将军饮马与二次函数题型.docx

1、将军饮马与二次函数题型将军饮马与二次函数结合问题一解答题（共4小题）1（2013宝应县校级一模）抛物线y=x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由2（2008荔湾区一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点（1）求b、c的值；（2）P为抛物线上的点，且满足SPAB=8，求P点的坐标；（3）设抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q

2、点的坐标；若不存在，请说明理由3（2012昌平区模拟）如图，已知抛物线经过点B（2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由4（2015秋怀集县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最

3、小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由2016年09月14日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共4小题）1（2013宝应县校级一模）抛物线y=x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标【解答】解（1）把

4、A（1，0）、B（3，0）代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y=x22x+3（2）存在由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，则直线BC的解析式为y=x+3，令QX=1 得Qy=2，故点Q的坐标为：（1，2）【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力2（2008荔湾区一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）

5、两点（1）求b、c的值；（2）P为抛物线上的点，且满足SPAB=8，求P点的坐标；（3）设抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分

6、别为A（1，0），B（3，0），解之，得，所求抛物线的解析式为：y=x22x3；（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得SABC=4|y|=8，|y|=4，y=4，当y=4时，x22x3=4，x1=1+，x2=1，当y=4时，x22x3=4，x=1，当P点的坐标分别为、（1，4）时，SPAB=8；（3）在抛物线y=x22x3的对称轴上存在点Q，使得QAC的周长最小AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小点A关于对称轴x=1的对称点是B（3，0），由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，抛物线y=x22x3与y轴交点C的坐标为（0，3），设直线BC的解析式为y=kx3直

7、线BC过点B（3，0），3k3=0，k=1直线BC的解析式为y=x3，当x=1时，y=2点Q的坐标为（1，2）【点评】本题考查了二次函数的综合运用，（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使QAC的周长最小，只需QA+QC最小又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解3（2012昌平区模拟）如图，已知抛物线经过点B（2，3），原点O和x轴上另一点A，它的

8、对称轴与x轴交于点C（2，0）（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴

9、的交点即为所求P点的位置可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标【解答】解：（1）由题意知：A（4，0）；设抛物线的解析式为y=ax（x4），已知抛物线过B（2，3）；则有：3=ax（2）（24），a=抛物线的解析式为：y=x2x；（2）过点B作BMMC，B点坐标为：（2，3），C点坐标为：（2，0），MC=4，BM=3，BC=5，|CE|=5，E1（2，5），E2（2，5）；（3）存在当E1（2，5）时，G1（0，4），设点B关于直线x=2的对称点为D，其坐标为（6，3）直线DG1的解析式为：y=x+4，P1（2，）当E2（2，5）时，G2（0，1），直线DG2的解

10、析式为：y=x1P2（2，）综合、存在这样的点P，使得PBG的周长最小，且点P的坐标为（2，）或（2，）【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键4（2015秋怀集县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设交点式为y=a（x1）（x4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2x+3

11、；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x1）（x4），把C（0，3）代入得a（1）（4）=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x1）（x4），即y=x2x+3；（2）存在因为A（1，0）、B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时

12、四边形PAOC的周长最小，因为BC=5，所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题将军饮马模型及其变形一解答题（共2小题）1（2015上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于

13、点B（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，ABD是顶角为120的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值2（2015贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）2016年05月18日账号17的初中数学组卷参考

14、答案与试题解析一解答题（共2小题）1（2015上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，ABD是顶角为120的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值【考点】二次函数综合题【分析】（1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；（2）分三种情况讨论：当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；当AB为腰时，A为顶点时，当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长

15、最小，根据轴对称最短路径问题解答【解答】解：（1）当x=0时，y=；当y=0时，x=1或x=2；则A（1，0），B（0，），C（2，0）；（2）如图，RtABO中，OA=1，OB=，AB=2，ABO=30，BAO=60，ABD是顶角为120的等腰三角形当AB为底时，若点D在AB上方，由ABO=BAD=30，AB=2，得D1（0，），若点D在AB下方，由BAD=DBA=30，AB=2，得D2（1，），当AB为腰时，A为顶点时，DAB=120，OAB=60，AD=AB=2，点D在y轴或x轴上，若D在y轴上，得D3（0，），若D在x轴上，得D4（3，0）；当AB为腰时，A为顶点时，若点D在第三象限，

16、DBO=150，BD=2，得D5（1，2）；若点D在第四象限时，DBx轴，BD=2，得D6（2，），符合要求的点D的坐标为（0，），（1，），（0，），（3，0），（1，2），（2，）；（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，把点B向上平移个单位后得到B1（0，），BB1PQ，且BB1=PQ，四边形BB1PQ是平行四边形，BQ=B1P，AP+BQ=AP+B1P，要在直线x=上找一点P，使得AP+B1P最小，作点B1关于直线x=的对称点，得B2（1，），则AB2就是AP+BQ的最小值，AB2=，AB=2，PQ=，四边形ABQP的周长最小值是+2【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二

17、次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大2（2015贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）【考点】几何变换综合题【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，然后利

18、用勾股定理可计算出MP=5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作ENAD，垂足为N，则AM=ADMPPD=4，所以AM=AM=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM=11，然后证明AFMNEM，则可利用相似比计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM，于是MG+QE=MR，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在RtMRN中，利用勾股

19、定理计算出MR=5，易得四边形MEQG的最小周长值是7+5【解答】解：（1）四边形ABCD为矩形，CD=AB=4，D=90，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，PD=PH=3，CD=MH=4，H=D=90，MP=5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M，连接ME交AB于点F，则点F即为所求，过点E作ENAD，垂足为N，AM=ADMPPD=1253=4，AM=AM=4，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，CEP=MEP，而CEP=MPE，MEP=MPE，ME=MP=5，在RtENM中，MN=3，NM=11，AFNE，AFMNEM，=，即=，解得AF=，即AF=时，MEF的周长最小；（3）如图2，由（2）知点M是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q，ER=GQ，ERGQ，四边形ERGQ是平行四边形，QE=GR，GM=GM，MG+QE=GM+GR=MR，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在RtMRN中，NR=42=2，MR=5，ME=5，GQ=2，四边形MEQG的最小周长值是7+5【点评】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长