数学分析华东师大第四章函数的连续性汇编.docx

1、数学分析华东师大第四章函数的连续性汇编（一）大学生的消费购买能力分析市场环境所提供的创业机会是客观的，但还必须具备自身的创业优势，才能使我们的创业项目成为可行。作为大学生的我们所具有的优势在于：功能性手工艺品。不同的玉石具有不同的功效，比如石榴石可以促进血液循环，改善风湿和关节炎；白水晶则可以增强记忆力；茶晶能够帮助镇定情绪，缓解失眠、头昏等症状。顾客可以根据自己的需要和喜好自行搭配，每一件都独一无二、与众不同。（3） 年龄优势（一）大学生的消费购买能力分析1、你一个月的零用钱大约是多少？2 www。cer。net/artide/2003082213089728。shtml。二、大学生DIY手

2、工艺制品消费分析在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店-“碧芝自制饰品店”。（四）DIY手工艺品的“个性化”第 四 章 函 数 的 连 续 性1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数 .从几何形象上粗略地说 , 连续函 数在坐 标平 面上 的图象 是一 条连绵 不断 的 曲线 .当然我们不能满足于这种直 观的认 识 , 而应 给出函 数连 续性 的精确 定义 , 并由此出发研究连续函数的性质 .本 节中先 定义 函数 在一点 的连 续性和 在区 间

3、 上的连续性 .一 函数在一点的连续性定义 1 设函数 f 在某 U( x0 ) 内有定义 .若limx xf ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)0则称 f 在点 x0 连续 .例如 , 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点 x = 2 连续 , 因为又如 , 函数limx 2f ( x) = limx 2( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .f ( x) =xsin 1x, x 0 ,0 , x = 0在点 x = 0 连续 , 因为limx 0f ( x) = limx 0xsin 1x= 0 = f ( 0) . 为引入函数 y = f ( x ) 在

4、点 x0 连 续 的另 一种 表述 , 记 x = x - x0 , 称为 自 变量 x( 在点 x0 ) 的增量或改变量 .设 y0 = f ( x0 ) , 相应 的函数 y ( 在 点 x0 ) 的 增 量记为y = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + x) - f ( x0 ) = y - y0 . 注 自变量的增量 x 或函数的增量 y 可以是正数 , 也可以是 0 或负数 .引进了增量的概念之后 , 易见“ 函数 y = f ( x ) 在点 x0 连续”等价于lim y = 0 . x 070 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性 是通 过 极限

5、来定 义的 , 因 而 也可 直接 用 - 方 式来叙述 , 即 : 若对任给的 0 , 存在 0 , 使得当 | x - x0 | 时有| f ( x) - f ( x0 ) | , ( 2)则称函数 f 在点 x0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x0 有 极限 与 f 在 x0 连 续这两 个概 念之间的联系 .首先 , f 在点 x0 有极限是 f 在 x0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在点 x0 连续”不仅要求 f 在点 x0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x0 的 函数 值 f ( x0 ) .其次 , 在讨论极限 时 , 我们假 定 f

6、在 点 x0 的某 空心 邻域 U( x0 ) 内有 定 义 ( f 在点 x0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x0 连续”则要求 f 在某 U( x0 ) 内 ( 包 括 点 x0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“0 | x - x0 | ”换成了在连续定义中的“ | x - x0 | 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | | x | ,只要取 = , 即可按 - 定义推得 f 在 x = 0 连续 . 相应于 f 在点 x0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定

7、义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 内有定义 .若limx x +0f ( x) = f ( x0 ) lim-x x0f ( x) = f ( x0 ) ,则称 f 在点 x0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x0 既是 右连续 , 又 是 左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解 因为f ( x ) =x + 2 , x 0 , x - 2 , x 0 不妨设 12, 满足 1 的正 整q数 q 显

8、然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使 R( x ) 的 有理数 x (0 , 1 ) 只有有限个 至少有一个 , 如 12, 设为 x1 , , xn .取 = min | x1 - | , , | xn - | , 1 - ,1 连续性概念 73则对任何 x U(;) ( ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有 R( x ) , 当 x 为无理数 时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何 x U(;) , 总有R ( x) - R() = R ( x ) 0 .所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 . 习 题1. 按定义证明下列函数在其定义域

