矩阵 可用simple化简 积分 int(s,v,a,b) (式，变量，下限，上限) 级数求和 symsum(s,v,a,b) 泰勒级数 taylor(f,n)指定项数 (f,a)指定点 (f,x)指定变量 ？n,a,x可否连用，顺序 7.常微分方程 %以下有待细看 ode23 ode45 ode113 ode23t ode15s ode23tb . odefile odeset odeget . odephas2 odephas3 odeprint 8.数据分析和傅立

18、叶变换9.稀疏矩阵 SM=sparse(A全元素) 转为稀疏 FM=sparse(A稀疏) 转为全元素 SM=sparse(i,j,s,m,n,nzmax) 创建 例:SM=sparse(3 1 2 4,1 2 3 4,12 3 2 4,4,4,4) A=spdiags(B,d,m,n) 创建带状矩阵 S=spconvert(D) 从外部导入 常用 issparse nnz nonzeroe nzmax spalloc sprun spones colmmd colperm dmperm randperm symrcm condest normest sprank gplot spy etree etreeplot treelayout treeplot symmd find