因数倍数思维训练.docx

1、因数倍数思维训练因数、倍数练习题专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2223，75=355。我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公因数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。例题1 把18 个苹果平均分成若干份，每份大于1 个，小于18 个。一共有多少种不同的分法？分析 先把18 分解质因数：18=233，可以看出：18 的约数是1、2、3、6、9、18，除去1 和18，还有4 个因数，所以，一共有4 种不同的分法。练习一1、有

2、60 个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6 人，不多于15 人。有哪几种分法？2、195 个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？3、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。例题2 有168 颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10 颗，也不能多于50 颗。共有多少种分法？分析 先把168 分解质因数，168=22237，由于每份不得少于10 颗，也不能多于50 颗，所以，每份有223=12 颗，27=14 颗，37=21 颗，2223=24 颗，237=42 颗，共有5 种分法。练习二1、把462 名学生分成人数相等的若干组去参加课外

3、活动小组，每小组人数在10 至25 人之间，求每组的人数及分成的组数。2、四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？3、把1、2、3、4、5、6、7、8、9 九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3 张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=27 55=511 24=2223 56=222727=333 99=3311 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7 和二个11。因为

4、要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7 和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。练习三1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。=12882，有三个自然数a、b、c，已知ab=30，bc=35，ca=42，求abc 的积是多少？3，把40、45、63、65、78、99、105 这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4 组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539 棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？分析 根据

5、每人植树棵数人数=539 棵，把539 分解质因数。539=7711，如果每人植7 棵，这个班就有7111=76 人；如果每人植树11 棵，这个班共有771=48 人。练习四1，3 月12 日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111 棵树，求有多少个学生。2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？3，把一篮苹果分给4 人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？例题5 下面的算式里，里数字各不相同，求这四个数字的和。=19

6、95分析要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995 有相同的质因数。1995=35719，可以有3557=1995 和2195=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取2195=1995，这四个数字的和是：2195=17。练习五1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。=19952，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270 立方厘米，求这个长方体的表面积。3，有三个自然数a，b，c，已知ab=35，bc=55，ac=77，求三个数之积是多少？分解质因数（二）专题简析：许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，

7、对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。例题 1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？分析 三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。802=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37 和41。最大积是23741=3034练习一1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？3，写出若干个连续的自然数，使它

8、们的积是15120。例题 2 长方形的面积是375 平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375 分解质因数看一看。375=5553，因为55 比53 正好多10，所以，此长方形的长是55=25 米，宽是53=15 米，它们的和是40 米。练习二1，237 除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。2，有4 个孩子，恰好一个比一个大1 岁，4 人的年龄积是3024，这4 个孩子中最大的几岁？3，有一块长方形的场地，它是由319 块1 平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。例题3 某班同学在班主任老

9、师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073 棵，那么，平均每人种了多少棵？分析 根据每人种树棵数参加人数=1073，把1073 分解质因数：1073=2937，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3 的倍数多1，由于只有37 比3 的倍数多1，所以有37人，平均每人种29 棵。练习三1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240 立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？2，老师用216 元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1 元钱，那么他就能多买3 支。每支钢笔原价多少元？3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分

10、成3 组。如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111 块，那么，平均每人擦了多少块？最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b 的最公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a 和b 互质。求几个数的最大公因数可以用分解质因数和短除法等方法。例题 1 一张长方形的纸，长7 分米5 厘米，宽6 分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析: 7分米5厘米=75 厘米，6 分米=60 厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75 和60，所以边

11、长是75 和60 的公约数。75 和60 的公因数有1、3、5、15，所以有4 种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60 的最大公因数15 作为正方形的边长，所以可以裁（7515）（6015）=20 块。练习一1，把1 米3 分米5 厘米长、1 米5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2，一块长45 厘米、宽30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3，将一块长80 米、宽60 米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题 2 一个长方体木块，长2.7 米，宽1.8 分米

