助力中考一线三等角模型中考考试题归类赏析及启示.docx

1、助力中考一线三等角模型中考考试题归类赏析及启示助力中考：“一线三等角”模型中考考试题归类赏析及启示姓名：_指导：_日期：_ 01、模型呈现如图1和图2，在ABC和CDE中，点C是直线BD上的点若ACE=ABD=EDF，则ABCCDE特别地，当AC=CE时，ABC CDE上述两个图呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型，即同侧型和异侧型，两者所求证的结论均可通过导角证明该模型最本质的特点为: 有3个等角的顶点在同一条直线上，且这个角可以是锐角、直角或钝角而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度，常会产生许多和谐美观的图形，且结论仍然成立正因如此，近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三

2、等角”模型求解的中考试题，这些试题大都突出对学生能力与思维的考查，重视数学经验与思想方法的获得，常常具有较高的区分度02、试题赏析类型1：三角齐见，模型自现例1：如图3，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使 点B落在AD上，记为B，折痕为CE;再将CD边斜向下对折，使点 D落在BC上，记为D，折痕为CG，若BD=2，BE=1/3BC，则矩形纸片ABCD的面积为_图3分析：因为A=EBC=D=90，且点A，B，D在同一直线上，由“一线三等角”模型，得AEBDBC，则类型1：三角齐见，模型自现例2：将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图4所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D旋转，

3、腰DF和底边DE分别交CAB 的两腰CA，CB于点M，N若CA=5，AB=6，ADAB=13，则MD+12/MADN的最小值为_图4分析：由于A=MDN=B，且点A，D，B在同一直线上，因此根据“一线三等角”模型可得MADDBN，则评注以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想类型2：隐藏局部，小修小补例3：如图5，在正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME 交AD延长线于点E若AB=12，BM

4、=5，则DE长为_图5分析：如图6，由于B=AME=90，因此延长BC，过点E作BC 延长线的垂线，两者交于点N根据“一线三等角”模型，可得ABMMNE，则 而AB=EN=12，BM=5，则MN=144/5，故DE=CN=MNMC=MN(BC-BM)=109/5图6类型2：隐藏局部，小修小补例4：如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+m分别交x轴、y轴于点A，B，已知点C(2，0)1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是; 2)设点P为线段OB的中点，联结PA，PC，若CPA=ABO，则m的值是_ 图7分析：1)2; 2)如图8，因为ABO=APC=45，在y轴的负半轴上找一点

5、D，使得CDO=45，则ABP与PDC构成“一线三等角”模型，所以ABPPDC，从而AB/PD=BP/DC,易知m0，AB=2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=22，于是解得m=12.图8评注上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性类型3：一角独处，两侧添补例5：如图9，一块30，60，90的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点

6、A在函数y1=k1/x(其l例6：如图11，在四边形ABCD中，ADBC，BCD=90，AB=BC+AD，DAC=45，E为CD上一点，且BAE=45若CD=4，则ABE的面积为_图11分析：如图12，由于BAE=45，因此过点A作AD的垂线，在该垂线上分别找点M，N(其中点N在点A下方)，使得BMA=ENA=45过点E作MN的垂线，垂足为点F，延长CB交MN于点G图12易知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=CD=4；而AB=BC+AD，不难推知AB=5，BG=3，BC=1由于BAE=M=N=45，根据“一线三等角”模型可得ABMEAN，则评注上述两道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思

7、想方法、数学模型于图形之中题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的与“脚手架”两道题实质上是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况类型4：线角齐藏，经验来帮例7：如图13，已知点A(2，3)和点B(0，2)，点A在反比例函数y=k/x的图像上作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45，交反比例函数图像于点C，则点C的坐标为_图13分析：如图14，过点C作AC的垂线，交射线AB于点D，过点C作x轴的平行线，在该平行线上分别找点E，F，使得DEC=AFC= 90图14由“一线三等角”模型及DAC=45，得DECCF

8、A又点A，B坐标分别为(2，3)，(0，2)，从而k=6，于是类型4：线角齐藏，经验来帮例8：如图15，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a取值范围是_图15分析：由于点A，C分别在正六边形一组平行的对边上，从而 ACmin=3，于是正方形ABCD的边长amin=6/2根据正方形和正六边形的中心对称性，要使正方形边长a最长，则正方形的对称中心和正六边形的对称中心O互相重合图16如图16，联结OA，OB，过点A，B作GH的垂线，垂足分别为点E，F，直线BF分别交GP，GQ于点

9、M，N易知BFO=AOB=AEO=90，根据“一线三等角”模型及OA=OB，可得AOEOBF，从而AE=OF=3/2，说明点B在定直线MN上运动，当点B运动到点M或N时，正方形ABCD的边长a最长图17如图17，当点B与点M重合时，由GF=13/2，知评注上述两道题实质上都以图形的旋转为问题的切入点，能较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架两道题都意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度通过上述的例3例8，不难发现:对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而

10、是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗03、教学启示在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，通过让学生在拓展基本模型的过程中，感悟模型的本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成，真正实现思维品质的提升