1、立体几何判断题36个经典反例立体几何判断题36个经典反例1.若两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线互相平行.【反例图示】【注解】图中两条红线与蓝线都成直角,但两条红线并不平行,反例并不唯一,正方体是分析线面位置关系的常用模型.2.若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.【反例图示】【注解】还是上个例子的图,本例是上个例子的特殊形式,但无论特殊还是一般,只要找到一个反例,皆错.3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线.【反例图示】【注解】图中蓝线和绿线均满足与两条异面红线垂直,但蓝线是公垂线,绿线并不是,概念要清楚,公垂线是一定要和异面直线相交的.4.两条直线都平行
2、于同一平面,则这两条直线平行.【反例图示】【注解】如图,两条红线均平行底面,但它们并不平行。当然,也会有正确的例子,但以偏概全是这类题的常用套路,本题几乎所有高中生都(将)遇到过.5.若两平面与同一直线等角,则这两个平面平行.【反例图示】【注解】还是以偏概全,图中红线与两个阴影面均成45角,但两个阴影面并不平行6若一条直线平行于一个平面,则该直线与平面内所有直线都平行.【反例图示】【注解】红实线平行于下底面,但与红虚线并不平行,仍是以偏概全.7.若一条直线与平面中无数条直线都平行,则该直线平行于该平面.【反例图示】【注解】当这条直线在平面内时,该命题则为假命题。如图,蓝线与底面无数条红线均平行
3、,但蓝线与底面不平行。线面平行,一定是线在平面外,这是在教学过程中,需要特别强调的8AB为平面外的线段,若点A、点B到平面的距离相等,则AB平行于平面.【反例图示】【注解】这是一个相当易错的题,若A、B在平面同侧,则会平行,若A、B在平面异侧,如图所示,则不平行。线面相交也是线在平面外的情况,线在平面外含线面相交与线面平行两种情况.9.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等.【反例图示】【注解】空间等角定理,本身含相等和互补两种情况,如图所示,1的两边与2的两边互相平行,但1与2互补。还是以偏概全.10.若直线a平行于直线b,则a平行于过b的所有平面.【反例图示】【注解】本例与
4、第7个例子是类似的,当直线a在过直线b的平面内,则不平行于该平面.11.如果a,b是异面直线,过空间内任何一点可以作一个和a,b都平行的平面.【反例图示】【注解】如图所示,过点A不能作出与直线a,b都平行的平面,只能作出与直线a平行且经过直线b的平面,即上底面.12.若a、b是异面直线,则有且只有一条直线和a、b都垂直.【反例图示】【注解】蓝线是异面直线,如图所示,有无数条红线与两条异面蓝线均垂直.13.如果a、b是异面直线,过空间内任何一点可以作一条直线和a、b都相交.【反例图示】【注解】本例与第11个例子类似,如图所示,过点A如果作一条直线与b相交,则该直线会在上底面,不可能和a相交.14
5、.不共线的三个点到同一个平面的距离相等,则这三个点构成的平面平行于该平面.【反例图示】.【注解】本例与第8个例子类似。如图所示,三点到阴影面距离都相等,但它们构成的平面不会平行于中间的阴影面。还是三点位于平面同侧还是异侧的问题.15.如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直.【反例图示】【注解】图中蓝线与底面的无数条红线均垂直,但蓝线不垂直于下底面。题目中出现了“无数条”“任意一条”等字眼时,务必细细琢磨.16.若直线a平行于平面,平面与平面的交线为直线b,则a平行于b.【反例图示】【注解】如图所示,直线a、b不一定平行.17.若直线在平面外,则该直线不可能与平面内
6、无数条直线相交.【反例图示】【注解】如图所示,红线在底面外,且红线与底面的无数条蓝线可以相交.18.若直线与平面不平行,则直线与平面内任一直线都不平行.【反例图示】【注解】本例与第7个例子有点相似,当蓝线在底面上,则不会和底面平行,但蓝线可以和如图所示的无数条红线平行。关键还是看会不会在平面内.19.若直线与平面不垂直,则直线不可能垂直于平面内无数条直线.【反例图示】【注解】如图所示,蓝线不垂直于底面,但蓝线可以垂直于底面无数条红线。20.若直线a直线b,且直线a平面,则直线b平行于平面.【反例图示】【注解】当直线b在平面内时,则不成立。这也是很经典的易错题,主要是容易忘记考虑直线在平面内的情
7、况21.分别在两个平行平面内的两条直线都平行【反例图示】【注解】如图,上下底面互相平行,但上底面的红线与下底面的蓝线不平行.22.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行.【反例图示】【注解】如图,侧面的直线a与直线b都平行于下底面,但侧面与底面不平行。面面平行一定要满足线面平行的两条直线要相交.23.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.【反例图示】【注解】本例与上一个例子类似。侧面中与红线平行的无数条直线会平行于下底面,但并没有面面平行.24.若平面与平面相交,则平面内任意一条直线与平面都不垂直.【反例图示】【注解】当平面平面时,平面内则有无数条
8、与红线平行的线垂直于平面25.过平面的一条斜线的平面与平面一定不垂直.【反例图示】【注解】红线a为平面的斜线,平面经过直线a,但平面可以垂直于平面26.若两直线与平面所成的角相同,则这两条直线平行.【反例图示】【注】和第5个例子有点神似,红线与蓝线与底面所成角均为45,但两直线不一定会平行27.若两平面平行于同一条直线,则这两个平面平行.【反例图示】【注解】如图,两阴影面均平行于红线,该两阴影面不一定平行.28.已知平面平面,平面与平面的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与a垂直的直线在平面内.【反例图示】【注解】过点P且与a垂直的直线即图中红线,这条直线与平面可以没有半毛钱关系,也可以在平
9、面内.29.已知平面平面,平面与平面的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与a垂直的直线垂直于平面.【反例图示】【注解】和上例一样,该红线与平面可以没有任何关系,也可以垂直于平面30.已知平面平面,平面与平面的交线为直线a,点P在a上,则过点P且与平面垂直的平面垂直于交线a.【反例图示】【注解】如图,过点P且与平面垂直的平面,即平面,它可以垂直于交线a,也可以不垂直,没有必然的推出关系.31.过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的.【反例图示】【注解】点P在平面外,如图所示,过该点且与平面垂直的平面并不唯一.32.直线外一点作这条直线的垂线是唯一的【反例图示】【注解】点P在直线a外,如图所示,过点P且垂直于a的直线并不唯一.33.过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的.【反例图示】【注解】点P在直线a外,如图所示,过点P且与a平行的平面并不唯一.34.若直线a、b是平面外的两条平行直线,则它们在该平面内的射影平行.【反例图示】【注解】如图所示,直线a、b的射影即图中蓝线,射影重合,不一定平行.35.两平面都垂直于同一个平面,则这两个平面平行.【反例图示】【注解】平面和平面都垂直于平面,而它们不一定平行。这也是很经典的一个反例36.两两相交的三条直线在同一平面内.【反例图示】【注解】两两相交,如果交于同一点,则不会在同一平面内,如图所示.
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