9、内连续 : ( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 : ( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ;x | x | ( 3) f ( x ) = | cos x | ; (4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x , x 为有理数 , ( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) =- x , x 为无理数 ; 1 x + 7 , - x - 7 ,x , - 7 x 1( x - 1 )

10、sin 1 , 1 x 0 ( 或 0 ) , 则 对任何正数 r f ( x0 ) ( 或 r r ( 或 f ( x ) 0 时 ) 存在某 U( x0 ) , 使在其内有 f ( x) 12f ( x0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x0 连续 , 则 f g , fg, 6f g( x0 ) 0) 也都在点 x0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g/( 这里对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数n n - 1P( x) = a0 x + a1 x + + an - 1

11、 x + an和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每 一点都是 连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每2 连续函数的性质 75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 :定理 4.5 若函数 f 在点 x0 连续 , g 在点 u0 连续 , u0 = f ( x0 ) , 则复合函 数g f 在点 x0 连续 .证 由于 g 在 u0 连续 , 对任给的 0, 存在 1 0 , 使得当| u - u0 | 1 时有| g( u) - g(

12、 u0 ) | 0 , 存在 0 , 使得 当| x - x0 | 时有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | 0 ,存在 0 , 当 | x - x0 | 时有| g ( f ( x ) ) - g( f ( x0 ) ) | .这就证明了 g f 在点 x0 连续 . 注 根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为limx x0g( f ( x) ) = g limx x0f ( x ) = g( f ( x0 ) ) . ( 2) 例 1 求lim sin (1 - x2 ) .x 1解 sin( 1 - x2 ) 可看作函数 g( u) = sin u

13、 与 f ( x ) = 1 - x2 的复合 .由 ( 2) 式得lim sin( 1 - x2 ) = sin lim(1 - x2 ) = sin 0 = 0 . x 1 x 1 注 若复合函数 g f 的内函 数 f 当 x x0 时 极限 为 a , 而 a f ( x0 ) 或 f 在 x0 无定义 ( 即 x0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在 u = a 连续 , 则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限 , 即有limx x0g( f ( x ) ) = g limx x0f ( x) . ( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式 不 仅 对 于 x x0 这

14、种 类 型 的 极 限 成 立 , 而 且 对 于 x 0+ , x - 或 x x等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 : (1 ) lim2 - sin x ; (2 ) lim2 - sin x .x 0解 (1 ) limx 0x2 - sin xxx = 2 - limx 0xsin x = 2 - 1 = 1; x(2 ) lim2 - sin x = 2 - limsin x= 2 - 0 = 2 . x x x x二 闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 a , b 上 的连续 函数 , 本 段中我 们讨 论 f 在 a , b 上 的整 体 性质 .76 第四章 函

15、数的连续性定义 1 设 f 为定义在数集 D 上的函数 .若存在 x0 D, 使得对一切 x D有f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x) ) ,则称 f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并称 f ( x0 ) 为 f 在 D 上的最大 ( 最小 ) 值 .例如 , sin x 在 0 , 上有最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函 数 f 在 其定 义 域 D 上不一定有最大值或最小值 ( 即使 f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上 既无最大值也无最小值 .又如g( x ) = 1x , x (0

16、, 1 ) ,2 , x = 0 与 1 ,( 4)它在闭区间 0 , 1 上也无最大、最小值 .下述定理给出了函数能取得最大、最小值 的充分条件 .定理 4 .6 ( 最大、最 小 值 定理 ) 若函 数 f 在闭 区 间 a , b 上 连 续 , 则 f 在 a , b 上有最大值与最小值 .此定理和随后的定理 4.7 以及本节最后的定理 4.9 , 其证明 将在第 七章2 给出 .在这里读者先对这些定理有所了解 , 并能初步运用它们 .推论 ( 有界性定理 ) 若 函 数 f 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 , 则 f 在 a , b 上 有界 . 易见由 (4 ) 式给出的函数 g 在闭区间 0 , 1 上无界 , 请读 者考虑为 什么对 函 数 g 上述推论的结论不成立 .定理 4 .7 ( 介 值 性 定 理 ) 设 函 数 f 在 闭 区 间 a , b 上 连 续 , 且 f ( a ) f ( b) .若 为介于 f ( a) 与 f ( b) 之间的任何实数 ( f ( a) f ( b) ) , 则至少存在一点 x0 ( a , b) , 使得f ( x0 ) = . 这个定理表明 , 若 f 在 a , b 上连续 , 又不妨