竞赛讲座自然数的有关性质.docx

1、竞赛讲座自然数的有关性质竞赛讲座(自然数的有关性质)一、 知识要点1、 最大公约数定义1如果a1,a2,an和d都是正整数，且da1,da2, dan ，那么d叫做a1,a2,an的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,an的最大公约数，记作(a1,a2,an). 如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、 最小公倍数定义2如果a1,a2,an和m都是正整数，且a1m, a2m, anm，那么m叫做a1,a2,an的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,an的最小公倍数，记作a1,a2,an.

2、如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作4,8,12=24.3、 最大公约数和最小公倍数的性质性质1 若ab,则(a,b)=a.性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.性质3 若na, nb,则.性质4 若a=bq+r (0rb), 则(a,b)= (b,r) .性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。性质5 若 ba,则a,b=a.性质6 若a,b=m,且n为正整数，则na,nb=nm.性质7若na, nb,则. 4、 数的整除性 定义3对于整数a和不为零的整

3、数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作ba，若ba，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba5、 数的整除性的性质性质1 若ab，bc，则ac性质2 若ca，cb，则c(ab)性质3 若ba, n为整数，则bna6、 同余定义4 设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作 ab(mod m)7、 同余的性质性质1 如果ab(mod m)，cd(mod m)，那么acbd(mod m)，acbd(mod m)性质2 如果ab(mod m)，那么对任意整数k有kakb(mod m)性质3 如果ab(mod m)，那么对任

4、意正整数k有akbk(mod m)性质4如果ab(mod m)，d是a，b的公约数，那么二、 例题精讲例1 设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225. 如果m和n的最大公约数为15，求m+n的值 (第11届“希望杯”初一试题)解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a，n=15b，且(a,b)=1 因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15 因为 a,b是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6 从而m+n=15(a+b)=157=105评注：1、遇到这类问题常设m=15a，n=15b，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求

5、值问题。这是一种常用方法。 2、思考一下，如果将m和n的最大公约数为15，改成m和n的最小公倍数为45，问题如何解决？例2有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？分析：将问题转化为最小公倍数来解决。解设这堆苹果最少有x个，依题意得由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数因为2,3,4,5,6=60，所以x-1=60，即x=61答：这堆苹果最少有61个。例3自然数a1，a2，a3，a9，a10的和1001等于，设d为a1，a2，a3，a9，a10的最大公约数，试求d的最大值。解由于d为a1，a2，a3，a9，a1

6、0的最大公约数，所以和a1+a2+a3+a9+a101001能被d整除，即d是100171113的约数。因为dak，所以akd，k1，2，3，10从而1001a1+a2+a3+a9+a1010d所以由d能整除1001得，d仅可能取值1，7，11，13，77，91。因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182其中每一个数都能被91整除，所以d能达到最大值91例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数码，从0001到9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号

7、码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n的购物券为幸运券，则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所以m，n的奇偶性不同，即mn，由于m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。由1019999，所以所有幸运券的号码之和能被101整除。评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。例5 在1，2，3，199

8、5这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995a (第五届华杯赛决赛试题)分析：分子、分母都含有a，对a的讨论带来不便，因此可以将化成，这样只有分母中含有a，就容易对a进行讨论。解 因为(1995+a)能整除1995a，所以是整数，从而是整数 因为19951995=325272192，所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意到1a1995，所以 19951995+a3990 如果1995+a 不被19整除，那么它的值只能是以下两种： 35272=3675，32572=2205 如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下两种：

9、37219=2793，52719=3325 如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下两种： 7192=252 7，32192=3249 于是满足条件的a有6个，即从上面6个值中分别减去1995，得到 1680、210、798、1330、532、1254评注：本题通过对的适当变形，便于对a的讨论。讨论时通过将19951995分解质因数，然后将因数1995+a通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常使用。例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题)解 显然111(mod 3)，330(mod 3)，660(m

10、od 3)，990(mod 3) 又 22=41(mod 3)，44141(mod 3)，5525(-1)5(-1)(mod 3)， 77171(mod 3)，88(-1)81(mod 3) 11+22+33+44+55+66+77+88+991+1+0+1-1+0+1+1+041(mod 3) 即所求余数是1评注：用同余式求余数非常方便。例7 已知：，问a除以13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题)分析：将a用十进制表示成，1991除以13，所得余数是显然的，主要研究除以13的余数规律。解 mod 13，103(-3)3=-27-1， 1+104+1081-10+102=910，1991

11、2 a=-188，即a除以13，所得余数是8例8 n是正偶数，a1,a2,an除以n，所得的余数互不相同；b1,b2,bn除以n，所得的余数也互不相同。证明a1+b1，a2+b2，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。证明 n是正偶数，所以n-1为奇数，不是n的倍数， a1,a2,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，n-1.从而a1+a2+an0+1+(n-1)= 0(mod n) 同样b1+b2+bn0(mod n) 但 (a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)= (a1+a2+an)+( b1+b2+bn)0(mod n)所以a1+b1，a2+b2，an+b

12、n除以n，所得的余数必有相同的。例9 十进制中，44444444的数字和为A，A的数字和为B，B的数字和为C，求C分析：由于101(mod 9)，所以对整数a0，a1，a2，an有它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。根据上述结论有 CBA44444444(mod 9).所以只要估计出C的大小，就不难确定C解：44447 (mod 9)，而73(-2)3=-81(mod 9)， 所以 4444444474444=731481+17(mod 9)， 所以 CBA444444447(mod 9)， 另一方面，44444444(105)4444=1022220，所以44444444的位数不