12、，高1.5 分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5 分米=15 厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。（270，18，15）=3，3 厘米=0.3 分米练习二1，一个长方体木块的长是4 分米5 厘米、宽3 分米6 厘米、高2 分米4 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2，有50 个梨，75 个橘子和100 个苹果，要把这些水果平均

13、分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3，五年级三个班分别有24 人、36 人、42 人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题 3 有三根钢管，它们的长度分别是240 厘米、200 厘米和480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200 和480 的公因数，而每小段要取最长，也就是求240、200 和480 的最大公因数。240、200 和480 的最大公因数是40，所以每小段最长是40 厘米。练习三1，有

14、一个长方体木块，长60 厘米、宽40 厘米，高24 厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2，用一张长1072 毫米、宽469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100 个，其中王师傅比每个工人多加工7 个；第二批_加工1800 个，其中王师傅比每个工人多加工6 个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13 个。这批工人最多有多少人？例题 4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙

15、村相距360 米，乙、丙村相距675 米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将3602=180 米、6752=337.5 米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=3602，337.5=6752，所以，452=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5 米。练习四1，一条公路由A 经B 到C。已知A、B 相距300 米，B、C 相距215 米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B 点及AB、BC 的中

16、点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？2，有336 支铅笔，252 块橡皮，210 个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，乙数是多少？例题5 用一张长1072 毫米、宽469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？分析 前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公因数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公因数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公因数的方法。第一步：1072469，余134；第

17、二步：469134，余67；第三步：13467，没有余数，所以用67 毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（107267）（46967）=112 个正方形，即这些正方形的边长最大是67 毫米。这种求两个较大数的最大公因数的方法叫辗转相除法。练习五1，用辗转相除法求568 和1065 的最大公因数。2，试用辗转相除法判断1547 与3135 是否互质。3，判断11111/15015 是不是最简分数。最小公倍数（一）专题简析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b 的最小公倍数可以记作a、b，当（a、b）=1 时，a、b= ab。两个数的最大

18、公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数最小公倍数=两数的乘积即（a、b）a、b= ab要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。例题 1 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？分析 根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：当 a1b1分别是1 和6 时，a、b 分别为151=15，156=90；当a1b1分别是2 和3 时，a、b 分别为152=20，

19、153=45。所以，这两个数是15 和90 或者30 和45。练习一1，两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？2，两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？3，两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？例题 2: 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？分析 我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公因数是360120=3。又因为（甲3=a，乙3=b）中，3ab=120，a 和b 一定

20、是互质数，所以，a 和b 可以是1 和40，也可以是5 和8。当a 和b 是1 和40时，所求的数是31=3 和340=120；当a 和b 是5 和8 时，所求的数是35=15 和38=24。练习二1，求36 和24 的最大公因数和最小公倍数的乘积。2，已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。3，已知两个数的最大公因数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。例题3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3 天去一次，乙4 天去一次，丙5 天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？分析 从第一次三人在图书馆相会到下一次

21、再次相会，相隔的天数应该是3、4、5 的最小公倍数。因为3、4、5 的最小公倍数是60，所以至少再过60 天他们三人又在图书馆相会。练习三1，1 路、2 路和5 路车都从东站发车，1 路车每隔10 分钟发一辆，2 路车每隔15 分钟发一辆，而5 路车每隔20 分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？2，甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120 秒，乙跑一圈用80 秒，丙跑一圈用100 秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？3，五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6 天去看一次，三班的同学每两周去看一

22、次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？例题4 一块砖长20 厘米，宽12 厘米，厚6 厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？分析 把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。练习四1，用长9 厘米、宽6 厘米、高7 厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？2，有200 块长6 厘米、宽4 厘米、高3 厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽

23、可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？3，一个长方体长2.7 米、宽1.8 分米、高1.5 分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？例题5 甲每秒跑3 米，乙每秒跑4 米，丙每秒跑2 米，三人沿600 米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？分析 甲跑一圈需要6003=200 秒，乙跑一圈需要6004=150 秒，丙跑一圈需要6002=300 秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150 和300 的最小公倍数。200、150 和300 的最小公倍数是600，所以，经过600 秒后三人又

24、同时从出发点出发。练习五1，有一条长400 米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1 分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10 分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。2，一环形跑道长240 米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8 米，乙每秒行6 米，丙每秒行5 米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？3，甲、乙、丙三人在一条长240 米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4 米，乙每秒跑5 米，丙每秒跑3 米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？最小公倍数（二）专题简析：最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好

25、是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。例题 1 有一个自然数，被10 除余7，被7 除余4，被4 除余1。这个自然数最小是多少？ 分析 根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3，所得的数就正好能被10、7 和4 这三个数整除，即10、7 和4 的最小公倍数，然后再减去3 就能得到所求的数了。10，7，4=140 1403=137 即：这个自然数最小是137。练习一1，学校六年级有若干个同学排队做操，如果3 人一行余2 人，7 人一行余2 人，11 人一行也余2 人。六年级最少多少人？2，一个数能被3、5、7 整除

26、，但被11 除余1。这个数最小是多少？3，一袋糖，平均分给15 个小朋友或20 个小朋友后，最后都余下5 块。这袋糖至少有多少块？例题2 有一批水果，总数在1000 个以内。如果每24 个装一箱，最后一箱差2 个；如果每28 个装一箱，最后一箱还差2 个；如果每32 个装一箱，最后一箱只有30 个。这批水果共有多少个？分析 根据题意可知，这批水果再增加2 个后，每24 个装一箱，每28 个装一箱或每32 个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2 个，就正好是24、28 和32 的公倍数。我们可以先求出24、28 和32 的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

27、24，28，32=6726722=670（个） 即：这批水果共有670 个。练习二1，一所学校的同学排队做操，排成14 行、16 行、18 行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2，有一批乒乓球，总数在1000 个以内。4 个装一袋、5 个装一袋或6 个、7 个、8 个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？3，食堂买回一些油，用甲_种桶装最后一桶少3 千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7 千克。如果甲种桶每桶能装8 千克，乙种桶每桶能装10 千克，丙种桶每桶能装12 千克，那么，食堂至少买回多少千克油？例题3 一盒围棋子，4 颗4 颗数多3 颗，6 颗6 颗

28、数多5 颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？分析 由已知条件可知：这盒棋子只要增加1 颗，就正好是4、6、15 的公倍数。换句话说，这盒棋子比4、6、15 的最小公倍数少1。我们可以先求4、6、15 的最小公倍数，然后再根据“这盒棋子在150 至200 颗之间”这一条件找出这盒棋子数。4、6、15 的最小公倍数是60。6031=179 颗，即这盒棋子共179 颗。练习三1，有一批树苗，9 棵一捆多7 棵，10 棵一捆多8 棵，12 棵一捆多10 棵。这批树苗数在150 至200 之间，求共有多少棵树苗。2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4 组多

29、2 人，平均分成5 组多3 人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？3，有一批水果，每箱放30 个则多20 个，每箱放35 个则少10 个。这批水果至少有多少个？例题4 从学校到少年宫的这段公路上，一共有37 根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50 米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析 从学校到少年宫的这段路长50（371）=1800 米，从路的一端开始，是50 和60 的公倍数处的那一根就不必移动。因为50 和60 的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800300=6，就是6 根不必移动。去掉最后一根，中

30、途共有5 根不必移动。练习四1，插一排红旗共26 面。原来每两面之间的距离是4 米，现在改为5 米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90 米。原来每隔2 米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5 米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？3，学校开运动会，在400 米环形跑道边每隔16 米插一面彩旗，一共插了25 面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5 面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？例题5 在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10 等份、12 等份和15 等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析 因为 10、12 和15 的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60 厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是6010=厘米，6012=5 厘米，6015=4 厘米。因为5 和6 的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60301=1 处，另两种情况分别有2 处和4 处。因此，木棍总共被锯成（1012152）124=28 段。练习五1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15 等份，第三次把木棍分成20 等份，然后