13、多于22220 从而A922220=199980，即A至多是6位数。所以B96=54 在1到53的整数中，数字和最大的是49，所以C4+9=13 在小于13的自然数中，只有7模9同余于7，所以C=7评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。根据这个结论逐步估计出C的大小，然后定出C。三、 巩固练习选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( ) A、56 B、78 C、84 D、962、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（） A、30 B

14、、31 C、32 D、333、在自然数1，2，3，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( ) A、33 B、34 C、35 D、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( ) A、24 B、12 C、6 D、05、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( ) A、25 B、26 C、27 D、286、设n为自然数，若19n+1410n+3 (mod 83)，则n的最小值是( ) A、4 B、8 C、16 D、32填空题7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是 .8、满足x,y=6，y,z=15的正

15、整数组(x,y,z)共有 组.9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是 .10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=1,2,3,11)，这样的最小11位数是 .11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是 .12、14+24+34+44+19944+19954的末位数是 .解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。15、五位数能被12整除，它的最末两位数字所成的数能被6整除，求出这个五

16、位数。16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9 求证：4(a+b+c+d)17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数。19、证明31980+41981被5整除。20、x i=1或 -1(i=1，2，1990)，证明答案1、 设这两个数为a,b，由(a,b)=8得a=8m,b=8n，且(m,n)=1由a,b=96得m,n=12，又(m,n)=1，所以m=3，n=4或m=4，n=3所以a+b=8(m+n)=56，故选A2、 由题意知

17、，b既能被4整除，又能被3整除，所以b能被12整除又60能被b整除，所以b12或60（1）若b12，则60 b5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a、c中至少有一个含有因数5。若a含有因数5，则a20，又c3，所以a+b+c20+12+3=35若c含有因数5，则c15，又a4，所以a+b+c4+12+15=31取a=4，b=12，c=15，能构成三角形（2）若b60，则a+b+c6031故a+b+c的最小值为31。3、在自然数1，2，3，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16=3

18、4个，选B4、 七位数各位数字之和为32，不能被3整除，任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D5、1995除以6的余数是3，且a1995 (mod 6)，所以a除以6的余数也是3，故选C6、由19n+1410n+3 (mod 83) 知19n+14 (10n+3) 0 (mod 83) 9n+11 0 (mod 83) 当k=1时，n取最小值8。故选B7、由题意得n+1是3、4、5的公倍数，最小的n=345-1=598、y 整除6又整除15，y 整除3，所以y=1,3. 代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)

19、五组解。9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成，9996x，x=3,于是所求的末位数是3。10、210，3102，41020，510200，6102000，71020005，810200056，9102000564，101020005640，1110200056405，于是最小11位数是1020005640511、3 2 n+8=9 n+8 3 2 n+81n+0 (mod 8)1 (mod 8) 3 2 n+8被8除的余数是112、设自然数N的末位数是a，则Na (mod 10)，从而N4a 4(mod 10)， 141 (mod 10)，246 (mod 10)，341 (m

20、od 10)，446 (mod 10)，545 (mod 10)，646 (mod 10)，741 (mod 10)，846 (mod 10)，941 (mod 10)，1040 (mod 10) 14+24+34+44+19944+19954199 (14+24+34+44+104)+ 14+24+34+44+54 199 (1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+519933+197+96 (mod 10) 故14+24+34+44+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a,b (ab)，且(a,b)=d，并设a1=，b1=，则(a1，b1)=1，且a+b

21、=d(a1+b1)=667=2329.因为23，29都是质数，所以d=1或d=23或d=29(1) 若d=1，则a,b=ab=120又因为a+b=667，所以a2-667a+120=0.但此方程中a不能是自然数，所以d1.(2) 若d=23，则有a1+b1=29a,b=23a1 ,b1=23 a1 b1，所以a1 b1=120，则，把120分解质因数，可得a1=5，从而b1=24。所以a=235=115，b=2324=552(3) 若d=29，则有a1+b1=23a,b=29a1 ,b1=29 a1 b1，所以a1 b1=120，则，把120分解质因数，可得a1=8，从而b1=15。所以a=2

22、98=232，b=2915=435综上所得，本题有两组解：115，552或232，43514、设这两个数为x,y，则x+y=40,且(x,y)+x,y=56，由于(x,y) x,y=xy，所以 设(x,y)=d，则x=da，y=db，且(a,b)=1，于是可得方程组 由于(40，56)=8，所以d=1,2,4,8 当d=1,2,4时方程组无整数解，所以d=8 d=8时，方程组变为，可得a=2,b=3或a=3,b=2，所以x=16或24，y=24或16，从而所求的两个数为16和2415、由于五位数能被12整除，而12=34，且3，4互质，所以3且4。3(4+H+9+7+H)，即3(2H+20)，

23、经试算H可取2、5或8，又因为6，所以2，故H为偶数，所以H取2或8，又因为4，所以4，所以H取2，所以这个五位数为42972。16、a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数，而9=(-1) (+1) (-3) (+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)= (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)=0即 a+b+c+d=4x，所以4(a+b+c+d)17、993211，98722，9797，9625396是2533527的最大的两位约数。18、25=32-1(mod 11)，210(-1)21(mod 11)，2400=(210)40140=1(mod 11) 即2400被11除，余数是119、31980+41981=(32)990+41981=9990+419811990+(-1)1981=1+(-1)=0(mod 5) 所以31980+41981被5整除20、x i=11(mod 2)1+2+1990(mod 2)995(mod 2)1(mod 2)即是一个奇数，它当然不可能是0。